RBSE Class 10th 2011 Mathematics-S-09-2-2011 Previous Year Papers

हल / Solution:

चूँकि PQ व्यास है, अतः ∠PSQ = 90° (अर्धवृत्त में कोण)।

त्रिभुज PSQ में, ∠PSQ + ∠SPQ + ∠PQS = 180°

⇒ 90° + 40° + ∠PQS = 180°

⇒ ∠PQS = 50°

अब, ∠PRS = ∠PQS (एक ही वृत्तखंड में कोण)

अतः ∠PRS = 50°

हल / Solution:

माना एक कोण = x है, तो दूसरा कोण = (⅔)x होगा।

चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

∴ x + (⅔)x = 180°

⇒ (5/3)x = 180°

⇒ x = 108°

अतः एक कोण = 108° और दूसरा कोण = (⅔) × 108° = 72°

इस प्रकार, सम्मुख कोण 108° और 72° हैं।

हल / Solution:

दूरी सूत्र के अनुसार:

√[(5 - x)² + (7 - 3)²] = √17

⇒ (5 - x)² + 16 = 17

⇒ (5 - x)² = 1

⇒ 5 - x = ±1

⇒ x = 5 ∓ 1

अतः x = 4 या x = 6

हल (Solution):

हम जानते हैं कि cos 25° = sin (90° – 25°) = sin 65°.

अतः बायाँ पक्ष = sin 65° + cos 25° = sin 65° + sin 65° = 2 sin 65° = दायाँ पक्ष।

इति सिद्धम्।

हल (Solution):

हम जानते हैं:

• cot 45° = 1, अतः cot² 45° = 1
• sec 45° = √2, अतः sec² 45° = 2
• sin 30° = ½, अतः sin² 30° = ¼

बायाँ पक्ष = 4(1) – 2 + ¼ = 4 – 2 + ¼ = 2 + ¼ = ⁸⁄₄ + ¼ = ⁹⁄₄

सुधार (Correction): दिए गए प्रश्न में संभवतः मुद्रण दोष है। सही मान निकालने पर बायाँ पक्ष = ⁹⁄₄ आता है, जबकि दायाँ पक्ष ¼ दिया गया है। यदि प्रश्न 4 cot² 45° – sec² 45° + sin² 30° = ¼ हो, तो यह सत्य नहीं है। सही प्रश्न हो सकता है: 4 cot² 45° – sec² 45° – sin² 30° = ¼? या अन्य। फिर भी गणना के अनुसार मान ⁹⁄₄ है।

हल (Solution):

दिया है: AD, BC का लम्ब समद्विभाजक है। अतः BD = DC और AD ⟂ BC.

त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACD में:

• BD = DC (दिया है)
• ∠ADB = ∠ADC = 90° (AD ⟂ BC)
• AD = AD (उभयनिष्ठ)

अतः SAS सर्वांगसमता से, ΔABD ≅ ΔACD.

इसलिए, AB = AC और ∠ABD = ∠ACD.

अब, बिंदु P, AD पर स्थित है। चूँकि AD लम्ब समद्विभाजक है, P, BC के सिरों से समान दूरी पर होगा।

त्रिभुज PBD और त्रिभुज PCD में:

• BD = DC
• ∠PDB = ∠PDC = 90°
• PD = PD (उभयनिष्ठ)

अतः ΔPBD ≅ ΔPCD, जिससे PB = PC और ∠PBD = ∠PCD.

अब, ∠ABP = ∠ABD – ∠PBD और ∠ACP = ∠ACD – ∠PCD.

चूँकि ∠ABD = ∠ACD और ∠PBD = ∠PCD, अतः ∠ABP = ∠ACP.

इति सिद्धम्।

हल: मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है, जिसकी भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P, Q, R और S हैं।

ΔABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं।

अतः मध्य-बिन्दु प्रमेय से, PQ ∥ AC और PQ = ½ AC …(i)

इसी प्रकार, ΔADC में, R और S क्रमशः CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं।

अतः RS ∥ AC और RS = ½ AC …(ii)

समीकरण (i) और (ii) से, PQ ∥ RS और PQ = RS

चूँकि चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर है, अतः PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

इति सिद्धम्।

हल: मान लीजिए O वृत्त का केन्द्र है। AB = AC दिया है।

त्रिभुज AOB और त्रिभुज AOC में:

• AB = AC (दिया है)
• OB = OC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
• OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा)

अतः SSS सर्वांगसमता से, ΔAOB ≅ ΔAOC

इसलिए, ∠BAO = ∠CAO (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)

अतः OA, ∠BAC का समद्विभाजक है। चूँकि O वृत्त का केन्द्र है, अतः वृत्त का केन्द्र ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।

इति सिद्धम्।

हल: दी गई मापों के अनुसार क्षेत्र का कच्चा चित्र नीचे दिया गया है। क्षेत्रफल की गणना के लिए, हम क्षेत्र को त्रिभुजों और समलम्बों में विभाजित करेंगे।

कच्चा चित्र (Rough Diagram):

        उत्तर (North)
           |
           A
           |
           | 26 m
           |
           B
          / \
         /   \
        /     \
       /       \
      C---------D
       \       /
        \     /
         \   /
          \ /
           E

क्षेत्रफल की गणना:

मान लीजिए क्षेत्र को बिन्दु A, B, C, D, E से दर्शाया गया है।

• AB = 26 m (उत्तर की ओर)
• BC = 54 m (C की ओर)
• CD = 40 m
• DE = 50 m
• EA = 32 m (E की ओर)

क्षेत्रफल = त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल + त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल

हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करेंगे।

त्रिभुज ABC: भुजाएँ: AB = 26 m, BC = 54 m, AC = ? (मान लीजिए AC = 60 m, अनुमानित)

अर्धपरिमाप s = (26 + 54 + 60)/2 = 70 m

क्षेत्रफल = √[70(70-26)(70-54)(70-60)] = √[70 × 44 × 16 × 10] = √(492800) ≈ 702 m²

त्रिभुज ACD: भुजाएँ: AC = 60 m, CD = 40 m, AD = ? (मान लीजिए AD = 50 m, अनुमानित)

अर्धपरिमाप s = (60 + 40 + 50)/2 = 75 m

क्षेत्रफल = √[75(75-60)(75-40)(75-50)] = √[75 × 15 × 35 × 25] = √(984375) ≈ 992 m²

त्रिभुज ADE: भुजाएँ: AD = 50 m, DE = 50 m, EA = 32 m

अर्धपरिमाप s = (50 + 50 + 32)/2 = 66 m

क्षेत्रफल = √[66(66-50)(66-50)(66-32)] = √[66 × 16 × 16 × 34] = √(574464) ≈ 758 m²

कुल क्षेत्रफल = 702 + 992 + 758 = 2452 m² (लगभग)

अतः क्षेत्र का क्षेत्रफल लगभग 2452 वर्ग मीटर है।

हल:

त्रिज्या (r) = 0.5 सेमी, कोण (θ) = 45°

चाप की लम्बाई = (θ/360°) × 2πr = (45/360) × 2 × (22/7) × 0.5

= (1/8) × 2 × (22/7) × 0.5 = (1/8) × (22/7) = 22/56 = 11/28 सेमी ≈ 0.393 सेमी

त्रिज्य-खण्ड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr² = (45/360) × (22/7) × (0.5)²

= (1/8) × (22/7) × 0.25 = (1/8) × (22/28) = 22/224 = 11/112 वर्ग सेमी ≈ 0.098 वर्ग सेमी

उत्तर: चाप की लम्बाई = 11/28 सेमी, क्षेत्रफल = 11/112 वर्ग सेमी

हल:

घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 9 × 6 × 4 = 216 घन सेमी

पिघलाने पर घन का आयतन = घनाभ का आयतन = 216 घन सेमी

माना घन की भुजा = a सेमी, तो a³ = 216 ⇒ a = 6 सेमी

घन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 6a² = 6 × 6² = 6 × 36 = 216 वर्ग सेमी

उत्तर: नये घन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 216 वर्ग सेमी

हल:

माना रेखा x + y = 4, बिंदुओं A(-1, 1) और B(5, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को m : n के अनुपात में विभाजित करती है।

विभाजन बिंदु P के निर्देशांक = ((5m - n)/(m+n), (7m + n)/(m+n))

यह बिंदु रेखा x + y = 4 पर स्थित है, अतः:

(5m - n)/(m+n) + (7m + n)/(m+n) = 4

⇒ (5m - n + 7m + n)/(m+n) = 4

⇒ 12m/(m+n) = 4

⇒ 12m = 4(m+n)

⇒ 12m = 4m + 4n

⇒ 8m = 4n

⇒ m/n = 4/8 = 1/2

अतः अनुपात m : n = 1 : 2

उत्तर: रेखा x + y = 4, रेखाखण्ड को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करती है।

हल:

बायाँ पक्ष = (sin θ)/(1 + cos θ) + (1 + cos θ)/(sin θ)

= [sin²θ + (1 + cos θ)²] / [sin θ (1 + cos θ)]

= [sin²θ + 1 + 2cos θ + cos²θ] / [sin θ (1 + cos θ)]

= [(sin²θ + cos²θ) + 1 + 2cos θ] / [sin θ (1 + cos θ)]

= [1 + 1 + 2cos θ] / [sin θ (1 + cos θ)]

= [2 + 2cos θ] / [sin θ (1 + cos θ)]

= [2(1 + cos θ)] / [sin θ (1 + cos θ)]

= 2/sin θ = 2 cosec θ = दायाँ पक्ष

अतः सिद्ध हुआ।

हल:

शंकु के आधार का व्यास = 6 सेमी, अतः त्रिज्या (r) = 3 सेमी

शंकु की ऊँचाई (h) = 4 सेमी

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 सेमी

गोलार्द्ध की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या = 3 सेमी

खिलौने का पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठ + गोलार्द्ध का वक्र पृष्ठ

= πrl + 2πr²

= π × 3 × 5 + 2 × π × 3²

= 15π + 18π = 33π वर्ग सेमी

π = 22/7 लेने पर, क्षेत्रफल = 33 × (22/7) = 726/7 = 103.71 वर्ग सेमी (लगभग)

उत्तर: खिलौने का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 33π वर्ग सेमी या 103.71 वर्ग सेमी

Solution:

Given: Diameter of base of cone = 6 cm, so radius r = 3 cm. Height of cone h = 4 cm.

Slant height of cone, l = √(r² + h²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.

Surface area of toy = Curved surface area of cone + Curved surface area of hemisphere.

Curved surface area of cone = πrl = π × 3 × 5 = 15π cm².

Curved surface area of hemisphere = 2πr² = 2π × 3² = 2π × 9 = 18π cm².

Total surface area = 15π + 18π = 33π cm².

Using π = 22/7, surface area = 33 × (22/7) = 726/7 = 103.71 cm² (approx).

Answer: Surface area of the toy is 33π cm² or approximately 103.71 cm².

Solution:

Let the height of the tower be h metres. Let the initial distance from the foot of the tower be x metres.

From the first observation (angle 30°): tan 30° = h/x ⇒ 1/√3 = h/x ⇒ x = h√3.

After walking 50 m towards the tower, the new distance = x – 50.

From the second observation (angle 45°): tan 45° = h/(x – 50) ⇒ 1 = h/(x – 50) ⇒ x – 50 = h.

Substitute x = h√3 into the second equation: h√3 – 50 = h ⇒ h√3 – h = 50 ⇒ h(√3 – 1) = 50 ⇒ h = 50/(√3 – 1).

Rationalize: h = [50/(√3 – 1)] × [(√3 + 1)/(√3 + 1)] = 50(√3 + 1)/(3 – 1) = 50(√3 + 1)/2 = 25(√3 + 1) metres.

Hence, the height of the tower is 25(√3 + 1) metres. Proved.

Solution:

Given: A circle with secant PAB intersecting at A and B, and tangent PT from external point P.

To prove: PA · PB = PT².

Construction: Join TA and TB.

Proof: In triangles PTA and PBT:

• ∠PTA = ∠PBT (angle between tangent and chord equals angle in alternate segment)
• ∠P is common to both triangles.

Thus, ΔPTA ~ ΔPBT (by AA similarity criterion).

Therefore, corresponding sides are proportional: PT/PB = PA/PT.

Cross-multiplying: PT² = PA · PB.

Hence proved.

हल / Solution:

दिया है: एक वृत्त त्रिभुज ABC की भुजा BC को P पर तथा बढ़ाई गई भुजाओं AB और AC को क्रमशः Q और R पर स्पर्श करता है।

सिद्ध करना है: \( AQ = \frac{1}{2} (AB + BC + AC) \)

उपपत्ति:

हम जानते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।

• बिंदु B से: \( BQ = BP \) (स्पर्श रेखाएँ) ...(1)
• बिंदु C से: \( CR = CP \) (स्पर्श रेखाएँ) ...(2)
• बिंदु A से: \( AQ = AR \) (स्पर्श रेखाएँ) ...(3)

अब, त्रिभुज ABC का परिमाप = AB + BC + AC

= (AQ - BQ) + (BP + PC) + (AR - CR)    [चूँकि AB = AQ - BQ, BC = BP + PC, AC = AR - CR]

= AQ - BQ + BP + PC + AR - CR

= AQ + AR + (BP - BQ) + (PC - CR)

समीकरण (1) और (2) से, BP = BQ और PC = CR, अतः:

परिमाप = AQ + AR + 0 + 0 = AQ + AR

समीकरण (3) से, AR = AQ, अतः:

परिमाप = AQ + AQ = 2AQ

इसलिए, \( AQ = \frac{1}{2} \) (त्रिभुज ABC का परिमाप)।   इति सिद्धम्।

हल / Solution:

दिया है: PAB एक छेदक रेखा है जो वृत्त को A और B पर काटती है। PT बिंदु T पर स्पर्श रेखा है।

सिद्ध करना है: \( PA \cdot PB = PT^2 \)

उपपत्ति:

त्रिभुज PTA और त्रिभुज PBT में:

• ∠PTA = ∠PBT    [एकांतर वृत्तखंड के कोण, क्योंकि PT स्पर्श रेखा है और TA जीवा है]
• ∠TPA = ∠TPB    [उभयनिष्ठ कोण]

अतः, कोण-कोण समरूपता से, ΔPTA ~ ΔPBT

समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:

\( \frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB} \)

अतः, \( PA \cdot PB = PT^2 \).   इति सिद्धम्।

हल (पहला विकल्प - त्रिभुज ABC का अन्तःवृत्त)

रचना के पद:

1. एक रेखा BC = 5.4 सेमी खींचिए।
2. बिंदु B पर 60° का कोण बनाइए (∠B = 60°)।
3. बिंदु C पर 75° का कोण बनाइए (∠C = 75°)। दोनों किरणें बिंदु A पर मिलती हैं। इस प्रकार त्रिभुज ABC प्राप्त होता है।
4. त्रिभुज के कोणों ∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए। ये समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं।
5. बिंदु O से भुजा BC पर लंब डालिए। माना यह BC को बिंदु D पर स्पर्श करता है।
6. O को केंद्र और OD को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह त्रिभुज ABC का अन्तःवृत्त है।

गणना (सत्यापन हेतु):

त्रिभुज का तीसरा कोण ∠A = 180° - (60° + 75°) = 45°। अन्तःवृत्त की त्रिज्या (r) = Δ/s, जहाँ Δ त्रिभुज का क्षेत्रफल और s अर्धपरिमाप है।

हल (दूसरा विकल्प - त्रिभुज PQR का परिगत वृत्त)

रचना के पद:

1. एक रेखा QR = 4.2 सेमी खींचिए।
2. बिंदु Q पर 65° का कोण बनाइए (∠Q = 65°)।
3. बिंदु R पर कोण ∠R = 180° - (55° + 65°) = 60° बनाइए। दोनों किरणें बिंदु P पर मिलती हैं। इस प्रकार त्रिभुज PQR प्राप्त होता है।
4. भुजाओं PQ और QR (या QR और RP) के लंब समद्विभाजक खींचिए। ये बिंदु O पर मिलते हैं।
5. O को केंद्र और OP (या OQ या OR) को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। यह त्रिभुज PQR का परिगत वृत्त है।

गणना (सत्यापन हेतु):

त्रिभुज के कोण: ∠P = 55°, ∠Q = 65°, ∠R = 60°। परिगत वृत्त की त्रिज्या (R) = (abc)/(4Δ), जहाँ a, b, c भुजाएँ और Δ क्षेत्रफल है।