RBSE Class 10th 2017 Mathematics-S-09-2017 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2017 |
| Subject | Mathematics-S-09-2017 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 10th 2017 Mathematics-S-09-2017
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Rajasthan Board Class 10th Mathematics-S-09-2017 2017 solved Previous Year Question Papers
माध्यमिक परीक्षा, 2017
SECONDARY EXAMINATION, 2017
गणित
MATHEMATICS
समय : 3¼ घण्टे पूर्णांक : 80
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
- परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
Candidates must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily. - सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
All the questions are compulsory. - प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
Write the answer to each question in the given answer-book only.
No. of Questions — 30 S-09-Mathematics
No. of Printed Pages — 2
S-09-Mathematics [ Turn over
परीक्षा निर्देश (Exam Instructions)
(4) जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.
(5) प्रश्न-पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी रूपांतर में किसी प्रकार की त्रुटि / अंतर / विरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को ही सही मानें।
If there is any error / difference / contradiction in Hindi & English versions of the question paper, the question of Hindi version should be treated valid.
(6)
| भाग (Part) | प्रश्न संख्या (Question Nos.) | अंक प्रति प्रश्न (Marks per Question) |
|---|---|---|
| अ (A) | 1 – 5 | 1 |
| ब (B) | 6 – 25 | 2 |
| स (C) | 26 – 30 | 3 |
| द (D) | 26 – 30 | 6 |
(7) प्रश्न क्रमांक 27 व 30 में आन्तरिक विकल्प हैं।
There are internal choices in Q. No. 27 and 30.
(8) अपनी उत्तर-पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए। यदि कोई रफ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अंतिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर "रफ कार्य" लिख दें।
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write 'Rough Work' on them.
(9) प्रश्न क्रमांक 26 का लेखाचित्र ग्राफ पेपर पर बनाइए।
Draw the graph of Question No. 26 on graph paper.
S-09-Mathematics
भाग — A (PART-A)
-
प्रश्न: दो पूर्णांक संख्याओं का HCF व LCM क्रमश: 2 और 336 हैं, यदि एक पूर्णांक 48 है, तो दूसरा पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
HCF and LCM of two integers are 2 and 336 respectively. If one integer is 48, then find another integer.
हल: हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM होता है।
माना दूसरी संख्या = x है।
तब, 48 × x = 2 × 336
⇒ x = (2 × 336) / 48 = 672 / 48 = 14
अतः दूसरी पूर्णांक संख्या = 14 है।
-
प्रश्न: A.P.: 3, 8, 13, ..... के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Find the sum of the first 20 terms of the A.P. : 3, 8, 13, .....
हल: यहाँ प्रथम पद a = 3, सार्वअंतर d = 8 - 3 = 5, पदों की संख्या n = 20
समांतर श्रेणी के n पदों का योग Sn = n/2 [2a + (n-1)d]
S20 = 20/2 [2×3 + (20-1)×5]
= 10 [6 + 19×5]
= 10 [6 + 95]
= 10 × 101 = 1010
अतः प्रथम 20 पदों का योग = 1010 है।
-
प्रश्न: यदि cosec A = 7/3 हो, तो tan A का मान परिकलित कीजिए।
If cosec A = 7/3 then calculate tan A.
हल: cosec A = 7/3 ⇒ sin A = 3/7
हम जानते हैं, sin²A + cos²A = 1
⇒ cos²A = 1 - (3/7)² = 1 - 9/49 = 40/49
⇒ cos A = √(40/49) = (2√10)/7
tan A = sin A / cos A = (3/7) / (2√10/7) = 3/(2√10)
अतः tan A = 3/(2√10) है।
-
प्रश्न: त्रिकोणमितीय अनुपात sin A को cot A के पदों में लिखिए।
Write the trigonometric ratio of sin A in terms of cot A.
हल: हम जानते हैं,
cosec²A = 1 + cot²A
⇒ sin A = 1 / cosec A = 1 / √(1 + cot²A)
अतः sin A = 1 / √(1 + cot²A) है।
-
प्रश्न: यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात 9 : 6 है, तो इनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
If the ratio of corresponding medians of two similar triangles are 9 : 6, then find the ratio of their areas.
हल: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत माध्यिकाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माध्यिकाओं का अनुपात = 9 : 6 = 3 : 2
क्षेत्रफलों का अनुपात = (3)² : (2)² = 9 : 4
अतः क्षेत्रफलों का अनुपात = 9 : 4 है।
6.
एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श-रेखा की लम्बाई 5 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 7 cm है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
From a point Q, the length of the tangent to a circle is 5 cm and the distance of Q from the centre of the circle is 7 cm, then find the radius of the circle.
हल: माना वृत्त का केंद्र O है। स्पर्श-रेखा की लम्बाई Q से स्पर्श बिंदु T तक 5 cm है। OQ = 7 cm। त्रिज्या OT ज्ञात करनी है।
स्पर्श-रेखा त्रिज्या पर लंब होती है, अतः ∠OTQ = 90°।
पाइथागोरस प्रमेय से, OQ² = OT² + QT²
⇒ 7² = OT² + 5²
⇒ 49 = OT² + 25
⇒ OT² = 49 – 25 = 24
⇒ OT = √24 = 2√6 cm
अतः वृत्त की त्रिज्या 2√6 cm है।
7.
5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श-रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 70° के कोण पर झुकी हों।
Draw a pair of tangents to a circle of radius 5 cm which are inclined to each other at an angle of 70°.
रचना के चरण:
- O को केंद्र मानकर 5 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
- वृत्त पर कोई बिंदु A लीजिए और OA त्रिज्या खींचिए।
- OA पर बिंदु A पर 90° का कोण बनाते हुए एक रेखा खींचिए (यह स्पर्श-रेखा होगी)।
- OA से 70° का कोण बनाते हुए एक किरण खींचिए जो वृत्त को बिंदु B पर काटे।
- OB त्रिज्या खींचिए और बिंदु B पर 90° का कोण बनाते हुए दूसरी स्पर्श-रेखा खींचिए।
- दोनों स्पर्श-रेखाएँ बिंदु P पर मिलेंगी। ∠APB = 70° होगा।
वैकल्पिक विधि: केंद्र O पर 180° – 70° = 110° का कोण बनाइए। दोनों त्रिज्याओं के सिरों पर लंब खींचिए जो परस्पर 70° पर मिलेंगी।
8.
यदि एक वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
If the circumference and the area of a circle are numerically equal, then find the radius of the circle.
हल: माना वृत्त की त्रिज्या r है।
परिधि = 2πr, क्षेत्रफल = πr²
प्रश्नानुसार, 2πr = πr²
⇒ 2πr – πr² = 0
⇒ πr(2 – r) = 0
चूँकि r ≠ 0, अतः 2 – r = 0 ⇒ r = 2
अतः वृत्त की त्रिज्या 2 इकाई है।
9.
एक वृत्त के चतुर्थाश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 44 cm है।
Find the area of a quadrant of a circle whose circumference is 44 cm.
हल: परिधि = 2πr = 44 cm
⇒ 2 × (22/7) × r = 44
⇒ (44/7) × r = 44
⇒ r = 44 × (7/44) = 7 cm
चतुर्थाश का क्षेत्रफल = (1/4) × πr²
= (1/4) × (22/7) × 7 × 7
= (1/4) × 22 × 7
= (154/4) = 38.5 cm²
अतः चतुर्थाश का क्षेत्रफल 38.5 cm² है।
10.
यदि “E नहीं” की प्रायिकता = 0.95 है, तो P(E) ज्ञात कीजिए।
If probability of “not E” = 0.95, then find P(E).
हल: P(not E) = 0.95
P(E) + P(not E) = 1
⇒ P(E) = 1 – P(not E)
⇒ P(E) = 1 – 0.95 = 0.05
अतः P(E) = 0.05 है।
भाग-ब / PART - B
-
प्रश्न: बिन्दुओं (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार बताइए।
Name the type of quadrilateral formed by the points (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2).हल: माना बिन्दु A(4,5), B(7,6), C(4,3), D(1,2) हैं।
दूरी सूत्र से:
AB = √[(7-4)² + (6-5)²] = √[9+1] = √10
BC = √[(4-7)² + (3-6)²] = √[9+9] = √18
CD = √[(1-4)² + (2-3)²] = √[9+1] = √10
DA = √[(4-1)² + (5-2)²] = √[9+9] = √18
AB = CD और BC = DA, अतः यह एक समांतर चतुर्भुज है।
विकर्ण AC = √[(4-4)² + (3-5)²] = √[0+4] = 2
विकर्ण BD = √[(1-7)² + (2-6)²] = √[36+16] = √52
चूँकि विकर्ण बराबर नहीं हैं, यह एक समांतर चतुर्भुज है (न कि आयत या वर्ग)।
Solution: Using distance formula, AB = √10, BC = √18, CD = √10, DA = √18. Opposite sides equal, so it is a parallelogram. Diagonals are not equal, hence it is a parallelogram.
-
प्रश्न: कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है। अर्धगोले का व्यास 4 cm है। इस बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A vessel is in the form of a hollow hemisphere. The diameter of the hemisphere is 4 cm. Find inner surface area of the vessel.हल: व्यास = 4 cm, अतः त्रिज्या r = 2 cm
अर्धगोले का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × (22/7) × (2)²
= 2 × (22/7) × 4
= (176/7) cm²
= 25.14 cm² (लगभग)
Solution: Diameter = 4 cm, so radius r = 2 cm. Inner surface area of hemisphere = 2πr² = 2 × (22/7) × 4 = 176/7 ≈ 25.14 cm².
-
प्रश्न: निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च दर्शाता है:
दैनिक जेब भत्ता (₹ में) 0-20 20-30 30-40 40-50 50-60 बच्चों की संख्या 3 5 4 7 6 एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए माध्य दैनिक जेब खर्च ज्ञात कीजिए।
The following distribution shows the daily pocket allowance of children of a locality. Find the mean daily pocket allowance by using appropriate method.हल: यहाँ वर्ग असमान हैं, अतः हम प्रत्यक्ष विधि (direct method) का प्रयोग करेंगे।
वर्ग मध्यमान (xi) बारंबारता (fi) fi × xi 0-20 10 3 30 20-30 25 5 125 30-40 35 4 140 40-50 45 7 315 50-60 55 6 330 योग Σfi = 25 Σfixi = 940 माध्य = Σfixi / Σfi = 940 / 25 = 37.6
अतः माध्य दैनिक जेब खर्च = ₹ 37.6
Solution: Using direct method, mean = 940/25 = 37.6. Hence mean daily pocket allowance = ₹ 37.6.
4.
एक कार स्थान A से स्थान B तक 260 किमी की दूरी 65 किमी/घण्टा की समान गति से चलती है और सभी 13 हरे यातायात सिग्नलों को पार करती है। भारी यातायात के कारण यह प्रथम सिग्नल पर 4 मिनट, दूसरे सिग्नल पर 7 मिनट, तीसरे सिग्नल पर 0 मिनट एवं इसी प्रकार तेरहवें सिग्नल पर 40 मिनट रुकती है। स्थान B तक पहुँचने में इसे कुल कितना समय लगेगा? उपयुक्त गणितीय विधि से हल कीजिए।
A car travels 260 km distance from a place A to place B, at a uniform speed 65 km/hr passes through all thirteen green traffic signals, 4 minutes at first signal, 7 minutes at second signal, 0 minutes at third signal and so on stops for 40 minutes at thirteenth signal. How much total time it takes to reach at the place B? Solve by suitable Mathematical Method.
हल:
चाल = 65 किमी/घण्टा, दूरी = 260 किमी
बिना रुके लगा समय = दूरी / चाल = 260 / 65 = 4 घण्टे = 240 मिनट
रुकने का समय: पहले सिग्नल पर 4 मिनट, दूसरे पर 7 मिनट, तीसरे पर 0 मिनट, ... तेरहवें पर 40 मिनट।
यह एक समान्तर श्रेणी (AP) है जिसमें पद: 4, 7, 0, ... 40। लेकिन यहाँ पैटर्न स्पष्ट नहीं है। प्रश्नानुसार, पहले सिग्नल पर 4, दूसरे पर 7, तीसरे पर 0, और तेरहवें पर 40 मिनट। यह एक विशेष अनुक्रम है।
माना कि रुकने का समय एक AP है जिसमें प्रथम पद a = 4, दूसरा पद = 7, तीसरा पद = 0। यह AP नहीं है क्योंकि सार्वअंतर समान नहीं है।
प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार, रुकने का कुल समय = 4 + 7 + 0 + ... + 40 मिनट। चूंकि पैटर्न स्पष्ट नहीं है, हम मान सकते हैं कि यह एक AP है जिसमें a = 4, d = 3 (क्योंकि 4 से 7 में 3 का अंतर, फिर 7 से 0 में -7 का अंतर, जो संगत नहीं है)।
वैकल्पिक रूप से, यदि हम मानें कि रुकने का समय 4, 7, 10, ... (AP) है, तो 13वाँ पद = a + 12d = 4 + 12×3 = 4 + 36 = 40 मिनट, जो दिए गए 40 मिनट से मेल खाता है। अतः यह एक AP है जिसमें a = 4, d = 3, n = 13.
AP का योग = n/2 [2a + (n-1)d] = 13/2 [2×4 + 12×3] = 13/2 [8 + 36] = 13/2 × 44 = 13 × 22 = 286 मिनट
कुल समय = बिना रुके समय + रुकने का समय = 240 + 286 = 526 मिनट
526 मिनट = 8 घण्टे 46 मिनट (क्योंकि 8×60=480, शेष 46)
अतः कार को स्थान B तक पहुँचने में कुल 8 घण्टे 46 मिनट लगेंगे।
5.
एक सीधे व ऊर्ध्वाधर पोल पर यातायात नियंत्रण के लिए CCTV कैमरा लगा है जो पोल के शीर्ष से 43 मीटर दूर दृष्टि रेखा तक यातायात देख सकता है। यदि पोल के चारों ओर यह कैमरा 39424 वर्गमीटर यातायात देख सकता है, तो पोल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
For traffic control, a CCTV camera is fixed on a straight and vertical pole. The camera can see 43 m distance straight line from the top. If the area visible by the camera around the pole is 39424 m², then find the height of the pole.
हल:
कैमरा पोल के शीर्ष से 43 मीटर की दूरी तक देख सकता है, अतः देखने की त्रिज्या (slant height) = 43 मीटर।
कैमरा पोल के चारों ओर एक वृत्ताकार क्षेत्र देखता है, जिसका क्षेत्रफल = 39424 वर्ग मीटर है।
वृत्त का क्षेत्रफल = πr², जहाँ r जमीन पर देखे जाने वाले वृत्त की त्रिज्या है।
πr² = 39424
r² = 39424 / π
π = 22/7 लेने पर, r² = 39424 × 7 / 22 = (39424/22) × 7 = 1792 × 7 = 12544
r = √12544 = 112 मीटर
अब, पोल की ऊँचाई h, त्रिज्या r = 112 मीटर, और दृष्टि रेखा की लंबाई (slant height) = 43 मीटर है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ कर्ण = 43 मीटर, आधार = 112 मीटर, और लंब = h.
पाइथागोरस प्रमेय से: h² + r² = (slant height)²
h² + 112² = 43²
h² + 12544 = 1849
h² = 1849 - 12544 = -10695
यह असंभव है क्योंकि h² ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः दिए गए आंकड़ों में त्रुटि है। संभवतः दृष्टि रेखा की दूरी 43 मीटर नहीं, बल्कि 43 मीटर से अधिक होनी चाहिए। या फिर क्षेत्रफल का मान भिन्न है।
यदि हम मानें कि दृष्टि रेखा की लंबाई = √(h² + r²) है, तो h = √(43² - 112²) जो वास्तविक नहीं है।
अतः प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार, पोल की ऊँचाई ज्ञात नहीं की जा सकती। कृपया प्रश्न की पुन: जाँच करें।
भाग-स (PART-C)
6.
सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
Prove that √3 is an irrational number.
हल:
मान लीजिए कि √3 एक परिमेय संख्या है। तब इसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0, और p तथा q सह-अभाज्य हैं (अर्थात् इनमें 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)।
अतः √3 = p/q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 3 = p²/q² ⇒ p² = 3q²
इससे पता चलता है कि p², 3 से विभाज्य है, अतः p भी 3 से विभाज्य होगा (क्योंकि यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है)।
माना p = 3m, जहाँ m एक पूर्णांक है।
तब (3m)² = 3q² ⇒ 9m² = 3q² ⇒ q² = 3m²
इससे पता चलता है कि q², 3 से विभाज्य है, अतः q भी 3 से विभाज्य होगा।
इस प्रकार p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं, जो हमारी प्रारंभिक कल्पना के विपरीत है कि p और q सह-अभाज्य हैं।
अतः हमारी कल्पना गलत है। इसलिए √3 एक अपरिमेय संख्या है।
7.
x³ – 6x² + 11x – 6 को x – 2 से भाग दीजिए और विभाजन एल्गोरिथ्म की सत्यता की जाँच कीजिए।
Divide x³ – 6x² + 11x – 6 by x – 2, and verify the division algorithm.
हल:
भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए बहुपदों का विभाजन करते हैं:
भाजक: x – 2, भाज्य: x³ – 6x² + 11x – 6
चरण 1: x³ को x से भाग देने पर x² प्राप्त होता है। x² को भाजक से गुणा करने पर x³ – 2x² मिलता है। इसे भाज्य से घटाने पर:
(x³ – 6x² + 11x – 6) – (x³ – 2x²) = –4x² + 11x – 6
चरण 2: –4x² को x से भाग देने पर –4x प्राप्त होता है। –4x को भाजक से गुणा करने पर –4x² + 8x मिलता है। इसे घटाने पर:
(–4x² + 11x – 6) – (–4x² + 8x) = 3x – 6
चरण 3: 3x को x से भाग देने पर 3 प्राप्त होता है। 3 को भाजक से गुणा करने पर 3x – 6 मिलता है। इसे घटाने पर:
(3x – 6) – (3x – 6) = 0
अतः भागफल = x² – 4x + 3, शेषफल = 0
विभाजन एल्गोरिथ्म की सत्यता की जाँच:
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
दायाँ पक्ष = (x – 2)(x² – 4x + 3) + 0
= x(x² – 4x + 3) – 2(x² – 4x + 3)
= x³ – 4x² + 3x – 2x² + 8x – 6
= x³ – 6x² + 11x – 6 = भाज्य
अतः विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है।
8.
टी.वी. सेट का निर्माता चौथे वर्ष में 720 टी.वी. तथा छठे वर्ष में 080 टी.वी. सेट का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एकसमान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, तो प्रथम 9 वर्षों में कुल उत्पादन ज्ञात कीजिए।
A manufacturer of TV set produced 720 sets in fourth year and 080 sets in the sixth year. Assuming that the production increases uniformly by a fixed number every year, then find total production in first 9 years.
हल: माना प्रथम वर्ष का उत्पादन = a तथा वार्षिक वृद्धि = d है।
चौथे वर्ष का उत्पादन = a + 3d = 720 ...(i)
छठे वर्ष का उत्पादन = a + 5d = 080 ...(ii)
समीकरण (ii) में से (i) घटाने पर:
(a + 5d) - (a + 3d) = 080 - 720
2d = 360
d = 180
d का मान (i) में रखने पर:
a + 3(180) = 720
a + 540 = 720
a = 180
प्रथम 9 वर्षों का कुल उत्पादन = S9 = (9/2)[2a + (9-1)d]
= (9/2)[2(180) + 8(180)]
= (9/2)[360 + 1440]
= (9/2) × 1800
= 9 × 900
= 8100
अतः प्रथम 9 वर्षों में कुल उत्पादन 8100 टी.वी. सेट है।
9.
आँधी आने पर एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 60° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु से दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 3 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
A tree breaks due to storm and the broken part bends so that the top of the tree touches the ground making an angle 60° with it. The distance between the foot of the tree to the point where the top touches the ground is 3 m. Find the height of the tree.
हल: माना पेड़ की कुल ऊँचाई = AB + BC है, जहाँ AB खड़ा भाग और BC टूटा हुआ भाग है।
टूटने के बाद, शिखर C जमीन पर बिंदु D पर पहुँचता है।
दिया है: BD = 3 मीटर, ∠CDB = 60°
समकोण त्रिभुज BDC में:
tan 60° = BC / BD
√3 = BC / 3
BC = 3√3 मीटर
cos 60° = BD / CD
1/2 = 3 / CD
CD = 6 मीटर
चूँकि टूटा हुआ भाग BC = CD, अतः BC = 6 मीटर
अब, समकोण त्रिभुज ABD में:
AB = BD × tan 60° = 3 × √3 = 3√3 मीटर
पेड़ की कुल ऊँचाई = AB + BC = 3√3 + 6 = 3(√3 + 2) मीटर
अतः पेड़ की ऊँचाई 3(√3 + 2) मीटर है।
20.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श-रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
Prove that the angle between the two tangents drawn from an external point to a circle is supplementary to the angle subtended by the line-segment joining the points of contact at the centre.
हल: माना O वृत्त का केन्द्र है। बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं, जो वृत्त को क्रमशः A और B पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है: ∠APB + ∠AOB = 180°
उपपत्ति: चूँकि स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है,
∴ OA ⊥ PA और OB ⊥ PB
अतः ∠OAP = 90° और ∠OBP = 90°
चतुर्भुज OAPB में,
∠OAP + ∠APB + ∠PBO + ∠AOB = 360° (चतुर्भुज के कोणों का योग)
90° + ∠APB + 90° + ∠AOB = 360°
∠APB + ∠AOB + 180° = 360°
∠APB + ∠AOB = 180°
अतः ∠APB और ∠AOB संपूरक हैं।
21.
5 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 13 cm दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श-रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लंबाइयाँ मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
Draw a circle of radius 5 cm. From a point 13 cm away from its centre, construct the pair of tangents to the circle and measure their length. Also verify the measurement by actual calculation.
रचना:
- O को केन्द्र मानकर 5 cm त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
- O से 13 cm की दूरी पर बिन्दु P लीजिए।
- OP को समद्विभाजित करके मध्य बिन्दु M ज्ञात कीजिए।
- M को केन्द्र मानकर MO त्रिज्या का वृत्त खींचिए जो दिए गए वृत्त को A और B पर काटता है।
- PA और PB को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
माप: PA और PB की लंबाई मापने पर लगभग 12 cm प्राप्त होती है।
परिकलन द्वारा जाँच:
समकोण त्रिभुज OAP में, OA = 5 cm, OP = 13 cm
पाइथागोरस प्रमेय से:
PA² = OP² - OA²
PA² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
PA = √144 = 12 cm
अतः स्पर्श रेखा की लंबाई 12 cm है, जो माप से मेल खाती है।
22.
एक वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। यदि इसके लघु त्रिज्य खण्ड का क्षेत्रफल 231 cm² है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
If an arc of a circle subtends an angle of 60° at the centre and if the area of minor sector is 231 cm², then find the radius of the circle.
हल:
लघु त्रिज्य खण्ड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
⇒ 231 = (60/360) × (22/7) × r²
⇒ 231 = (1/6) × (22/7) × r²
⇒ r² = (231 × 6 × 7) / 22
⇒ r² = (231 × 42) / 22
⇒ r² = 9702 / 22
⇒ r² = 441
⇒ r = √441 = 21 cm
अतः वृत्त की त्रिज्या 21 cm है।
23.
7 मीटर व्यास वाला एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 4 m × 2.5 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। कुएँ की गहराई ज्ञात कीजिए।
A well of diameter 7 m is dug and earth from digging is evenly spread out to form a platform 22 m × 4 m × 2.5 m. Find the depth of the well.
हल:
कुएँ का व्यास = 7 m, त्रिज्या (r) = 7/2 = 3.5 m
माना कुएँ की गहराई = h m
कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = πr²h = (22/7) × (3.5)² × h = (22/7) × 12.25 × h = 38.5h m³
चबूतरे का आयतन = 22 × 4 × 2.5 = 220 m³
चूँकि मिट्टी को समान रूप से फैलाया गया है, अतः
38.5h = 220
⇒ h = 220 / 38.5 = 2200 / 385 = 40/7 ≈ 5.714 m
अतः कुएँ की गहराई 40/7 m (लगभग 5.71 m) है।
24.
निम्नलिखित आँकड़े, 200 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं:
| जीवन काल (घंटों में) | 40-60 | 60-80 | 80-100 | 100-120 | 120-140 | 140-160 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | 25 | 38 | 65 | 24 | 31 | 17 |
The following data gives the information on the observed life times (in hours) of 200 electrical components.
| Life times (in hours) | 40-60 | 60-80 | 80-100 | 100-120 | 120-140 | 140-160 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequency | 25 | 38 | 65 | 24 | 31 | 17 |
उपकरणों का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
Determine the modal lifetimes of the components.
हल:
सर्वाधिक बारंबारता 65 है, जो वर्ग 80-100 में है। अतः बहुलक वर्ग = 80-100
यहाँ, l = 80, f₁ = 65, f₀ = 38, f₂ = 24, h = 20
बहुलक = l + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h
= 80 + [(65 - 38) / (2×65 - 38 - 24)] × 20
= 80 + [27 / (130 - 62)] × 20
= 80 + (27/68) × 20
= 80 + (540/68)
= 80 + 7.94
= 87.94 घंटे (लगभग)
अतः उपकरणों का बहुलक जीवन काल लगभग 87.94 घंटे है।
25.
एक डिब्बे में 7 लाल कंचे, 0 सफेद कंचे और 5 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि निकाला गया कंचा (i) लाल नहीं है? (ii) सफेद है? (iii) हरा है?
A box contains 7 red marbles, 0 white marbles and 5 green marbles. One marble is taken out of the box at random. What is the probability that the marble taken out will be (i) not red? (ii) white? (iii) green?
हल:
कुल कंचे = 7 लाल + 0 सफेद + 5 हरे = 12 कंचे
(i) लाल कंचे न होने की प्रायिकता = (सफेद + हरे कंचे) / कुल कंचे = (0 + 5) / 12 = 5/12
(ii) सफेद कंचे की प्रायिकता = 0/12 = 0
(iii) हरे कंचे की प्रायिकता = 5/12
उत्तर: (i) 5/12, (ii) 0, (iii) 5/12
भाग - द (PART - D)
26.
हिंदी: 7 रबड़ और 5 पेन्सिलों का कुल मूल्य ₹ 58 है, जबकि 5 रबड़ और 6 पेन्सिलों का कुल मूल्य ₹ 56 है। इस समस्या को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कर ग्राफ विधि से हल कीजिए।
English: The cost of 7 erasers and 5 pencils is ₹ 58 and the cost of 5 erasers and 6 pencils is ₹ 56. Formulate this problem algebraically and solve it graphically.
हल (Solution):
बीजगणितीय निरूपण (Algebraic Formulation):
माना एक रबड़ का मूल्य = ₹ x और एक पेन्सिल का मूल्य = ₹ y है।
प्रश्नानुसार,
7x + 5y = 58 ...(i)
5x + 6y = 56 ...(ii)
ग्राफ विधि (Graphical Method):
समीकरण (i) के लिए बिंदु:
- यदि x = 0, तो 5y = 58 ⇒ y = 11.6 ⇒ बिंदु (0, 11.6)
- यदि y = 0, तो 7x = 58 ⇒ x ≈ 8.29 ⇒ बिंदु (8.29, 0)
- यदि x = 4, तो 28 + 5y = 58 ⇒ 5y = 30 ⇒ y = 6 ⇒ बिंदु (4, 6)
समीकरण (ii) के लिए बिंदु:
- यदि x = 0, तो 6y = 56 ⇒ y ≈ 9.33 ⇒ बिंदु (0, 9.33)
- यदि y = 0, तो 5x = 56 ⇒ x = 11.2 ⇒ बिंदु (11.2, 0)
- यदि x = 4, तो 20 + 6y = 56 ⇒ 6y = 36 ⇒ y = 6 ⇒ बिंदु (4, 6)
ग्राफ पर दोनों रेखाएँ बिंदु (4, 6) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, एक रबड़ का मूल्य ₹ 4 और एक पेन्सिल का मूल्य ₹ 6 है।
27.
हिंदी: एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 300 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 10 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
English: A train travels 300 km at a uniform speed. If the speed had been 10 km/h more, it would have taken 1 hour less for the same journey. Find the speed of the train.
हल (Solution):
माना रेलगाड़ी की मूल चाल = x km/h है।
मूल समय = दूरी/चाल = 300/x घंटे
यदि चाल 10 km/h अधिक होती, तो नई चाल = (x + 10) km/h
नया समय = 300/(x + 10) घंटे
प्रश्नानुसार, मूल समय - नया समय = 1
⇒ 300/x - 300/(x + 10) = 1
⇒ [300(x + 10) - 300x] / [x(x + 10)] = 1
⇒ (300x + 3000 - 300x) / [x(x + 10)] = 1
⇒ 3000 / [x(x + 10)] = 1
⇒ x(x + 10) = 3000
⇒ x² + 10x - 3000 = 0
⇒ x² + 60x - 50x - 3000 = 0
⇒ x(x + 60) - 50(x + 60) = 0
⇒ (x + 60)(x - 50) = 0
⇒ x = 50 या x = -60 (चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)
अतः, रेलगाड़ी की चाल 50 km/h है।
अथवा (OR)
हिंदी: एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 25 मी. अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 23 मी. अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
English: The diagonal of a rectangular field is 25 metres more than the shorter side. If longer side is 23 metres more than the shorter side, find the sides of the field.
हल (Solution):
माना छोटी भुजा (चौड़ाई) = x मीटर
तब, बड़ी भुजा (लंबाई) = x + 23 मीटर
विकर्ण = x + 25 मीटर
पाइथागोरस प्रमेय से,
(विकर्ण)² = (लंबाई)² + (चौड़ाई)²
⇒ (x + 25)² = (x + 23)² + x²
⇒ x² + 50x + 625 = x² + 46x + 529 + x²
⇒ x² + 50x + 625 = 2x² + 46x + 529
⇒ 0 = 2x² + 46x + 529 - x² - 50x - 625
⇒ 0 = x² - 4x - 96
⇒ x² - 4x - 96 = 0
⇒ x² - 12x + 8x - 96 = 0
⇒ x(x - 12) + 8(x - 12) = 0
⇒ (x - 12)(x + 8) = 0
⇒ x = 12 या x = -8 (लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)
अतः, छोटी भुजा = 12 मीटर
बड़ी भुजा = 12 + 23 = 35 मीटर
अतः, खेत की भुजाएँ 12 मीटर और 35 मीटर हैं।
28.
(i) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ - cosec θ) का मान ज्ञात कीजिए।
Evaluate: (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ - cosec θ)
हल (Solution):
(1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ - cosec θ)
= (1 + sin θ/cos θ + 1/cos θ)(1 + cos θ/sin θ - 1/sin θ)
= [(cos θ + sin θ + 1)/cos θ] × [(sin θ + cos θ - 1)/sin θ]
= [(cos θ + sin θ + 1)(sin θ + cos θ - 1)] / (cos θ sin θ)
= [{(cos θ + sin θ) + 1}{(cos θ + sin θ) - 1}] / (cos θ sin θ)
= [(cos θ + sin θ)² - 1²] / (cos θ sin θ)
= [cos²θ + sin²θ + 2 sin θ cos θ - 1] / (cos θ sin θ)
= [1 + 2 sin θ cos θ - 1] / (cos θ sin θ)
= [2 sin θ cos θ] / (cos θ sin θ)
= 2
अतः, अभीष्ट मान = 2
(ii) सिद्ध कीजिए कि: (tan A - sin A) / (tan A + sin A) = (sec A - 1) / (sec A + 1)
Prove that: (tan A - sin A) / (tan A + sin A) = (sec A - 1) / (sec A + 1)
हल (Solution):
बायाँ पक्ष (LHS) = (tan A - sin A) / (tan A + sin A)
= (sin A/cos A - sin A) / (sin A/cos A + sin A)
= [sin A(1/cos A - 1)] / [sin A(1/cos A + 1)]
= (1/cos A - 1) / (1/cos A + 1)
= (sec A - 1) / (sec A + 1)
= दायाँ पक्ष (RHS)
अतः, सिद्ध हुआ।
29. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-3, -2), (5, -2) और (5, 4) हैं । यह भी सिद्ध कीजिए कि यह समकोण त्रिभुज है।
Find the area of that triangle whose vertices are (-3, -2), (5, -2) and (5, 4). Also prove that it is a right angle triangle.
हल (Solution):
माना त्रिभुज के शीर्ष A(-3, -2), B(5, -2) और C(5, 4) हैं।
क्षेत्रफल ज्ञात करना:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ | x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) |
= ½ | (-3)(-2 - 4) + 5(4 - (-2)) + 5(-2 - (-2)) |
= ½ | (-3)(-6) + 5(6) + 5(0) |
= ½ | 18 + 30 + 0 |
= ½ × 48
= 24 वर्ग इकाई
समकोण त्रिभुज सिद्ध करना:
भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
AB = √[(5 - (-3))² + (-2 - (-2))²] = √(8² + 0²) = 8 इकाई
BC = √[(5 - 5)² + (4 - (-2))²] = √(0² + 6²) = 6 इकाई
AC = √[(5 - (-3))² + (4 - (-2))²] = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 इकाई
अब, पाइथागोरस प्रमेय की जाँच:
AB² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
AC² = 10² = 100
चूँकि AB² + BC² = AC², अतः त्रिभुज समकोण त्रिभुज है जिसमें B पर समकोण है।
30. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
Prove that a line drawn through the mid-point of one side of a triangle parallel to second side bisects the third side.
हल (Solution):
माना ABC एक त्रिभुज है जिसमें D, भुजा AB का मध्य-बिंदु है। D से होकर BC के समान्तर एक रेखा DE खींची गई है जो AC को E पर मिलती है।
हमें सिद्ध करना है कि AE = EC अर्थात E, AC का मध्य-बिंदु है।
रचना: D से AC के समान्तर एक रेखा DF खींचिए जो BC को F पर मिले।
उपपत्ति:
चूँकि DE ∥ BC (दिया है) और DF ∥ AC (रचना से), अतः DBCF एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, अतः DF = BC और DB = CF।
चूँकि D, AB का मध्य-बिंदु है, अतः AD = DB = CF।
अब, त्रिभुज ADE और त्रिभुज EFC में:
- AD = CF (सिद्ध किया)
- ∠ADE = ∠EFC (संगत कोण, DE ∥ BC और DF ∥ AC)
- ∠DAE = ∠FEC (संगत कोण, DE ∥ BC)
अतः ASA सर्वांगसमता नियम से, ΔADE ≅ ΔEFC
इसलिए, AE = EC (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
अतः E, AC का मध्य-बिंदु है। यही सिद्ध करना था।
अथवा / OR
PQRS एक समलंब है जिसमें PQ ∥ RS है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि PO/QO = RO/SO
PQRS is a trapezium in which PQ ∥ RS and its diagonals intersect each other at point O. Prove that PO/QO = RO/SO.
हल (Solution):
दिया है: PQRS एक समलंब है जिसमें PQ ∥ RS है। विकर्ण PR और QS बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: PO/QO = RO/SO
रचना: O से होकर PQ के समान्तर एक रेखा AB खींचिए जो PS को A पर और QR को B पर मिले।
उपपत्ति:
चूँकि PQ ∥ RS (दिया है) और AB ∥ PQ (रचना से), अतः AB ∥ RS भी है।
त्रिभुज PRS में, OA ∥ RS (AB ∥ RS), अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) से:
PO/OR = PA/AS ...(1)
त्रिभुज QRS में, OB ∥ RS (AB ∥ RS), अतः:
QO/OS = QB/BR ...(2)
त्रिभुज PQS में, OA ∥ PQ (AB ∥ PQ), अतः:
PA/AS = QO/OS ...(3)
समीकरण (1), (2) और (3) से:
PO/OR = QO/OS
अतः PO/QO = RO/SO (तिर्यक गुणन द्वारा)
यही सिद्ध करना था।
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