RBSE Class 10th 2018 Mathematics-S-09-2018-With Solution Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2018 |
| Subject | Mathematics-S-09-2018-With Solution |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 10th 2018 Mathematics-S-09-2018-With Solution
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Rajasthan Board Class 10th Mathematics-S-09-2018-With Solution 2018 solved Previous Year Question Papers
RBSE 206 Solved Paper (Solution Attached) 10th Maths
Name: ____________________ Roll No.: ____________________
No. of Questions: 30 Subject Code: S-09-Mathematics
No. of Printed Pages: 14
माध्यमिक परीक्षा, 2018
SECONDARY EXAMINATION, 2018
गणित
MATHEMATICS
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
-
परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
Candidates must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily. -
सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
All the questions are compulsory. -
प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
Write the answer to each question in the given answer-book only.
RBSE 206 Solved Paper (Solution Attached) – 70th Maths
(4) जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.
(5) प्रश्न-पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी रूपांतर में किसी प्रकार की त्रुटि/अंतर/विरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को ही सही मानें।
If there is any error / difference / contradiction in Hindi & English versions of the question paper, the question of Hindi version should be treated valid.
(6)
| भाग | प्रश्न संख्या | अंक प्रत्येक प्रश्न |
|---|---|---|
| A | 1 – 10 | 1 |
| B | 11 – 15 | 2 |
| C | 16 – 25 | 3 |
| D | 26 – 30 | 6 |
(7) प्रश्न क्रमांक 27 व 29 में आन्तरिक विकल्प हैं।
There are internal choices in Q. No. 27 and 29.
(8) अपनी उत्तर-पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए। यदि कोई रफ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अंतिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर “रफ कार्य” लिख दें।
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write “Rough Work” on them.
(9) प्रश्न क्रमांक 26 का लेखाचित्र ग्राफ पेपर पर बनाइए।
Draw the graph of Question No. 26 on graph paper.
S.09-Mathematics
भाग - अ
Part—A
1. एकाधिकेन पूर्वेण का प्रयोग करते हुए \(3\frac{1}{5} \times 3\frac{1}{5}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of \(3\frac{1}{5} \times 3\frac{1}{5}\) by using Ekaadhiken Purven Sutra.
हल / Solution:
एकाधिकेन पूर्वेण सूत्र के अनुसार, जब संख्या 5 पर समाप्त होती है, तो वर्ग ज्ञात करने का नियम है: पूर्व भाग (संख्या का 5 को छोड़कर शेष भाग) में एक जोड़कर गुणा करें और अंत में 25 जोड़ें।
यहाँ \(3\frac{1}{5} = \frac{16}{5}\) है, लेकिन सूत्र का प्रयोग दशमलव या भिन्न रूप में नहीं, बल्कि पूर्णांक के लिए होता है। वास्तव में, \(3\frac{1}{5}\) को \(3.2\) लिख सकते हैं, लेकिन सूत्र सीधे लागू नहीं होता। सही व्याख्या: \(3\frac{1}{5} \times 3\frac{1}{5} = \left(\frac{16}{5}\right)^2 = \frac{256}{25} = 10\frac{6}{25}\)।
एकाधिकेन पूर्वेण से: \(3 \times (3+1) = 3 \times 4 = 12\) और अंत में 25 जोड़ने पर 1225, लेकिन यह 35² के लिए है। यहाँ संख्या 3.2 है, इसलिए सीधा गुणा: \(3.2 \times 3.2 = 10.24\) या \(\frac{256}{25}\)।
अतः मान = \(10\frac{6}{25}\) या 10.24
2. हल कीजिए:
\[
\frac{1}{y-3} - \frac{1}{x-7} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-9}
\]
Solve:
\[
\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-7} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-9}
\]
हल / Solution:
दिया गया समीकरण: \(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-7} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-9}\)
बायाँ पक्ष: \(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-7} = \frac{(x-7) - (x-3)}{(x-3)(x-7)} = \frac{-4}{(x-3)(x-7)}\)
दायाँ पक्ष: \(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-9} = \frac{(x-9) - (x-1)}{(x-1)(x-9)} = \frac{-8}{(x-1)(x-9)}\)
अतः \(\frac{-4}{(x-3)(x-7)} = \frac{-8}{(x-1)(x-9)}\)
दोनों पक्षों में -4 से भाग देने पर: \(\frac{1}{(x-3)(x-7)} = \frac{2}{(x-1)(x-9)}\)
क्रॉस गुणा: \((x-1)(x-9) = 2(x-3)(x-7)\)
विस्तार: \(x^2 - 10x + 9 = 2(x^2 - 10x + 21) = 2x^2 - 20x + 42\)
सभी पदों को एक तरफ: \(0 = 2x^2 - 20x + 42 - x^2 + 10x - 9 = x^2 - 10x + 33\)
अतः \(x^2 - 10x + 33 = 0\)
द्विघात सूत्र: \(x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 132}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{-32}}{2}\)
चूँकि विविक्तकर ऋणात्मक है, कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।
3. 96 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योगफल लिखिए।
Write the sum of powers of prime factors of 96.
हल / Solution:
96 का अभाज्य गुणनखण्ड: \(96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3^1\)
अभाज्य गुणनखण्डों की घातें: 5 और 1
इनका योगफल: \(5 + 1 = 6\)
उत्तर: 6
4. cos 50° · cosec 40° का मान लिखिए।
Write the value of cos 50° · cosec 40°.
हल / Solution:
हम जानते हैं: cos 50° = sin (90° - 50°) = sin 40°
और cosec 40° = \(\frac{1}{\sin 40°}\)
अतः cos 50° · cosec 40° = sin 40° × \(\frac{1}{\sin 40°}\) = 1
उत्तर: 1
5. यदि एक ऊर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात \(1 : \sqrt{3}\) हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
If the ratio of the length of a vertical bar to its shadow is \(1 : \sqrt{3}\), then find the elevation angle of the sun.
हल / Solution:
माना छड़ की लम्बाई = 1 इकाई, छाया की लम्बाई = \(\sqrt{3}\) इकाई
सूर्य का उन्नयन कोण θ है, तो \(\tan \theta = \frac{\text{छड़ की लम्बाई}}{\text{छाया की लम्बाई}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
हम जानते हैं: \(\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
अतः θ = 30°
उत्तर: 30°
6. दो दिये गये बिन्दुओं से सम दूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपध लिखिए |
Write the locus of the points equidistant from the two given points.
Solution: The locus of points equidistant from two given points is the perpendicular bisector of the line segment joining the two points.
7. वृत्तमें केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाओं का अनुपात लिखिए |
Find the ratio between the chords which are equidistant from the centre of a circle.
Solution: Chords that are equidistant from the centre of a circle are equal in length. Therefore, the ratio between them is 1 : 1.
8. एक पासे के एक बार फेंकने पर विषम अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए |
A dice is thrown once. Find the probability of getting an odd number.
Solution: When a dice is thrown once, total possible outcomes = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Odd numbers on a dice = 1, 3, 5 → 3 favourable outcomes.
Probability = (Number of favourable outcomes) / (Total outcomes) = 3/6 = 1/2.
9. किसी नगर में टैक्सी का किराया पहले किलोमीटर का ₹ 5 और उसके बाद में ₹ 3 है | यदि तय की गई दूरी x किमी और किराया ₹ y हो, तो इसे समीकरण रूप में व्यक्त कीजिए |
In a city, the fare of a taxi for first kilometre is ₹ 5 and after that it is ₹ 3. If distance covered is x km and fare is ₹ y, then express it in the form of equation.
Solution: For first kilometre, fare = ₹ 5. For remaining (x - 1) km, fare = ₹ 3 per km.
Total fare y = 5 + 3(x - 1)
Simplifying: y = 5 + 3x - 3
Equation: y = 3x + 2
10. यदि एक खम्भे के आधार से 20 मीटर दूर स्थित प्लेटफार्म के एक बिन्दु से खम्भे की चोटी पर लगे हुए कैमरे का उन्नयन कोण 60° है तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |
If the elevation angle of a camera situated at the top of a pole from a point 20 metre away from the base of the pole is 60°, find the height of the pole.
Solution: Let height of pole = h metres. Distance from base = 20 m. Angle of elevation = 60°.
In right triangle, tan 60° = h / 20
⇒ √3 = h / 20
⇒ h = 20√3 metres
Height of pole = 20√3 m (approximately 34.64 m).
भाग - ब
Part—B
1. द्वन्द्र योग विधि से 6889 का वर्ग मूल ज्ञात कीजिए।
Find the square root of 6889 by using Dwandwa Yoga Method.
हल: द्वन्द्र योग विधि से वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, संख्या को दो-दो अंकों के जोड़े में बाँटते हैं (दाएँ से): 68 | 89
चरण 1: सबसे बड़ी संख्या जिसका वर्ग 68 से कम या बराबर हो, वह 8 है (8² = 64)। भागफल = 8, शेषफल = 68 - 64 = 4।
चरण 2: अगला अंक 89 नीचे लाते हैं। नया भाज्य = 489। द्वन्द्र योग = 2 × भागफल × अगला अंक + (अगला अंक)²। यहाँ भागफल = 8, अतः 2 × 8 = 16। 489 को 16 से भाग देने पर भागफल 3 आता है (16 × 3 = 48, शेष 9)। अगला अंक = 3। द्वन्द्र योग = 2 × 8 × 3 + 3² = 48 + 9 = 57। 489 - 57 = 432, शेष 0।
अतः वर्गमूल = 83।
उत्तर: 83
2. यदि दो संख्याओं का गुणनफल 525 है और उनका महत्तम समापवर्तक 5 है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।
If the product of two numbers is 525 and their H.C.F. is 5, then find their L.C.M.
हल: हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.
दिया है: गुणनफल = 525, H.C.F. = 5
अतः L.C.M. = गुणनफल / H.C.F. = 525 / 5 = 105
उत्तर: 105
3. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 26 वर्ग मीटर है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
The total surface area of a cube is 26 square metre. Find the side of the cube.
हल: घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)²
दिया है: 6 × (भुजा)² = 26
⇒ (भुजा)² = 26 / 6 = 13 / 3
⇒ भुजा = √(13/3) मीटर
उत्तर: √(13/3) मीटर
4. एक अर्द्ध गोले की त्रिज्या 7 से.मी. है, इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
The radius of a semi-sphere is 7 cm, find the total surface area of it.
हल: अर्द्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr² (वक्र पृष्ठ + वृत्ताकार आधार)
दिया है: r = 7 से.मी., π = 22/7
क्षेत्रफल = 3 × (22/7) × 7² = 3 × (22/7) × 49 = 3 × 22 × 7 = 462 वर्ग से.मी.
उत्तर: 462 वर्ग से.मी.
5. एक 24 मीटर ऊँचे पोल पर यातायात नियंत्रण के लिए CCTV कैमरा लगाया गया है ताकि यह पोल के शीर्ष से 25 मीटर दूर दृष्टि रेखा के आगे भी यातायात देख सकता है। पोल के चारों ओर अदर्शनीय वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A CCTV camera is placed on the top of a 24 m high pole in such a way that traffic can be seen beyond 25 metre of line of sight of it. Find the area of the Green patch around the pole.
हल: पोल की ऊँचाई = 24 मीटर, दृष्टि रेखा की दूरी = 25 मीटर। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ पोल ऊर्ध्वाधर भुजा है और दृष्टि रेखा कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय से, पोल के आधार से दृष्टि बिंदु तक की क्षैतिज दूरी = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7 मीटर।
यह दूरी अदर्शनीय वृत्त की त्रिज्या है।
अतः वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 154 वर्ग मीटर।
उत्तर: 154 वर्ग मीटर
भाग – स (Part – C)
प्रश्न 16. विभाजन एल्गोरिथम पद्धति द्वारा बहुपद P(x) = x4 – 3x2 + 4x – 3 को g(x) = x2 + 1 – x से भाग देने पर भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए।
By using division algorithm method find quotient and remainder when polynomial P(x) = x4 – 3x2 + 4x – 3 is divided by g(x) = x2 + 1 – x.
हल: सर्वप्रथम बहुपदों को मानक रूप में लिखते हैं:
P(x) = x4 + 0x3 – 3x2 + 4x – 3
g(x) = x2 – x + 1
अब विभाजन एल्गोरिथम द्वारा भाग करते हैं:
x² + x - 3
________________
x²-x+1 | x⁴ + 0x³ - 3x² + 4x - 3
x⁴ - x³ + x²
------------
x³ - 4x² + 4x
x³ - x² + x
------------
-3x² + 3x - 3
-3x² + 3x - 3
------------
0
भागफल: x2 + x – 3
शेषफल: 0
प्रश्न 17. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का दूसरा व तीसरा पद क्रमशः 3 और 5 हैं, तो इसके प्रथम 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
If second and third terms of an Arithmetic Progression are 3 and 5 respectively, then find the sum of first 20 terms of it.
हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्वअंतर d है।
दूसरा पद = a + d = 3 …(i)
तीसरा पद = a + 2d = 5 …(ii)
समीकरण (ii) में से (i) घटाने पर:
(a + 2d) – (a + d) = 5 – 3 ⇒ d = 2
d का मान (i) में रखने पर: a + 2 = 3 ⇒ a = 1
प्रथम 20 पदों का योगफल: S20 = (20/2)[2a + (20 – 1)d]
= 10[2(1) + 19(2)] = 10[2 + 38] = 10 × 40 = 400
अतः प्रथम 20 पदों का योगफल 400 है।
प्रश्न 18. एक मीनार के आधार से 9 मीटर तथा 25 मीटर दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण परस्पर पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
The angles of elevation of the top of a tower from two points at a distance of 9 m and 25 m from the base of the tower in the same straight line are complementary. Find the height of the tower.
हल: माना मीनार की ऊँचाई h मीटर है।
पहले बिन्दु (9 मीटर दूरी) पर उन्नयन कोण θ है, तो दूसरे बिन्दु (25 मीटर दूरी) पर उन्नयन कोण (90° – θ) होगा (क्योंकि ये पूरक हैं)।
पहले बिन्दु से: tan θ = h/9 …(i)
दूसरे बिन्दु से: tan(90° – θ) = cot θ = h/25 …(ii)
समीकरण (i) और (ii) को गुणा करने पर:
tan θ × cot θ = (h/9) × (h/25)
⇒ 1 = h2 / (9 × 25)
⇒ h2 = 225
⇒ h = 15 मीटर (ऊँचाई धनात्मक)
अतः मीनार की ऊँचाई 15 मीटर है।
प्रश्न 19
दी गई आकृति में यदि OP = OQ = OR = OS तो दर्शाइए ∠OPS = ∠ORQ व ∠OQR = ∠OSP.
In the given figure if OP = OQ = OR = OS, then show that ∠OPS = ∠ORQ and ∠OQR = ∠OSP.
हल:
दिया है: OP = OQ = OR = OS
त्रिभुज OPS और त्रिभुज ORQ में:
- OP = OR (दिया है)
- OS = OQ (दिया है)
- ∠POS = ∠ROQ (सम्मुख कोण)
अतः SAS सर्वांगसमता से, ΔOPS ≅ ΔORQ
इसलिए, ∠OPS = ∠ORQ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
इसी प्रकार, त्रिभुज OQR और त्रिभुज OSP में:
- OQ = OS (दिया है)
- OR = OP (दिया है)
- ∠QOR = ∠SOP (सम्मुख कोण)
अतः SAS सर्वांगसमता से, ΔOQR ≅ ΔOSP
इसलिए, ∠OQR = ∠OSP (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
इस प्रकार, अभीष्ट कथन सिद्ध होता है।
प्रश्न 20
एक त्रिभुज ABC में माध्यिकाएँ AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AD = 9 सेमी, GE = 4.2 सेमी और GC = 6 सेमी, तो AG, BE और FG की लम्बाइयों के मान ज्ञात कीजिए।
In a triangle ABC, the medians AD, BE and CF pass through the point G. If AD = 9 cm, GE = 4.2 cm and GC = 6 cm, then find the values of the lengths of AG, BE and FG.
हल:
हम जानते हैं कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक-दूसरे को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती हैं (केन्द्रक G से शीर्ष की ओर भाग 2 भाग और आधार की ओर 1 भाग होता है)।
AG ज्ञात करना:
AD = AG + GD = 9 सेमी
AG : GD = 2 : 1
अतः AG = (2/3) × AD = (2/3) × 9 = 6 सेमी
BE ज्ञात करना:
GE = 4.2 सेमी (दिया है)
BG : GE = 2 : 1
अतः BG = 2 × GE = 2 × 4.2 = 8.4 सेमी
BE = BG + GE = 8.4 + 4.2 = 12.6 सेमी
FG ज्ञात करना:
GC = 6 सेमी (दिया है)
CG : GF = 2 : 1
अतः GF = (1/2) × GC = (1/2) × 6 = 3 सेमी
इस प्रकार, AG = 6 सेमी, BE = 12.6 सेमी, FG = 3 सेमी।
प्रश्न 21
दी गई आकृति में कुछ कोणों को x, y और z से चिह्नित किया गया है। इन कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
In the given figure some angles are represented by x, y and z. Find the values of these angles.
हल: (आकृति के अभाव में सामान्य विधि)
मान लीजिए आकृति में कोणों के बीच संबंध दिए गए हैं। सामान्यतः, रेखीय युग्म, सम्मुख कोण, त्रिभुज के कोण योग गुण आदि का उपयोग करके x, y, z ज्ञात किए जाते हैं।
उदाहरण के लिए, यदि कोई कोण 60° दिया है और x उसका पूरक है, तो x = 120°। यदि त्रिभुज में कोण दिए हों, तो सभी कोणों का योग 180° होता है।
कृपया आकृति में दिए गए कोणों के मानों के अनुसार गणना करें।
प्रश्न 22
एक 4 सेमी त्रिज्या के वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्श-रेखाओं PA तथा PB की रचना कीजिए, जहाँ PA तथा PB के मध्य कोण 65° है।
Draw two tangents PA and PB from an external point P, to a circle of radius 4 cm, where angle between PA and PB is 65°.
रचना के चरण:
- O को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
- वृत्त के केंद्र O से एक किरण OA खींचिए।
- OA के साथ 65° का कोण बनाते हुए एक किरण OB खींचिए (∠AOB = 180° - 65° = 115° क्योंकि स्पर्श रेखाओं के बीच कोण और केंद्र पर बने कोण का योग 180° होता है)।
- बिंदु A और B पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए (OA और OB पर लंब)।
- ये दोनों स्पर्श रेखाएँ बिंदु P पर मिलेंगी।
- इस प्रकार PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच कोण 65° है।
वैकल्पिक विधि: केंद्र O पर ∠AOB = 115° बनाकर, A और B पर लंब खींचकर स्पर्श रेखाएँ प्राप्त करें।
प्रश्न 23
एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 4.2 मीटर है। पार्क के चारों ओर 1.4 मीटर चौड़ा रास्ता बना हुआ है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
The radius of a circular park is 4.2 m. A path of 1.4 m width is made around the circular park. Find the area of the path.
हल:
पार्क की त्रिज्या (r) = 4.2 मीटर
रास्ते की चौड़ाई = 1.4 मीटर
रास्ते सहित पार्क की त्रिज्या (R) = 4.2 + 1.4 = 5.6 मीटर
रास्ते का क्षेत्रफल = बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल - आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल
= πR² - πr² = π(R² - r²)
= π(5.6² - 4.2²) = π(31.36 - 17.64) = π × 13.72
= (22/7) × 13.72 = 22 × 1.96 = 43.12 वर्ग मीटर
उत्तर: रास्ते का क्षेत्रफल 43.12 वर्ग मीटर है।
प्रश्न 24
एक रोलर की लम्बाई 2.5 मीटर और व्यास 1.4 मीटर है। 0 चक्कर लगाने में रोलर कितना क्षेत्र समतल करेगा?
The length and diameter of a roller are 2.5 m and 1.4 m respectively. How much area will be planned by roller in 0 revolutions?
हल:
रोलर का व्यास = 1.4 मीटर, त्रिज्या (r) = 0.7 मीटर
रोलर की लम्बाई (h) = 2.5 मीटर
रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × (22/7) × 0.7 × 2.5
= 2 × 22 × 0.1 × 2.5 = 44 × 0.25 = 11 वर्ग मीटर
0 चक्कर में समतल क्षेत्र = 0 × 11 = 0 वर्ग मीटर
उत्तर: 0 चक्कर में रोलर 0 वर्ग मीटर क्षेत्र समतल करेगा।
प्रश्न 25
एक थैले में एक सफेद गेंद, दो काली गेंद और तीन लाल गेंद एक ही आकार की हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
- गेंद सफेद हो
- गेंद काली न हो
- गेंद लाल हो
In a bag one white ball, two black balls and three red balls of same size are placed. A ball is drawn at random from this bag. Find the probability:
- ball is white
- ball is not black
- ball is red
हल:
कुल गेंदें = 1 सफेद + 2 काली + 3 लाल = 6 गेंदें
कुल संभावित परिणाम = 6
- सफेद गेंद होने की प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 1/6
- गेंद काली न होने का अर्थ है सफेद या लाल होना। अनुकूल परिणाम = 1 + 3 = 4
प्रायिकता = 4/6 = 2/3 - लाल गेंद होने की प्रायिकता = 3/6 = 1/2
उत्तर: (i) 1/6, (ii) 2/3, (iii) 1/2
भाग - द
Part—D
26. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए :
2x + y = 6, 2x – y = 2
अतः इसकी सहायता से संबंध 6x + 7y = p में p का मान ज्ञात कीजिए।
Solve the following pair of linear equations by graphical method :
2x + y = 6, 2x – y = 2
Thus find the value of p in the relation 6x + 7y = p.
हल (Solution):
चरण 1: दिए गए समीकरणों को आलेखित करने के लिए प्रत्येक समीकरण के कम से कम दो बिंदु ज्ञात करें।
समीकरण (i): 2x + y = 6 ⇒ y = 6 – 2x
- यदि x = 0, तो y = 6 → बिंदु (0, 6)
- यदि x = 3, तो y = 0 → बिंदु (3, 0)
समीकरण (ii): 2x – y = 2 ⇒ y = 2x – 2
- यदि x = 0, तो y = –2 → बिंदु (0, –2)
- यदि x = 1, तो y = 0 → बिंदु (1, 0)
चरण 2: इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करके दोनों रेखाएँ खींचें। दोनों रेखाएँ बिंदु (2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः हल है: x = 2, y = 2
चरण 3: अब संबंध 6x + 7y = p में x = 2, y = 2 रखने पर:
6(2) + 7(2) = 12 + 14 = 26
अतः p = 26
27. सिद्ध कीजिए :
(i) \(\frac{1 + \cos \theta}{\sqrt{1 - \cos \theta}} = \csc \theta + \cot \theta\)
(ii) \(\frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} = 1 + \tan \theta + \cot \theta\)
Prove that :
(i) \(\frac{1 + \cos \theta}{\sqrt{1 - \cos \theta}} = \csc \theta + \cot \theta\)
(ii) \(\frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} = 1 + \tan \theta + \cot \theta\)
हल (Solution):
(i) बायाँ पक्ष:
\(\frac{1 + \cos \theta}{\sqrt{1 - \cos \theta}}\)
अंश और हर को \(\sqrt{1 + \cos \theta}\) से गुणा करें:
= \(\frac{(1 + \cos \theta) \sqrt{1 + \cos \theta}}{\sqrt{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}} = \frac{(1 + \cos \theta) \sqrt{1 + \cos \theta}}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\)
= \(\frac{(1 + \cos \theta) \sqrt{1 + \cos \theta}}{\sin \theta}\)
अब \(\sqrt{1 + \cos \theta} = \sqrt{2 \cos^2(\theta/2)} = \sqrt{2} \cos(\theta/2)\) और \(1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)\)
= \(\frac{2 \cos^2(\theta/2) \cdot \sqrt{2} \cos(\theta/2)}{\sin \theta} = \frac{2\sqrt{2} \cos^3(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \frac{\sqrt{2} \cos^2(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}\)
दायाँ पक्ष: \(\csc \theta + \cot \theta = \frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\)
= \(\frac{2 \cos^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} = \cot(\theta/2)\)
दोनों पक्ष समान नहीं हैं, अतः सही सर्वसमिका है: \(\frac{1 + \cos \theta}{\sqrt{1 - \cos \theta}} = \csc \theta + \cot \theta\)
वैकल्पिक: \(\frac{1 + \cos \theta}{\sqrt{1 - \cos \theta}} = \frac{(1 + \cos \theta) \sqrt{1 + \cos \theta}}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}} = \frac{(1 + \cos \theta) \sqrt{1 + \cos \theta}}{\sin \theta}\)
चूँकि \(\sqrt{1 + \cos \theta} = \sqrt{2} \cos(\theta/2)\) और \(1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)\), तो:
= \(\frac{2 \cos^2(\theta/2) \cdot \sqrt{2} \cos(\theta/2)}{\sin \theta} = \frac{2\sqrt{2} \cos^3(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \frac{\sqrt{2} \cos^2(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}\)
दायाँ पक्ष: \(\csc \theta + \cot \theta = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \cos^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}\)
यह सर्वसमिका सत्य है यदि \(\sqrt{2} \cos(\theta/2) = 1\) अर्थात \(\cos(\theta/2) = 1/\sqrt{2}\) जो सामान्यतः सत्य नहीं है। अतः प्रश्न में त्रुटि हो सकती है। सही सर्वसमिका है: \(\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \csc \theta + \cot \theta\)
(ii) बायाँ पक्ष:
\(\frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta}\)
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\), \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
= \(\frac{\sin \theta / \cos \theta}{1 - \cos \theta / \sin \theta} + \frac{\cos \theta / \sin \theta}{1 - \sin \theta / \cos \theta}\)
= \(\frac{\sin \theta / \cos \theta}{(\sin \theta - \cos \theta)/\sin \theta} + \frac{\cos \theta / \sin \theta}{(\cos \theta - \sin \theta)/\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta}\)
= \(\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta (\sin \theta - \cos \theta)}\) (क्योंकि \(\cos \theta - \sin \theta = -(\sin \theta - \cos \theta)\))
= \(\frac{1}{\sin \theta - \cos \theta} \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \right)\)
= \(\frac{1}{\sin \theta - \cos \theta} \cdot \frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
= \(\frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)}{(\sin \theta - \cos \theta) \sin \theta \cos \theta}\)
= \(\frac{1 + \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
= \(\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + 1 = \csc \theta \sec \theta + 1\)
दायाँ पक्ष: \(1 + \tan \theta + \cot \theta = 1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 1 + \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 1 + \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}\)
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। सिद्ध।
अथवा (OR)
(i) यदि sin θ + cos θ = p और sec θ + cosec θ = q हो तो सिद्ध कीजिए कि q(p² – 1) = 2p.
(ii) सिद्ध कीजिए :
\(\frac{\cos A}{1 - \tan A} + \frac{\sin A}{1 - \cot A} = \sin A + \cos A\)
(i) If sin θ + cos θ = p and sec θ + cosec θ = q, then prove that q(p² – 1) = 2p.
(ii) Prove that :
\(\frac{\cos A}{1 - \tan A} + \frac{\sin A}{1 - \cot A} = \sin A + \cos A\)
हल (Solution):
(i) दिया है: sin θ + cos θ = p ...(1)
sec θ + cosec θ = q
⇒ \(\frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = q\)
⇒ \(\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = q\)
⇒ \(\frac{p}{\sin \theta \cos \theta} = q\) ⇒ \(\sin \theta \cos \theta = \frac{p}{q}\) ...(2)
अब, (1) का वर्ग करने पर:
\((\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2\)
⇒ \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2\)
⇒ \(1 + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2\)
⇒ \(1 + 2 \cdot \frac{p}{q} = p^2\) (समीकरण (2) से)
⇒ \(2 \cdot \frac{p}{q} = p^2 - 1\)
⇒ \(2p = q(p^2 - 1)\)
अतः q(p² – 1) = 2p. सिद्ध।
(ii) बायाँ पक्ष:
\(\frac{\cos A}{1 - \tan A} + \frac{\sin A}{1 - \cot A}\)
= \(\frac{\cos A}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}} + \frac{\sin A}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}}\)
= \(\frac{\cos A}{\frac{\cos A - \sin A}{\cos A}} + \frac{\sin A}{\frac{\sin A - \cos A}{\sin A}}\)
= \(\frac{\cos^2 A}{\cos A - \sin A} + \frac{\sin^2 A}{\sin A - \cos A}\)
= \(\frac{\cos^2 A}{\cos A - \sin A} - \frac{\sin^2 A}{\cos A - \sin A}\) (क्योंकि \(\sin A - \cos A = -(\cos A - \sin A)\))
= \(\frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos A - \sin A}\)
= \(\frac{(\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A)}{\cos A - \sin A}\)
= \(\cos A + \sin A\) = दायाँ पक्ष। सिद्ध।
प्रश्न 28
(i) यदि बिन्दु (x, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
If distance between points (x, 3) and (5, 7) is 5, then find the value of x.
हल:
दूरी सूत्र के अनुसार:
√[(5 - x)² + (7 - 3)²] = 5
⇒ (5 - x)² + 16 = 25
⇒ (5 - x)² = 9
⇒ 5 - x = ±3
⇒ x = 5 ∓ 3
अतः x = 2 या x = 8
सही उत्तर: x = 2 या x = 8
(ii) ज्ञात कीजिए रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) और (2, 7) को मिलाने वाले रेखा खण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है।
Find the ratio in which the line 3x + y = 9 divides the line segment joining the points (1, 3) and (2, 7).
हल:
माना रेखा 3x + y = 9, बिन्दुओं (1, 3) और (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन बिन्दु के निर्देशांक:
x = (2k + 1)/(k + 1), y = (7k + 3)/(k + 1)
यह बिन्दु रेखा 3x + y = 9 पर स्थित है, अतः:
3[(2k + 1)/(k + 1)] + [(7k + 3)/(k + 1)] = 9
⇒ (6k + 3 + 7k + 3)/(k + 1) = 9
⇒ (13k + 6)/(k + 1) = 9
⇒ 13k + 6 = 9k + 9
⇒ 4k = 3
⇒ k = 3/4
अतः अनुपात = 3 : 4
सही उत्तर: 3 : 4
प्रश्न 29
ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका ∠B समकोण है। भुजा AB पर D तथा भुजा BC पर बिन्दु E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए: AE² + CD² = AC² + DE²
ABC is a right angled triangle whose ∠B is right angle. If points D and E are situated on the sides AB and BC respectively, then prove that AE² + CD² = AC² + DE².
हल:
समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90°
बिन्दु D भुजा AB पर और बिन्दु E भुजा BC पर स्थित हैं।
समकोण त्रिभुज ABE में, पाइथागोरस प्रमेय से:
AE² = AB² + BE² ...(1)
समकोण त्रिभुज DBC में:
CD² = DB² + BC² ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
AE² + CD² = (AB² + BE²) + (DB² + BC²)
= (AB² + BC²) + (BE² + DB²)
= AC² + DE² (क्योंकि समकोण त्रिभुज ABC में AB² + BC² = AC² और समकोण त्रिभुज DBE में BE² + DB² = DE²)
अतः AE² + CD² = AC² + DE² सिद्ध हुआ।
अथवा
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज की दो भुजाएँ समान्तर हों, तो सिद्ध कीजिए कि शेष भुजाएँ बराबर होंगी और विकर्ण भी बराबर होंगे।
If two sides of a cyclic quadrilateral are parallel, then prove that other sides are equal and its diagonals are also equal to each other.
हल:
माना ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AB ∥ CD है।
सिद्ध करना है: AD = BC और AC = BD
उपपत्ति:
चूँकि AB ∥ CD, अतः ∠A + ∠D = 180° (एक ही ओर के अंत:कोण)
लेकिन चक्रीय चतुर्भुज में, ∠A + ∠C = 180°
अतः ∠D = ∠C
इसी प्रकार, ∠A = ∠B
अब, त्रिभुज ADC और त्रिभुज BCD में:
∠D = ∠C (सिद्ध किया)
∠A = ∠B (सिद्ध किया)
CD = CD (उभयनिष्ठ)
अतः ASA सर्वांगसमता से, ΔADC ≅ ΔBCD
इसलिए, AD = BC और AC = BD
अतः शेष भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं। सिद्ध हुआ।
30. निम्न बारंबारता बंटन के माध्य व बहुलक ज्ञात कीजिए :
प्राप्तांक : 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70
छात्रों की संख्या : 28, 42, 20
Find the mean and mode of the following frequency distribution :
Score : 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70
Number of Students : 28, 42, 20
हल (Solution):
माध्य (Mean) ज्ञात करना:
सर्वप्रथम वर्ग अंतरालों के मध्य बिंदु (xi) ज्ञात करते हैं:
- 20–30: (20+30)/2 = 25
- 30–40: (30+40)/2 = 35
- 40–50: (40+50)/2 = 45
- 50–60: (50+60)/2 = 55
- 60–70: (60+70)/2 = 65
अब fi × xi की गणना:
- 28 × 25 = 700
- 42 × 35 = 1470
- 20 × 45 = 900
- ? × 55 = ? (मान लीजिए छात्रों की संख्या a है)
- ? × 65 = ? (मान लीजिए छात्रों की संख्या b है)
प्रश्न में केवल तीन वर्गों की बारंबारता दी गई है (28, 42, 20) तथा दो वर्गों (50–60 और 60–70) की बारंबारता नहीं दी गई है। अतः माध्य ज्ञात करने के लिए पूर्ण आंकड़े आवश्यक हैं। यदि मान लें कि शेष दो वर्गों की बारंबारता शून्य है, तो:
Σfi = 28 + 42 + 20 = 90
Σfixi = 700 + 1470 + 900 = 3070
माध्य = Σfixi / Σfi = 3070 / 90 ≈ 34.11
परंतु यह स्पष्ट नहीं है, अतः माध्य ज्ञात करने के लिए पूर्ण बारंबारता सारणी आवश्यक है।
बहुलक (Mode) ज्ञात करना:
बहुलक वर्ग वह है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक हो। यहाँ सबसे अधिक बारंबारता 42 है, जो वर्ग 30–40 में है। अतः बहुलक वर्ग = 30–40 है।
बहुलक सूत्र: Mode = L + [(f1 – f0) / (2f1 – f0 – f2)] × h
यहाँ, L = 30 (बहुलक वर्ग की निचली सीमा)
f1 = 42 (बहुलक वर्ग की बारंबारता)
f0 = 28 (पिछले वर्ग की बारंबारता)
f2 = 20 (अगले वर्ग की बारंबारता)
h = 10 (वर्ग अंतराल)
Mode = 30 + [(42 – 28) / (2×42 – 28 – 20)] × 10
= 30 + [14 / (84 – 48)] × 10
= 30 + (14 / 36) × 10
= 30 + (140 / 36)
= 30 + 3.89
= 33.89 (लगभग)
अतः बहुलक ≈ 33.89 है।
नोट: माध्य ज्ञात करने के लिए सभी वर्गों की बारंबारता आवश्यक है। यहाँ केवल तीन वर्गों की बारंबारता दी गई है, अतः माध्य की गणना पूर्ण नहीं की जा सकती।
राजस्थान बोर्ड परीक्षा प्रश्न-पत्र (हल सहित)
माध्यमिक परीक्षा, 2018
गणित
समय: 3¼ घंटे
पूर्णांक: 80
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश:
- सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
- भाग-अ: प्रश्न संख्या 1-10 (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक)
- भाग-ब: प्रश्न संख्या 11-15 (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक)
- भाग-स: प्रश्न संख्या 16-25 (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक)
- भाग-द: प्रश्न संख्या 26-30 (प्रत्येक प्रश्न 6 अंक)
- प्रश्न क्रमांक 27 व 29 में आन्तरिक विकल्प हैं।
- प्रश्न क्रमांक 26 का लेखाचित्र ग्राफ पेपर पर बनाइए।
भाग-अ
प्रश्न 1: सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण का प्रयोग करते हुए 314 × 33 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
संकेत:
- (i) दाहिने हाथ के अंकों का गुणनफल = 4 × 3 = 12
- (ii) शेष निखिलम् अंक समान = 3
सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण विधि द्वारा:
314 × 33 = [3 × (3 + 1)] | [4 × 3] = [3 × 4] | 12 = 12 | 12 = 1212
अतः 314 × 33 = 10362 (सुधार: वास्तविक गुणनफल 10362 है, परंतु सूत्रानुसार 1212 प्राप्त होता है; यहाँ सूत्र का सही प्रयोग नहीं हुआ है। सही मान: 314 × 33 = 10362)
प्रश्न 2: हल कीजिए: \(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-7} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-9}\)
हल:
बायें पक्ष के हरों का योग = (x - 3) + (x - 7) = 2x - 10
दायें पक्ष के हरों का योग = (x - 1) + (x - 9) = 2x - 10
दोनों पक्ष समान होने पर, सूत्रानुसार:
2x - 10 = 0
⇒ 2x = 10
⇒ x = 5
प्रश्न 3: 496 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योगफल लिखिए।
हल:
496 के अभाज्य गुणनखण्ड:
496 = 2 × 2 × 2 × 2 × 31 = 2⁴ × 31¹
अतः अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योग = 4 + 1 = 5
प्रश्न 4: cos 50° + cosec 40° का मान लिखिए।
हल:
cos 50° + cosec 40° = cos(90° - 40°) + cosec 40°
[cos(90° - θ) = sin θ]
= sin 40° + cosec 40°
= sin 40° + \(\frac{1}{\sin 40°}\)
= \(\frac{\sin^2 40° + 1}{\sin 40°}\)
यह मान सरल रूप में है। (नोट: cosec 40° = 1/sin 40°)
विद्यार्थियों से निवेदन है कि बिहार बोर्ड 10th क्लास के मॉडल पेपर प्राप्त करने के लिए 9460377092 को अपनी क्लास के व्हाट्सएप ग्रुप में एड करें। प्रति सप्ताह एक मॉडल सेट आपके क्लास ग्रुप में भेजा जाएगा।
प्रश्न 5.6:
यदि एक ऊर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 2:√3 हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
माना छड़ की लम्बाई, BC = y इकाई
तथा छाया की लम्बाई, AB = √3 y इकाई
समकोण Δ ABC में,
यहाँ, θ = सूर्य का उन्नयन कोण
tan θ = BC / AB = y / (√3 y) = 1/√3 = tan 30°
θ = 30°
अतः सूर्य का उन्नयन कोण = 30°
प्रश्न 5.7:
दो दिये गये बिन्दुओं से सम दूरस्थ बिन्दुओं का बिन्दुपथ लिखिए।
हल:
दिये हुये दो बिन्दुओं से समदूरस्थ किसी बिन्दु का बिन्दुपथ उन्हें मिलाने वाले रेखाखण्ड का लम्ब समद्विभाजक होता है।
प्रश्न 5.8:
वृत्त में केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाओं का अनुपात लिखिये।
हल:
हम जानते हैं कि किसी वृत्त की जीवायें केन्द्र से बराबर दूरी पर हो तो वे परस्पर बराबर होती हैं। अतः जीवाओं का अनुपात 1:1 होगा।
प्रश्न 5.9:
एक पासे के एक बार फेंकने पर विषम अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E = {1, 3, 5}
n(E) = 3
अतः अभीष्ट प्रायिकता, P(E) = n(E)/n(S) = 3/6 = 1/2
प्रश्न 5.10:
किसी नगर में टैक्सी का किराया पहले किलोमीटर का ₹ 5 और उसके बाद में ₹ 3 है। यदि तय की गई दूरी x किमी. और किराया ₹ y हो, तो इसे समीकरण रूप में व्यक्त कीजिये।
हल:
दिया है,
पहले किलोमीटर का किराया = ₹ 5
अगले किलोमीटर का किराया = ₹ 3
माना, तय की गई दूरी = x किमी.
और कुल किराया = ₹ y
प्रश्नानुसार,
कुल किराया = पहले किलोमीटर का किराया + अगले तय किलोमीटर का किराया
अतः y = 5 × 1 + 3(x - 1)
y = 5 + 3x - 3
y = 3x + 2
या 3x - y + 2 = 0
प्रश्न 5.11:
यदि एक खम्भे के आधार से 20 मीटर दूर स्थित प्लेटफार्म के एक बिन्दु से खम्भे की चोटी पर लगे हुये कैमरे का उन्नयन कोण 60° है तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिये।
हल:
माना h लम्बाई का खम्बा (BC) चित्रानुसार स्थित है। खम्बे से 20 मीटर की दूरी पर एक बिन्दु A स्थित है।
समकोण Δ ABC में,
हम जानते हैं, tan θ = BC / AB
tan 60° = h / 20
√3 = h / 20
h = 20√3 = 20 × 1.732
h = 34.64 मीटर
अतः खम्भे की ऊँचाई 34.64 मीटर होगी।
Science (Mathematics) – 2018 Solved Paper – 10th Class
भाग-ब
Q.2: द्वन्द्र योग विधि से 6889 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल :
द्वन्द्र योग विधि द्वारा,
6 8 8 9
8 3
संकेत:
- प्रथम वर्गमूल अंक = 8 तथा भाजक 8 × 2 = 16
- शेषफल = 68 – 8² = 4, इसे तीसरे खण्ड में 8 से पहले तथा नीचे लिखते हैं।
- नया भाज्य = 48, संशोधित भाज्य = 48
अतः 48 ÷ 16 = 3, इसे नीचे लिखा 8 के आगे तथा शेषफल 0 लिखा 4 से आगे तथा 8 से 9 के मध्य। - नया भाज्य = 09 तथा अन्तिम शेषफल = 09 – 3² = 0
अतः √6889 = 83
Q.3: यदि दो संख्याओं का गुणनफल 525 है और उनका महत्तम समापवर्तक 5 है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
- दो संख्याओं का गुणनफल = 525
- उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) = 5
हम जानते हैं:
म.स.प. × ल.स.प. = दो संख्याओं का गुणनफल
ल.स.प. = (दो संख्याओं का गुणनफल) / (म.स.प.)
= 525 / 5 = 105
अतः लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 105
Q.74: एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 246 वर्ग मीटर है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
- घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, A = 246 वर्ग मीटर
- घन की भुजा = ?
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, A = 6 × (भुजा)²
⇒ 246 = 6 × (भुजा)²
⇒ (भुजा)² = 246 / 6 = 41
⇒ भुजा = √41 मीटर
अतः घन की भुजा = √41 मीटर
Q.5: एक अर्द्ध गोले की त्रिज्या 7 सेमी. है, इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, अर्द्ध गोले की त्रिज्या, r = 7 सेमी.
अर्द्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²
मान रखने पर = 3 × (22/7) × 7 × 7
= 3 × 22 × 7
= 462 वर्ग सेमी.
अतः अर्द्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 वर्ग सेमी.
Q.7: एक 24 मीटर ऊँचे पोल पर यातायात नियंत्रण के लिए CCTV कैमरा लगाया गया है ताकि यह पोल के शीर्ष से 25 मीटर दूर दृष्टि रेखा के आगे भी यातायात देख सकता है। पोल के चारों ओर अदर्शनीय वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
- पोल की ऊँचाई, AB = 24 मीटर
- पोल के शीर्ष से कैमरे की दृष्टि की लम्बाई, AC = 25 मीटर
पाइथागोरस प्रमेय से,
(कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
AC² = AB² + BC²
⇒ BC² = AC² – AB²
⇒ BC = √(AC² – AB²)
⇒ BC = √(25² – 24²)
⇒ BC = √(625 – 576)
⇒ BC = √49 = 7 मीटर
अतः पोल के पाद से 7 मीटर की दूरी के आगे का यातायात दिखाई देगा।
अतः अदर्शनीय वृत्त की त्रिज्या, R = 7 मीटर
पोल के चारों ओर अदर्शनीय वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
= (22/7) × 7 × 7 = 154 वर्ग मीटर
अतः अदर्शनीय वृत्त का क्षेत्रफल = 154 वर्ग मीटर
नोट: सभी गुरूजनों से निवेदन है कि विद्यार्थियों को फ्री मॉडल पेपर (PDF) उपलब्ध करवाएँ। प्रगण्य मॉडल पेपर के विषय में विद्यार्थियों को बताएँ ताकि परीक्षा में विद्यार्थी ज्यादा से ज्यादा अंक ला सकें। गुरूजनों से निवेदन है कि 9460377092 पर सिर्फ अपना विषय SMS करें। हम आपसे संपर्क कर विशेष रूप से मॉडल पेपर भेजेंगे।
प्रश्न 6
विभाजन एल्गोरिथम पद्धति द्वारा बहुपद P(x) = x⁴ - 3x² + 4x - 3 को g(x) = x² - x + 1 से भाग देने पर भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल: बहुपद को मानक रूप में लिखने पर,
P(x) = x⁴ + 0x³ - 3x² + 4x - 3
g(x) = x² - x + 1
भाग प्रक्रिया:
x² + x - 3
_________________________
x² - x + 1 ) x⁴ + 0x³ - 3x² + 4x - 3
x⁴ - x³ + x²
_____________
x³ - 4x² + 4x
x³ - x² + x
_____________
-3x² + 3x - 3
-3x² + 3x - 3
_____________
0
अतः भागफल = x² + x - 3
शेषफल = 0
सत्यापन: भाजक × भागफल + शेषफल = (x² - x + 1)(x² + x - 3) + 0 = x⁴ + x³ - 3x² - x³ - x² + 3x + x² + x - 3 = x⁴ - 3x² + 4x - 3 = भाज्य। अतः विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है।
प्रश्न 7
यदि किसी समान्तर श्रेणी का दूसरा व तीसरा पद क्रमशः 3 और 5 हैं, तो इसके प्रथम 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
समान्तर श्रेणी का दूसरा पद, a₂ = 3
समान्तर श्रेणी का तीसरा पद, a₃ = 5
सूत्र: aₙ = a + (n-1)d
a₂ = a + d = 3 ...(1)
a₃ = a + 2d = 5 ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
5 - 3 = (a + 2d) - (a + d) ⇒ 2 = d
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3 = a + 2 ⇒ a = 1
हम जानते हैं: Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
S₂₀ = 20/2 [2 × 1 + (20-1) × 2]
= 10 [2 + 19 × 2]
= 10 [2 + 38] = 10 × 40 = 400
अतः अभीष्ट योगफल 400 है।
प्रश्न 8
एक मीनार के आधार से 9 मीटर तथा 25 मीटर दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण परस्पर पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार AB की ऊँचाई h मीटर है। आधार से 9 मीटर दूरी पर बिन्दु D तथा 25 मीटर दूरी पर बिन्दु C है।
यदि ∠ADB = θ, तो ∠ACB = 90° - θ (पूरक कोण)
समकोण ΔABD में,
tan θ = AB/BD = h/9 ...(1)
समकोण ΔABC में,
tan(90° - θ) = AB/BC = h/25
या cot θ = h/25 ...(2)
समीकरण (1) और (2) को गुणा करने पर,
tan θ × cot θ = (h/9) × (h/25)
⇒ 1 = h²/225
⇒ h² = 225
⇒ h = √225 = 15 मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई = 15 मीटर
प्रश्न 9
दी गई आकृति में यदि OP = OQ = OR = OS तो दर्शाइए ∠OPS = ∠ORQ तथा ∠OQR = ∠OSP.
हल:
दिया है: OP = OQ = OR = OS
इसलिए, O केंद्र वाला एक वृत्त है जिसमें OP, OQ, OR, OS त्रिज्याएँ हैं।
चूँकि OP = OS, त्रिभुज OPS में, ∠OPS = ∠OSP (समान भुजाओं के सामने के कोण) ...(1)
इसी प्रकार, OQ = OR, त्रिभुज OQR में, ∠OQR = ∠ORQ ...(2)
अब, चूँकि OP = OQ और OR = OS, तथा वृत्त में समान त्रिज्याएँ हैं,
∠OPS और ∠ORQ एक ही चाप के कोण हैं, अतः ∠OPS = ∠ORQ
इसी प्रकार, ∠OQR = ∠OSP
अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न 9.20 :
प्रश्न : दी गई आकृति में, OP = OR और OQ = OS है। सिद्ध कीजिए कि ∠OPS = ∠ORQ और ∠OQR = ∠OSP है।
हल :
दिया है,
OP = OR और OQ = OS
अतः, OP/OR = OQ/OS = 1
तथा ∠POS = ∠ROQ (शीर्षाभिमुख कोण) ...(2)
समीकरण (1) व (2) से,
ΔPOS ≅ ΔROQ (SAS समरूपता कसौटी)
इसलिए, ∠P = ∠R एवं ∠S = ∠Q (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
अतः, ∠OPS = ∠ORQ और ∠OQR = ∠OSP इतिसिद्धम्।
प्रश्न 27 :
प्रश्न : एक त्रिभुज ABC में माध्यिकाएँ AD, BE और CF एक बिन्दु G से गुजरती हैं। यदि AD = 9 सेमी., GE = 4.2 सेमी. और GF = 6 सेमी., तो AG, BE और FG की लम्बाइयों के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि केन्द्रक G त्रिभुज की माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः, AG/GD = 2/1
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर,
(AG + GD)/GD = (2+1)/1
AD/GD = 3/1
9/GD = 3
GD = 3 सेमी.
अतः, AG = AD - GD = 9 - 3 = 6 सेमी.
इसी प्रकार, BG/GE = 2/1
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर,
(BG + GE)/GE = (2+1)/1
BE/GE = 3/1
BE = 3 × GE = 3 × 4.2 = 12.6 सेमी.
और, FG = 6 सेमी. (दिया है)
अतः, AG = 6 सेमी., BE = 12.6 सेमी., FG = 6 सेमी.
प्रश्न :
प्रश्न : दी गई आकृति में कुछ कोणों को a, y और z से चिन्हित किया गया है। इन कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये चित्र में ABEF तथा BCDE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के बहिष्कोण उसके अन्तराभिमुख कोण के बराबर होते हैं। इस कारण से,
∠BAF = ∠BED = 65°
चित्र से,
∠E + ∠C = 180°
∴ BEDC एक चक्रीय चतुर्भुज है। जिसमें आमने-सामने के कोणों का योग 180° होता है।
⇒ 65° + y = 180°
y = 180° - 65° = 115°
इसी प्रकार, ∠AFE = ∠CBE
⇒ 97° = a
a = 97°
हम जानते हैं, a + z = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के कारण)
⇒ 97° + z = 180°
z = 180° - 97° = 83°
अतः, a = 97°, y = 115°, z = 83°
प्रश्न 5.22
एक 4 सेमी त्रिज्या के वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्श-रेखाओं PA तथा PB की रचना कीजिए, जहाँ PA तथा PB के मध्य कोण 65° है।
हल :
दिया है, ∠APB = 65°
∠A = ∠B = 90° (त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण)
अतः चतुर्भुज AOBP का चौथा कोण,
∠AOB = 360° - (65° + 90° + 90°) = 360° - 245° = 115°
अर्थात् त्रिज्याओं OA व OB के मध्य कोण, ∠AOB = 115°
रचना :
- 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त बनाया एवं त्रिज्याएँ OA व OB के मध्य 115° का कोण बनाया।
- OA व OB के A व B पर लम्ब क्रमशः AP व BP खींचे जो एक-दूसरे को P पर मिलते हैं।
- ∠APB को मापने पर ∠APB = 65° प्राप्त होता है। इस प्रकार अभीष्ट स्पर्श रेखाओं की रचना होती है।
प्रश्न 5.23
एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 4.2 मीटर है। पार्क के चारों ओर 1.4 मीटर चौड़ा रास्ता बना हुआ है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है-
वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या, r₁ = 4.2 मीटर
रास्ते सहित वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या, r₂ = 4.2 + 1.4 = 5.6 मीटर
रास्ते का क्षेत्रफल = रास्ते सहित वृत्ताकार पार्क का क्षेत्रफल - रास्ते रहित पार्क का क्षेत्रफल
= πr₂² - πr₁² = π(r₂² - r₁²) = π(r₂ - r₁)(r₂ + r₁)
= π(5.6 - 4.2)(5.6 + 4.2) = π × 1.4 × 9.8
= (22/7) × 1.4 × 9.8 = 22 × 0.2 × 9.8 = 43.12 वर्ग मीटर
अतः रास्ते का क्षेत्रफल = 43.12 वर्ग मीटर
प्रश्न 5.24
एक रोलर की लम्बाई 2.5 मीटर और व्यास 1.4 मीटर है। 10 चक्कर लगाने में रोलर कितना क्षेत्र समतल करेगा?
हल :
दिया गया है- रोलर की लम्बाई = 2.5 मीटर
अर्थात् रोलर की ऊँचाई, h = 2.5 मीटर
रोलर का व्यास, d = 1.4 मीटर
त्रिज्या, r = d/2 = 0.7 मीटर
रोलर का एक चक्कर में क्षेत्रफल = रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh = 2 × (22/7) × 0.7 × 2.5
= 2 × 22 × 0.1 × 2.5 = 11 वर्ग मीटर
अतः 10 चक्कर लगाने में क्षेत्रफल = 11 × 10 = 110 वर्ग मीटर
अतः रोलर 110 वर्ग मीटर क्षेत्र समतल करेगा।
प्रश्न 5.25
एक थैले में एक सफेद गेंद, दो काली गेंद और तीन लाल गेंद एक ही आकार की हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) गेंद सफेद हो
(ii) गेंद काली न हो
(iii) गेंद लाल हो।
हल :
दिया है, थैले में सफेद गेंद = 1
थैले में काली गेंद = 2
थैले में लाल गेंद = 3
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 1 सफेद + 2 काली + 3 लाल = 6
थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम = 6
(i) गेंद सफेद होने की प्रायिकता :
गेंद सफेद होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 1
P(सफेद) = अनुकूल परिणाम / कुल सम्भव परिणाम = 1/6
(ii) गेंद काली न होने की प्रायिकता :
गेंद काली होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 2
P(काली) = 2/6 = 1/3
गेंद काली न होने की प्रायिकता = 1 - P(काली) = 1 - 1/3 = 2/3
(iii) गेंद लाल होने की प्रायिकता :
गेंद लाल होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 3
P(लाल) = 3/6 = 1/2
अतः
(i) P(सफेद) = 1/6
(ii) P(काली न हो) = 2/3
(iii) P(लाल) = 1/2
भाग-द
प्रश्न 26: निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए-
समीकरण: \(2x + y = 6\) और \(2x - y = 2\)
अतः इसकी सहायता से सम्बन्ध \(6x + 7y = p\) में \(p\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, रैखिक समीकरण युग्म:
\(2x + y = 6\) ...(i)
\(2x - y = 2\) ...(ii)
समीकरण (i) के संगत बिन्दु सारणी:
\(x = 0\) पर: \(2(0) + y = 6 \Rightarrow y = 6\)
\(x = 1\) पर: \(2(1) + y = 6 \Rightarrow 2 + y = 6 \Rightarrow y = 4\)
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| y | 6 | 4 |
समीकरण (ii) के संगत बिन्दु सारणी:
\(x = 0\) पर: \(2(0) - y = 2 \Rightarrow -y = 2 \Rightarrow y = -2\)
\(y = 0\) पर: \(2x - 0 = 2 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\)
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| y | -2 | 0 |
उपरोक्त बिन्दुओं की सहायता से ग्राफ पेपर पर रेखायुग्म का निरूपण करने पर, दोनों रेखाएँ बिन्दु (2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः समीकरण निकाय का अभीष्ट हल \(x = 2\) और \(y = 2\) है।
अब, \(x = 2\) और \(y = 2\) को सम्बन्ध \(6x + 7y = p\) में रखने पर:
\(6(2) + 7(2) = p \Rightarrow 12 + 14 = p \Rightarrow p = 26\)
अतः \(p\) का मान 26 है।
प्रश्न 27: सिद्ध कीजिए-
(i) \(\frac{\sqrt{1 + \cos \theta}}{\sqrt{1 - \cos \theta}} = \csc \theta + \cot \theta\)
हल:
बायाँ पक्ष (LHS):
\(\frac{\sqrt{1 + \cos \theta}}{\sqrt{1 - \cos \theta}}\)
अंश व हर को \(\sqrt{1 + \cos \theta}\) से गुणा करने पर:
\(= \frac{\sqrt{(1 + \cos \theta)(1 + \cos \theta)}}{\sqrt{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}} = \frac{\sqrt{(1 + \cos \theta)^2}}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\)
\(= \frac{1 + \cos \theta}{\sqrt{\sin^2 \theta}} \quad [\because \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta]\)
\(= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
\(= \csc \theta + \cot \theta =\) दायाँ पक्ष (RHS)
अतः LHS = RHS (इतिसिद्धम्)
(ii) \(\frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} = 1 + \sec \theta \csc \theta\)
हल:
बायाँ पक्ष (LHS):
\(\frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta}\)
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) और \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) रखने पर:
\(= \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1 - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\)
\(= \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta}}\)
\(= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta}\)
\(= \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta (\cos \theta - \sin \theta)}\)
चूँकि \(\cos \theta - \sin \theta = -(\sin \theta - \cos \theta)\), अतः:
\(= \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta (\sin \theta - \cos \theta)}\)
\(= \frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\cos \theta \sin \theta (\sin \theta - \cos \theta)}\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) का प्रयोग करने पर:
\(= \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)}{\cos \theta \sin \theta (\sin \theta - \cos \theta)}\)
\(= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta}{\cos \theta \sin \theta}\)
\(= \frac{1 + \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \quad [\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1]\)
\(= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
\(= \sec \theta \csc \theta + 1 =\) दायाँ पक्ष (RHS)
अतः LHS = RHS (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 27 (i)
यदि sinθ + cosθ = p और secθ + cosecθ = q हो तो सिद्ध कीजिए कि q(p² – 1) = 2p.
हल:
दिया है: sinθ + cosθ = p और secθ + cosecθ = q
q = secθ + cosecθ = 1/cosθ + 1/sinθ = (sinθ + cosθ)/(sinθ cosθ) = p/(sinθ cosθ)
अतः sinθ cosθ = p/q
अब, q(p² – 1) = q[(sinθ + cosθ)² – 1]
= q[sin²θ + cos²θ + 2 sinθ cosθ – 1]
= q[1 + 2 sinθ cosθ – 1]
= q[2 sinθ cosθ]
= q × 2 × (p/q)
= 2p = R.H.S.
इतिसिद्धम्।
प्रश्न 27 (ii)
सिद्ध कीजिए: cos A/(1 – tan A) + sin A/(1 – cot A) = sin A + cos A
हल:
L.H.S. = cos A/(1 – tan A) + sin A/(1 – cot A)
= cos A/(1 – sin A/cos A) + sin A/(1 – cos A/sin A)
= cos A/[(cos A – sin A)/cos A] + sin A/[(sin A – cos A)/sin A]
= cos²A/(cos A – sin A) + sin²A/(sin A – cos A)
= cos²A/(cos A – sin A) – sin²A/(cos A – sin A)
= (cos²A – sin²A)/(cos A – sin A)
= [(cos A – sin A)(cos A + sin A)]/(cos A – sin A)
= cos A + sin A = R.H.S.
इतिसिद्धम्।
प्रश्न 28 (i)
यदि बिन्दु (x, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: बिन्दु A(x, 3) और B(5, 7) के बीच दूरी d = 5
दूरी सूत्र: d² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²
⇒ 5² = (5 – x)² + (7 – 3)²
⇒ 25 = (5 – x)² + 16
⇒ (5 – x)² = 9
⇒ 5 – x = ±3
धनात्मक चिन्ह लेने पर: 5 – x = 3 ⇒ x = 2
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर: 5 – x = –3 ⇒ x = 8
अतः x = 2 या 8
प्रश्न 28 (ii)
ज्ञात कीजिए कि रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) और (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है।
हल:
माना बिन्दु A(1, 3) और B(2, 7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड रेखा 3x + y = 9 को λ : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन बिन्दु P के निर्देशांक:
x = (λ × 2 + 1 × 1)/(λ + 1) = (2λ + 1)/(λ + 1)
y = (λ × 7 + 1 × 3)/(λ + 1) = (7λ + 3)/(λ + 1)
यह बिन्दु रेखा 3x + y = 9 पर स्थित है, अतः:
3[(2λ + 1)/(λ + 1)] + [(7λ + 3)/(λ + 1)] = 9
⇒ (6λ + 3 + 7λ + 3)/(λ + 1) = 9
⇒ (13λ + 6)/(λ + 1) = 9
⇒ 13λ + 6 = 9λ + 9
⇒ 4λ = 3
⇒ λ = 3/4
अतः अभीष्ट अनुपात = 3 : 4 है।
प्रश्न 5.29 (पहला विकल्प):
ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका ∠B समकोण है। भुजा AB पर बिन्दु D और भुजा BC पर बिन्दु E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए: AE² + CD² = AC² + DE²
हल:
समकोण ΔABE में, ∠B = 90°
AE² = AB² + BE² ...(1) (पाइथागोरस प्रमेय)
समकोण ΔDBC में, ∠B = 90°
CD² = BD² + BC² ...(2) (पाइथागोरस प्रमेय)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
AE² + CD² = (AB² + BC²) + (BE² + BD²) ...(3)
समकोण ΔABC में, ∠B = 90°
AC² = AB² + BC² ...(4) (पाइथागोरस प्रमेय)
समकोण ΔDBE में, ∠B = 90°
DE² = BE² + BD² ...(5) (पाइथागोरस प्रमेय)
समीकरण (3), (4) और (5) से:
AE² + CD² = AC² + DE² इतिसिद्धम्।
प्रश्न 5.29 (दूसरा विकल्प):
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज की दो भुजाएँ समान्तर हों, तो सिद्ध कीजिए कि शेष भुजाएँ बराबर होंगी और विकर्ण भी बराबर होंगे।
हल:
दिया है: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, AB || DC है।
सिद्ध करना है: (i) AD = BC (ii) AC = BD
उपपत्ति:
चूँकि AB || DC और BC एक तिर्यक रेखा है,
∴ ∠ABC + ∠DCB = 180° ...(1) (एक ही ओर के अंत:कोण)
परन्तु ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है,
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180° ...(2) (सम्मुख कोणों का योग)
समीकरण (1) और (2) से:
∠ABC + ∠DCB = ∠ABC + ∠ADC
⇒ ∠DCB = ∠ADC ...(3)
अब ΔADC और ΔBCD में:
- ∠ADC = ∠DCB [समीकरण (3) से]
- ∠DAC = ∠DBC (एक ही वृत्तखण्ड के कोण)
- DC = DC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔADC ≅ ΔBCD (ASA सर्वांगसमता)
सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान होती हैं:
अतः AD = BC और AC = BD इतिसिद्धम्।
प्रश्न 5.30:
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य व बहुलक ज्ञात कीजिए:
| प्राप्तांक (वर्ग-अंतराल) | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 |
|---|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या | 4 | 28 | 42 | 20 | 6 |
हल:
माध्य ज्ञात करना:
| प्राप्तांक (वर्ग-अंतराल) | छात्रों की संख्या (f) | मध्यमान (x) | f × x |
|---|---|---|---|
| 20-30 | 4 | 25 | 100 |
| 30-40 | 28 | 35 | 980 |
| 40-50 | 42 | 45 | 1890 |
| 50-60 | 20 | 55 | 1100 |
| 60-70 | 6 | 65 | 390 |
| योग | Σf = 100 | Σfx = 4460 |
माध्य (x̄) = Σfx / Σf = 4460 / 100 = 44.60 अंक
बहुलक ज्ञात करना:
यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता 42 समूह (40-50) की है।
अतः l = 40, f₁ = 42, f₂ = 20, h = 10, f₀ = 28
सूत्र: बहुलक = l + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h
बहुलक = 40 + [(42 - 28) / (2×42 - 28 - 20)] × 10
= 40 + [14 / (84 - 48)] × 10
= 40 + (14/36) × 10
= 40 + (140/36)
= 40 + 3.89
= 43.89 अंक
अतः अभीष्ट माध्य = 44.60 अंक और बहुलक = 43.89 अंक।