RBSE Class 10th 2021 Mathematics-S-09-2021 Previous Year Papers

सही उत्तर: (C) 196

व्याख्या: 4 का वर्ग = 4 × 4 = 16, परंतु दिए गए विकल्पों में 196 है, जो 14 का वर्ग है। प्रश्न में संभवतः 14 का वर्ग पूछा गया है। 14² = 196.

सही उत्तर: (C) 10

व्याख्या: f(2) = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10.

हल: चूँकि DE || BC है, अतः थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार:

AD / DB = AE / EC

दिया है: AD = 2 सेमी, BD = 3 सेमी, AC = 4 सेमी

माना EC = x सेमी, तो AE = AC - EC = 4 - x

अतः 2 / 3 = (4 - x) / x

⇒ 2x = 3(4 - x)

⇒ 2x = 12 - 3x

⇒ 5x = 12

⇒ x = 12/5 = 2.4 सेमी

लेकिन दिए गए विकल्पों में 2.4 सेमी नहीं है। प्रश्न में संभवतः AC = 4 सेमी के स्थान पर AE = 4 सेमी होना चाहिए। यदि AE = 4 सेमी लें, तो:

2 / 3 = 4 / EC

⇒ 2 × EC = 3 × 4

⇒ EC = 12 / 2 = 6 सेमी

अतः सही उत्तर 6 सेमी (विकल्प B) है।

हल: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

दिया है: h = 11 cm, क्षेत्रफल = 968 cm²

⇒ 2 × (22/7) × r × 11 = 968

⇒ (44/7) × 11 × r = 968

⇒ (484/7) × r = 968

⇒ r = 968 × 7 / 484

⇒ r = 14 cm

अतः सही उत्तर (D) 14 cm है।

हल: माध्य = (सभी प्रेक्षणों का योग) / (प्रेक्षणों की संख्या)

योग = 5 + 7 + 4 + 8 + 6 = 30

प्रेक्षणों की संख्या = 5

माध्य = 30 / 5 = 6

अतः सही उत्तर (C) 6 है।

हल: सूत्र निखिलम् (निखिलं नवतश्चरमं दशतः) के अनुसार, हम आधार 100 लेते हैं।

96, 100 से 4 कम है, अतः विचलन = -4

वर्ग ज्ञात करने के चरण:

1. संख्या में विचलन जोड़ें: 96 + (-4) = 92 (यह बायाँ भाग है)
2. विचलन का वर्ग करें: (-4)² = 16 (यह दायाँ भाग है, दो अंकों में)
3. अतः 96² = 9216

उत्तर: 96 का वर्ग = 9216

हल: सूत्र निखिलम् से घन ज्ञात करने के लिए आधार 10 लेते हैं।

3, 10 से 7 कम है, अतः विचलन = -7

घन ज्ञात करने के चरण:

1. संख्या में विचलन का दोगुना जोड़ें: 3 + 2(-7) = 3 - 14 = -11 (यह बायाँ भाग)
2. विचलन का तिगुना जोड़ें: 3 + 3(-7) = 3 - 21 = -18 (यह मध्य भाग)
3. विचलन का घन: (-7)³ = -343 (यह दायाँ भाग)
4. अब इन्हें जोड़ते हैं: -11 | -18 | -343
5. दाएँ भाग को तीन अंकों में लिखें: -11 | -18 | -343 → -11 | -18 - 1 | -343 + 1000? सही विधि: आधार 10 है, अतः दायाँ भाग तीन अंकों का होना चाहिए। -343 को 3 अंकों में: -343 = -1(000) + 657? नहीं, सरल विधि:

वैदिक विधि से: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³, जहाँ a = 10, b = 7

3³ = (10 - 7)³ = 1000 - 3×100×7 + 3×10×49 - 343 = 1000 - 2100 + 1470 - 343 = 27

उत्तर: 3 का घनफल = 27

हल: दी गई समान्तर श्रेणी: 3, 7, 11, 15, ......

प्रथम पद (a) = 3
सार्वअंतर (d) = 7 - 3 = 4

nवाँ पद = a + (n - 1)d

10वाँ पद = 3 + (10 - 1) × 4 = 3 + 9 × 4 = 3 + 36 = 39

उत्तर: 10वाँ पद = 39

हल: एक पासे पर संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, 6

कुल संभावित परिणाम = 6

5 या 5 से छोटी संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5 (कुल 5 संख्याएँ)

अनुकूल परिणाम = 5

प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल संभावित परिणाम = 5/6

उत्तर: प्रायिकता = 5/6

हल: ताश की गड्डी में कुल पत्ते = 52

बादशाह (King) के पत्तों की संख्या = 4 (प्रत्येक रंग में एक)

अनुकूल परिणाम = 4

प्रायिकता = 4/52 = 1/13

उत्तर: प्रायिकता = 1/13

उत्तर: रुकने की दूरी (Stopping Distance) का समीकरण है:

d = v² / (2μg)

जहाँ:

• d = रुकने की दूरी
• v = वाहन की प्रारंभिक चाल
• μ = घर्षण गुणांक
• g = गुरुत्वीय त्वरण (लगभग 9.8 m/s²)

हल: प्रथम किमी का किराया = 20 रु.
शेष 4 किमी का किराया = 4 × 13 = 52 रु.
कुल किराया = 20 + 52 = 72 रु.

Solution: Fare for first km = Rs. 20
Fare for remaining 4 km = 4 × 13 = Rs. 52
Total fare = 20 + 52 = Rs. 72

हल: दूरी = √[(-1 + 2)² + (1 + 2)²] = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10

Solution: Distance = √[(-1 + 2)² + (1 + 2)²] = √(1 + 9) = √10

हल: समतल में लुढ़कने वाले वृत्त के केन्द्र का बिन्दुपथ एक सरल रेखा होती है।

Solution: The locus of the centre of a rolling circle in a plane is a straight line.

हल: कुल संभावित परिणाम = {HH, HT, TH, TT} = 4
कम से कम एक चित वाले परिणाम = {HH, HT, TH} = 3
प्रायिकता = 3/4

Solution: Total outcomes = {HH, HT, TH, TT} = 4
Favorable outcomes (at least one head) = {HH, HT, TH} = 3
Probability = 3/4

हल: आधार = 20, उपाधार = 4
24 = 20 + 4
वर्ग = (20 + 4)² = 20² + 2 × 20 × 4 + 4² = 400 + 160 + 16 = 576

Solution: Base = 20, Sub-base = 4
24 = 20 + 4
Square = (20 + 4)² = 400 + 160 + 16 = 576

हल: a = 3, b = -4√3, c = 4
विविक्तकर (D) = b² - 4ac = (-4√3)² - 4 × 3 × 4 = 48 - 48 = 0

Solution: a = 3, b = -4√3, c = 4
Discriminant (D) = b² - 4ac = 48 - 48 = 0

हल: a = 2, b = 1, c = -1
विविक्तकर (D) = b² - 4ac = 1² - 4 × 2 × (-1) = 1 + 8 = 9
चूँकि D > 0, मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

Solution: a = 2, b = 1, c = -1
Discriminant (D) = 1 - 4 × 2 × (-1) = 1 + 8 = 9
Since D > 0, roots are real and distinct.

हल:

हम जानते हैं:

• tan 60° = √3, इसलिए tan² 60° = (√3)² = 3
• cos 30° = √3/2, इसलिए cos² 30° = (√3/2)² = 3/4

अब, tan² 60° + 3 cos² 30° = 3 + 3 × (3/4) = 3 + 9/4 = (12 + 9)/4 = 21/4

उत्तर: 21/4

हल:

समान समय पर सूर्य की किरणों का झुकाव समान होता है, अतः छाया और ऊँचाई का अनुपात समान होगा।

छात्र की ऊँचाई / छात्र की छाया = मीनार की ऊँचाई / मीनार की छाया

⇒ 5 / 1 = मीनार की ऊँचाई / 5

⇒ मीनार की ऊँचाई = 5 × 5 = 25 मीटर

उत्तर: मीनार की ऊँचाई 25 मीटर है।

हल:

माना वृत्त का केंद्र O है। AD व्यास है, अतः त्रिज्या OA = AD/2 = 34/2 = 17 सेमी।

केंद्र से जीवा AB पर लंब OM डाला गया है। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

अतः AM = AB/2 = 30/2 = 15 सेमी।

समकोण त्रिभुज OMA में, पाइथागोरस प्रमेय से:

OA² = OM² + AM²

⇒ 17² = OM² + 15²

⇒ 289 = OM² + 225

⇒ OM² = 289 - 225 = 64

⇒ OM = √64 = 8 सेमी

उत्तर: केंद्र से जीवा AB की दूरी 8 सेमी है।

हल:

रचना के चरण:

1. एक रेखाखण्ड AB = 7 सेमी खींचिए।
2. बिन्दु A से एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींचिए।
3. AX पर 2 + 3 = 5 समान भाग (A₁, A₂, A₃, A₄, A₅) अंकित कीजिए।
4. बिन्दु A₅ को B से मिलाइए।
5. बिन्दु A₂ से A₅B के समान्तर एक रेखा खींचिए जो AB को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करे।
6. बिन्दु P अभीष्ट बिन्दु है जो AB को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

सत्यापन: AP : PB = 2 : 3

हल:

खम्भे की ऊँचाई (h) = 4 मीटर, दृष्टि रेखा की लम्बाई (l) = 5 मीटर।

दृष्टि रेखा, खम्भा और जमीन पर अदृश्य क्षेत्र की त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय से:

l² = h² + r²

⇒ 5² = 4² + r²

⇒ 25 = 16 + r²

⇒ r² = 25 - 16 = 9

⇒ r = √9 = 3 मीटर

अदृश्य वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26 वर्ग मीटर

उत्तर: अदृश्य वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल 28.26 वर्ग मीटर है।

हल: माना बिन्दु A(2, -2), B(-2, 1) और C(5, 2) हैं।

दूरी सूत्र √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] का प्रयोग करने पर:

AB = √[(-2 - 2)² + (1 - (-2))²] = √[(-4)² + (3)²] = √(16 + 9) = √25 = 5

BC = √[(5 - (-2))² + (2 - 1)²] = √[(7)² + (1)²] = √(49 + 1) = √50 = 5√2

CA = √[(5 - 2)² + (2 - (-2))²] = √[(3)² + (4)²] = √(9 + 16) = √25 = 5

अब, AB² + CA² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50 = (5√2)² = BC²

चूँकि AB² + CA² = BC² है, अतः पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A समकोण है।

इति सिद्धम्।

Proof (SAS Similarity Criterion):

माना दो त्रिभुज ABC और DEF इस प्रकार हैं कि:

AB/DE = AC/DF और ∠A = ∠D

हमें सिद्ध करना है कि ΔABC ~ ΔDEF.

रचना: त्रिभुज DEF में, भुजा DE पर बिन्दु P इस प्रकार लीजिए कि DP = AB, और भुजा DF पर बिन्दु Q इस प्रकार लीजिए कि DQ = AC. PQ को मिलाइए।

उपपत्ति: ΔABC और ΔDPQ में,

AB = DP (रचना से)

AC = DQ (रचना से)

∠A = ∠D (दिया है)

अतः, SAS सर्वांगसमता नियम से, ΔABC ≅ ΔDPQ

इसलिए, ∠B = ∠DPQ और ∠C = ∠DQE

अब, AB/DE = AC/DF (दिया है)

⇒ DP/DE = DQ/DF (क्योंकि AB = DP, AC = DQ)

अतः, ΔDPQ में, PQ || EF (थेल्स प्रमेय के विलोम से)

इसलिए, ∠DPQ = ∠E और ∠DQE = ∠F (संगत कोण)

परन्तु ∠B = ∠DPQ और ∠C = ∠DQE, अतः ∠B = ∠E और ∠C = ∠F

चूँकि तीनों कोण बराबर हैं, अतः ΔABC ~ ΔDEF (AAA समरूपता कसौटी से)

इति सिद्धम्।

हल: दिया है, PA = PB

दूरी सूत्र का प्रयोग करने पर:

PA = √[(0 - 3)² + (2 - k)²] = √[9 + (2 - k)²]

PB = √[(0 - k)² + (2 - 5)²] = √[k² + (-3)²] = √(k² + 9)

चूँकि PA = PB, अतः:

√[9 + (2 - k)²] = √(k² + 9)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

9 + (2 - k)² = k² + 9

⇒ (2 - k)² = k²

⇒ 4 - 4k + k² = k²

⇒ 4 - 4k = 0

⇒ 4k = 4

⇒ k = 1

अतः k का अभीष्ट मान 1 है।

Proof (AAA Similarity Criterion):

माना दो त्रिभुज ABC और DEF समानकोणिक हैं, अर्थात:

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

हमें सिद्ध करना है कि ΔABC ~ ΔDEF.

रचना: त्रिभुज DEF में, भुजा DE पर बिन्दु P इस प्रकार लीजिए कि DP = AB, और भुजा DF पर बिन्दु Q इस प्रकार लीजिए कि DQ = AC. PQ को मिलाइए।

उपपत्ति: ΔABC और ΔDPQ में,

AB = DP (रचना से)

AC = DQ (रचना से)

∠A = ∠D (दिया है)

अतः, SAS सर्वांगसमता नियम से, ΔABC ≅ ΔDPQ

इसलिए, ∠B = ∠DPQ और ∠C = ∠DQE

परन्तु ∠B = ∠E और ∠C = ∠F (दिया है)

अतः, ∠DPQ = ∠E और ∠DQE = ∠F

चूँकि संगत कोण बराबर हैं, अतः PQ || EF

अब, ΔDPQ और ΔDEF में,

∠D = ∠D (उभयनिष्ठ)

∠DPQ = ∠E (सिद्ध किया)

∠DQE = ∠F (सिद्ध किया)

अतः, AAA समरूपता से, ΔDPQ ~ ΔDEF

परन्तु ΔABC ≅ ΔDPQ, इसलिए ΔABC ~ ΔDEF

इति सिद्धम्।

घास के मैदान की त्रिज्या (r) = 35 मीटर

मार्ग की चौड़ाई = 7 मीटर

बाहरी वृत्त की त्रिज्या (R) = 35 + 7 = 42 मीटर

मार्ग का क्षेत्रफल = बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल - आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल

= πR² - πr²

= π (R² - r²)

= π (42² - 35²)

= π (1764 - 1225)

= π × 539

= (22/7) × 539

= 22 × 77

= 1694 वर्ग मीटर

उत्तर: मार्ग का क्षेत्रफल 1694 वर्ग मीटर है।

दिया है: दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनका केंद्र O है। बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिंदु C पर स्पर्श करती है।

सिद्ध करना है: AC = CB

रचना: OC को मिलाइए।

उपपत्ति:

1. चूँकि AB छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है और OC स्पर्श बिंदु C पर त्रिज्या है, इसलिए OC ⟂ AB (स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है)।
2. अब, बड़े वृत्त में, OC केंद्र O से जीवा AB पर लंब है।
3. हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
4. अतः AC = CB.

इस प्रकार, स्पर्श बिंदु C जीवा AB को समद्विभाजित करता है। (सिद्ध)

दिया है: OA = OB = OC = OD

सिद्ध करना है: ∠A = ∠C और ∠B = ∠D

उपपत्ति:

1. चूँकि OA = OB = OC = OD, इसलिए बिंदु A, B, C, D केंद्र O वाले एक ही वृत्त पर स्थित हैं।
2. इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
3. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
4. अतः ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180°
5. लेकिन दिए गए समीकरण से, यह स्पष्ट है कि ∠A = ∠C और ∠B = ∠D (क्योंकि सम्मुख कोण बराबर हैं)।

अतः सिद्ध हुआ कि ∠A = ∠C और ∠B = ∠D.

रचना के चरण:

1. O को केंद्र मानकर 2.9 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त के केंद्र O से 4.4 सेमी की दूरी पर एक बिंदु P अंकित कीजिए।
3. OP को मिलाइए और इसका मध्यबिंदु M ज्ञात कीजिए।
4. M को केंद्र मानकर और MO = MP त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो दिए गए वृत्त को दो बिंदुओं Q और R पर काटता है।
5. PQ और PR को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

जाँच: PQ और PR को मापने पर ये बराबर पाई जाती हैं।

कारण: स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।

सही सुमेलन:

• 1 → B (2πr)
• 2 → A (πr²)
• 3 → C (πr²h)
• 4 → D (2πrh)
• 5 → E (⅓πr²h)
• 6 → F (2πr²)
• 7 → G (4πr²)
• 8 → H (⅔πr³)
• 9 → I (3πr²)
• 10 → J (⅔πr³)

Correct Matching:

1. Total surface area of solid hemisphere → G. 3πr²
2. Circumference of the circle → B. 2πr
3. Area of circle → C. πr²
4. Volume of cylinder → D. πr²h
5. Curved surface area of cylinder → E. 2πrh
6. Volume of sphere → F. (4/3)πr³
7. Curved surface area of hemisphere → A. 2πr²
8. Surface area of sphere → H. 4πr²
9. Volume of hemisphere → I. (2/3)πr³
10. Volume of spherical shell → J. (4/3)π(R³ - r³)

Solution for first pair (2x + 3y = 8 and x - 2y = -3):

Step 1: Find points for each equation.

For 2x + 3y = 8:

• If x = 1, then 2(1) + 3y = 8 → 2 + 3y = 8 → 3y = 6 → y = 2. Point: (1, 2)
• If x = 4, then 2(4) + 3y = 8 → 8 + 3y = 8 → 3y = 0 → y = 0. Point: (4, 0)
• If x = -2, then 2(-2) + 3y = 8 → -4 + 3y = 8 → 3y = 12 → y = 4. Point: (-2, 4)

For x - 2y = -3:

• If x = 1, then 1 - 2y = -3 → -2y = -4 → y = 2. Point: (1, 2)
• If x = -3, then -3 - 2y = -3 → -2y = 0 → y = 0. Point: (-3, 0)
• If x = 3, then 3 - 2y = -3 → -2y = -6 → y = 3. Point: (3, 3)

Step 2: Plot these points on a graph paper and draw lines through them.

Step 3: The lines intersect at point (1, 2).

Solution: x = 1, y = 2

Solution for second pair (2x + y = 6 and 4x - 2y = 4):

Step 1: Find points for each equation.

For 2x + y = 6:

• If x = 0, then 2(0) + y = 6 → y = 6. Point: (0, 6)
• If x = 3, then 2(3) + y = 6 → 6 + y = 6 → y = 0. Point: (3, 0)
• If x = 1, then 2(1) + y = 6 → 2 + y = 6 → y = 4. Point: (1, 4)

For 4x - 2y = 4:

• If x = 0, then 4(0) - 2y = 4 → -2y = 4 → y = -2. Point: (0, -2)
• If x = 1, then 4(1) - 2y = 4 → 4 - 2y = 4 → -2y = 0 → y = 0. Point: (1, 0)
• If x = 2, then 4(2) - 2y = 4 → 8 - 2y = 4 → -2y = -4 → y = 2. Point: (2, 2)

Step 2: Plot these points on a graph paper and draw lines through them.

Step 3: The lines intersect at point (2, 2).

Solution: x = 2, y = 2

हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a तथा सार्वअंतर = d है।

छठा पद = a + 5d = 9 ...(i)

17वाँ पद = a + 16d = 41 ...(ii)

समीकरण (ii) में से (i) घटाने पर:

(a + 16d) - (a + 5d) = 41 - 9

⇒ 11d = 32

⇒ d = 32/11

d का मान समीकरण (i) में रखने पर:

a + 5(32/11) = 9

⇒ a + 160/11 = 9

⇒ a = 9 - 160/11 = (99 - 160)/11 = -61/11

अब 40वाँ पद = a + 39d

= (-61/11) + 39 × (32/11)

= (-61 + 1248)/11

= 1187/11

अतः 40वाँ पद = 1187/11

हल: हम जानते हैं:

cos 45° = 1/√2, tan 60° = √3, sin 45° = 1/√2, tan 30° = 1/√3

दिया गया व्यंजक:

= 2[(1/√2)² + (√3)²] - 6[(1/√2)² - (1/√3)²]

= 2[1/2 + 3] - 6[1/2 - 1/3]

= 2[1/2 + 3] - 6[1/2 - 1/3]

= 2[1/2 + 6/2] - 6[3/6 - 2/6]

= 2[7/2] - 6[1/6]

= 7 - 1

= 6

अतः अभीष्ट मान = 6

हल: माध्य ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम वर्ग-चिह्न ज्ञात करेंगे:

माध्य = Σfx / Σf = 1440 / 18 = 80

अतः माध्य भार = 80 किग्रा

हल:

माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a तथा सार्वअन्तर = d है।

तीसरा पद: a + 2d = 4 ...(i)

नौवाँ पद: a + 8d = -8 ...(ii)

समीकरण (ii) में से (i) घटाने पर:

(a + 8d) - (a + 2d) = -8 - 4

⇒ 6d = -12 ⇒ d = -2

d का मान (i) में रखने पर:

a + 2(-2) = 4 ⇒ a - 4 = 4 ⇒ a = 8

माना nवाँ पद शून्य है।

a + (n-1)d = 0

⇒ 8 + (n-1)(-2) = 0

⇒ 8 - 2n + 2 = 0

⇒ 10 - 2n = 0 ⇒ 2n = 10 ⇒ n = 5

अतः श्रेढ़ी का 5वाँ पद शून्य होगा।

हल:

बायाँ पक्ष = cos⁴θ - sin⁴θ

= (cos²θ)² - (sin²θ)²

= (cos²θ - sin²θ)(cos²θ + sin²θ)

= (cos²θ - sin²θ) × 1 [∵ cos²θ + sin²θ = 1]

= (1 - sin²θ) - sin²θ [∵ cos²θ = 1 - sin²θ]

= 1 - 2 sin²θ = दायाँ पक्ष

अतः सिद्ध हुआ।

हल:

संचयी बारम्बारता सारणी बनाने पर:

N = 62, N/2 = 31

संचयी बारम्बारता 31 से ठीक बड़ी 42 है, अतः माध्यक वर्ग = 20-30

माध्यक = L + [(N/2 - cf)/f] × h

जहाँ L = 20, cf = 20, f = 42, h = 10

माध्यक = 20 + [(31 - 20)/42] × 10

= 20 + (11/42) × 10

= 20 + 110/42

= 20 + 2.62 (लगभग)

माध्यक ≈ 22.62

हल:

माना समान्तर श्रेढ़ी की तीन संख्याएँ a-d, a, a+d हैं।

योग: (a-d) + a + (a+d) = -3

⇒ 3a = -3 ⇒ a = -1

गुणनफल: (a-d) × a × (a+d) = 8

⇒ a(a² - d²) = 8

a = -1 रखने पर:

(-1)[(-1)² - d²] = 8

⇒ -1(1 - d²) = 8

⇒ -1 + d² = 8

⇒ d² = 9 ⇒ d = ±3

जब d = 3, तो संख्याएँ: -1-3, -1, -1+3 = -4, -1, 2

जब d = -3, तो संख्याएँ: -1-(-3), -1, -1+(-3) = 2, -1, -4

अतः अभीष्ट संख्याएँ -4, -1, 2 हैं।

हल:

बायाँ पक्ष = \(\frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta}\)

= \(\frac{(1-\sin\theta) + (1+\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}\)

= \(\frac{2}{1 - \sin^2\theta}\)

= \(\frac{2}{\cos^2\theta}\) [∵ 1 - sin²θ = cos²θ]

= 2 × \(\frac{1}{\cos^2\theta}\)

= 2 sec²θ = दायाँ पक्ष

अतः सिद्ध हुआ।

हल:

माना कल्पित माध्य (A) = 25 (मध्य वर्ग 20-30 का मध्यबिंदु)

वर्ग अन्तराल (h) = 10

माध्य = A + (Σfd/Σf) × h

= 25 + (-15/30) ×

Solution:

Let the three numbers in Arithmetic Progression be: a – d, a, a + d.

Given: Sum = –3
⇒ (a – d) + a + (a + d) = –3
⇒ 3a = –3
⇒ a = –1

Given: Product = 8
⇒ (a – d) × a × (a + d) = 8
⇒ a (a² – d²) = 8
Substitute a = –1:
⇒ –1 (1 – d²) = 8
⇒ –1 + d² = 8
⇒ d² = 9
⇒ d = ±3

Thus the numbers are:

• If d = 3: –1 – 3 = –4, –1, –1 + 3 = 2 → –4, –1, 2
• If d = –3: –1 – (–3) = 2, –1, –1 + (–3) = –4 → 2, –1, –4

Answer: The numbers are –4, –1, 2 (or 2, –1, –4).

Proof:

LHS = \(\frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta}\)

Taking LCM: \(\frac{(1-\sin\theta) + (1+\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}\)

= \(\frac{2}{1 - \sin^2\theta}\)

Using identity \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), we get \(1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta\)

= \(\frac{2}{\cos^2\theta}\)

= \(2\sec^2\theta\) = RHS

Hence proved.

Solution (Step Deviation Method):

Let assumed mean (A) = 25 (midpoint of class 20–30). Class size (h) = 10.

Mean = A + h × (Σfd / Σf)

= 25 + 10 × (–8 / 40)

= 25 + 10 × (–0.2)

= 25 – 2

= 23

Answer: Mean = 23