RBSE Class 10th 2023 Mathematics-P-09-2023 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 10th |
| Exam year | 2023 |
| Subject | Mathematics-P-09-2023 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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How to practise with this question paper
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RBSE Class 10th 2023 Mathematics-P-09-2023
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Rajasthan Board Class 10th Mathematics-P-09-2023 2023 solved Previous Year Question Papers
गणित (MATHEMATICS)
समय : 3 घण्टे 5 मिनट पूर्णांक : 80
परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :
-
परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न पत्र पर नामांक अनिवार्यत: लिखें।
Candidate must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily. -
सभी प्रश्न हल करने अनिवार्य हैं।
All the questions are compulsory. -
प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
Write the answer to each question in the given answer-book only. -
जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.
P—99-Mathematics (222) [ Turn Over ]
General Instructions (सामान्य निर्देश)
-
Language Discrepancy: If there is any error / difference / contradiction in Hindi & English versions of the question paper, the question of Hindi version should be treated valid.
(प्रश्न पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी रूपान्तर में किसी प्रकार की त्रुटि / अन्तर / विरोधाभास होने पर हिन्दी संस्करण के प्रश्न को ही सही मानें।) -
Serial Number: Write down the serial number of the question before attempting it.
(प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।) -
Internal Choices: There are internal choices in Question Nos. 20 to 23.
(प्रश्न क्रमांक 20 से 23 तक में आन्तरिक विकल्प हैं।) -
Writing on Both Sides: Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write ‘Rough Work’ on them.
(अपनी उत्तर-पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए। यदि कोई रफ़ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अंतिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर 'रफ़ कार्य' लिख दें।) -
Graph Paper: Draw the graph of Question No. 21 on graph paper.
(प्रश्न क्रमांक 21 का लेखाचित्र ग्राफ पेपर पर बनाइए।)
वस्तुनिष्ठ एवं अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न
(Objective and Very Short Answer Type Questions)
निम्न वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के उत्तर का सही विकल्प चयन कर उत्तर पुस्तिका में लिखिए।
Answer the following questions and write them in the answer book by selecting the correct option.
-
96 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योगफल है :
The sum of the powers of the prime factors of 96 is
- A) 1
- B) 2
- C) 4
- D) 6
व्याख्या: 96 = 25 × 31, अतः घातों का योगफल = 5 + 1 = 6.
-
यदि द्विघात समीकरण x² – kx + 4 = 0 के मूल समान हो, तो k का मान होगा :
If roots of the quadratic equation x² – kx + 4 = 0 are equal, then the value of k will be
- A) 0
- B) ±2
- C) ±3
- D) ±4
व्याख्या: समान मूलों के लिए विविक्तकर (discriminant) शून्य होता है: b² – 4ac = 0. यहाँ a = 1, b = –k, c = 4, अतः (–k)² – 4(1)(4) = 0 ⇒ k² – 16 = 0 ⇒ k = ±4.
प्रश्न 1:
बिन्दु (3, 4) की y-अक्ष से दूरी होगी –
- 1
- 2
- 3
- 4
सही उत्तर: C) 3
प्रश्न 2:
समीकरण 3x + 2y = 12 को सन्तुष्ट करने वाला युग्म है –
- (1, 4)
- (2, 3)
- (3, 5)
- (1, 3)
A) 3(1) + 2(4) = 3 + 8 = 11 ≠ 12
B) 3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12 ✔
C) 3(3) + 2(5) = 9 + 10 = 19 ≠ 12
D) 3(1) + 2(3) = 3 + 6 = 9 ≠ 12
सही उत्तर: B) (2, 3)
प्रश्न 3:
द्विघात समीकरण 3√3 x² + 10x + √3 = 0 का विविक्तिकर होगा –
- 8
- 30
- 46
- 64
यहाँ a = 3√3, b = 10, c = √3
D = (10)² – 4 × (3√3) × (√3) = 100 – 4 × 3 × 3 = 100 – 36 = 64
सही उत्तर: D) 64
प्रश्न 1 (vib)
यदि 8, a, b, -3 समान्तर श्रेढ़ी में है, तो a + b का मान होगा:
- अ) 7
- ब) 11
- स) 5
- द) -69
English: If 8, a, b, -3 are in A.P., then the value of a + b will be:
- A) 7
- B) 11
- C) 5
- D) -69
हल: समान्तर श्रेढ़ी में, सार्वअंतर (d) समान होता है।
पहला पद = 8, दूसरा पद = a, तीसरा पद = b, चौथा पद = -3
d = a - 8 = b - a = -3 - b
a - 8 = b - a ⇒ 2a - b = 8 ...(i)
b - a = -3 - b ⇒ 2b - a = -3 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर:
(i) से b = 2a - 8, (ii) में रखने पर: 2(2a - 8) - a = -3 ⇒ 4a - 16 - a = -3 ⇒ 3a = 13 ⇒ a = 13/3
b = 2(13/3) - 8 = 26/3 - 24/3 = 2/3
a + b = 13/3 + 2/3 = 15/3 = 5
सही उत्तर: स) 5
प्रश्न 2 (i)
3sec45° cos45° का मान होगा:
- अ) 0
- ब) 1
- स) 2
- द) 3
English: Value of 3sec45° cos45° will be:
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) 3
हल: sec45° = √2 और cos45° = 1/√2
3sec45° cos45° = 3 × √2 × (1/√2) = 3 × 1 = 3
सही उत्तर: द) 3
प्रश्न 7 (vii)
वृत्त की वह जीवा जिसकी लम्बाई वृत्त की त्रिज्या से दोगुनी हो, कहलाती है -
- त्रिज्यखण्ड
- व्यास
- क्षेत्रफल
- परिधि
A chord of a circle, whose length is twice the radius of the circle, is called :
- Sector
- Diameter
- Area
- Circumference
सही उत्तर: B) व्यास (Diameter)
व्याख्या: वृत्त की वह जीवा जो केंद्र से होकर गुजरती है और जिसकी लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है, व्यास कहलाती है। व्यास = 2 × त्रिज्या।
प्रश्न 8 (viii)
एक वृत्त की त्रिज्या 3.5 सेमी है, तो वृत्त की परिधि होगी -
- 11 सेमी
- 22 सेमी
- 33 सेमी
- 44 सेमी
Radius of a circle is 3.5 cm. Find its circumference.
- 11 cm
- 22 cm
- 33 cm
- 44 cm
सही उत्तर: B) 22 सेमी (22 cm)
व्याख्या: वृत्त की परिधि = 2πr, जहाँ r = 3.5 सेमी। π = 22/7 लेने पर, परिधि = 2 × (22/7) × 3.5 = 2 × 22 × 0.5 = 22 सेमी।
प्रश्न 9 (ix)
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 486 वर्ग सेमी है, घन की भुजा का माप होगा -
- 6 सेमी
- 7 सेमी
- 8 सेमी
- 9 सेमी
The total surface area of a cube is 486 cm². Measure of side of the cube will be -
- 6 cm
- 7 cm
- 8 cm
- 9 cm
सही उत्तर: D) 9 सेमी (9 cm)
व्याख्या: घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)²। दिया है, 6 × (भुजा)² = 486 ⇒ (भुजा)² = 81 ⇒ भुजा = 9 सेमी।
प्रश्न (Question):
2) 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3 और 4 का बहुलक है -
- a) 1
- b) 3
- c) 4
- d) 7
The mode of the distribution 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3 and 4 is -
- A) 1
- B) 3
- C) 4
- D) 7
हल (Solution):
दिए गए आँकड़े: 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4
बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। यहाँ, 4 तीन बार आता है, जो सबसे अधिक है।
सही उत्तर: c) 4 (या C) 4)
प्रश्न (Question):
xii) एक पासे को फेंकने पर 4 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- a) 1/2
- b) 1/3
- c) 1/6
- d) 2/3
In a throw of a die, determine the probability of getting a number more than 4.
- A) 1/2
- B) 1/3
- C) 1/6
- D) 2/3
हल (Solution):
एक पासे पर कुल संभावित परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (कुल 6)
4 से बड़े अंक: 5 और 6 (कुल 2 अनुकूल परिणाम)
प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल संभावित परिणाम = 2/6 = 1/3
सही उत्तर: b) 1/3 (या B) 1/3)
रिक्त स्थान भरें (Fill in the blanks):
3) 95 तथा 152 का महत्तम समापवर्त्तक (HCF) ______ है।
Highest Common Factor (HCF) of 95 and 152 is ______.
हल (Solution):
95 = 5 × 19
152 = 2 × 2 × 2 × 19 = 8 × 19
सार्व गुणनखंड: 19
अतः HCF = 19
उत्तर: 19
4) वृत्त पर स्थित एक बिन्दु से ______ स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
______ tangent can be drawn from a point on the circle.
हल (Solution):
वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
उत्तर: एक (One)
खण्ड (ब) – अति लघुत्तरात्मक प्रश्न
निर्देश: निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर अति संक्षेप में दीजिए।
-
cos² 45° का मान है।
The value of cos² 45° isहल: cos 45° = 1/√2, अतः cos² 45° = (1/√2)² = 1/2.
उत्तर: 1/2
-
वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को कहते हैं।
The common point of the circle and its tangent line is calledउत्तर: स्पर्श बिन्दु (Point of tangency)
-
यदि 5, 7, 9, x का समान्तर माध्य 9 हो, तो x का मान होगा।
If Arithmetic mean of a distribution 5, 7, 9, x is 9, then value of x will beहल: समान्तर माध्य = (5 + 7 + 9 + x)/4 = 9
⇒ 21 + x = 36
⇒ x = 15उत्तर: 15
-
दो पासों को एक साथ फेंकने पर अंकों का योग 7 आने की प्रायिकता होगी।
In a single throw of two dice, probability of getting a total of 7 will beहल: कुल संभावित परिणाम = 6 × 6 = 36
अनुकूल परिणाम (योग 7): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6
प्रायिकता = 6/36 = 1/6उत्तर: 1/6
3) अति लघुत्तरात्मक प्रश्न
Very short answer type questions.
-
k के किस मान पर समीकरण 3x – 2y = 0 तथा kx + 5y = 0 के अनन्त हल होंगे?
For which value of k, linear pair 3x – 2y = 0 and kx + 5y = 0 will have infinite solutions?हल: अनन्त हल के लिए, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
यहाँ a₁ = 3, b₁ = –2, c₁ = 0; a₂ = k, b₂ = 5, c₂ = 0
⇒ 3/k = –2/5
⇒ 3 × 5 = –2 × k
⇒ 15 = –2k
⇒ k = –15/2उत्तर: k = –15/2
-
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल ज्ञात करने का श्रीधराचार्य सूत्र लिखिए।
Write the Sridharacharya formula to find roots of quadratic equation ax² + bx + c = 0.उत्तर: श्रीधराचार्य सूत्र: x = [–b ± √(b² – 4ac)] / 2a
-
किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद “a” एवं सार्वअन्तर “d” हो, तो पाँचवाँ पद क्या होगा?
What will be the fifth term of an Arithmetic progression whose first term is “a” and common difference is “d”?हल: समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद = a + (n – 1)d
पाँचवाँ पद (n = 5) = a + (5 – 1)d = a + 4dउत्तर: a + 4d
प्रश्न 1: समरूप आकृतियों को परिभाषित कीजिए।
Define similar figures.
समरूप आकृतियाँ (Similar Figures): दो आकृतियाँ समरूप कहलाती हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ समानुपाती (एक ही अनुपात में) हों। दूसरे शब्दों में, एक आकृति दूसरी आकृति का हूबहू बड़ा या छोटा रूप होती है, लेकिन उनका आकार एक जैसा होता है।
Two figures are said to be similar if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are in the same ratio (proportional). In other words, one figure is an exact enlargement or reduction of the other, having the same shape.
प्रश्न 2: \(\frac{2\tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of \(\frac{2\tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ}\).
हल:
हम जानते हैं कि \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
दिए गए व्यंजक में मान रखने पर:
\(\frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)
अतः अभीष्ट मान \(\sqrt{3}\) है।
Note: यह सर्वसमिका \(\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\) पर आधारित है, जहाँ \(\theta = 30^\circ\) होने पर \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) प्राप्त होता है।
प्रश्न 3: \(\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\) का मान \(\theta = 60^\circ\) पर ज्ञात कीजिए।
Find the value of \(\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\) at \(\theta = 60^\circ\).
हल:
हम जानते हैं कि \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), अतः \(\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{\sin^2 \theta} = |\sin \theta|\).
\(\theta = 60^\circ\) पर, \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
चूँकि \(60^\circ\) प्रथम चतुर्थांश में है, \(\sin 60^\circ\) धनात्मक है, अतः \(|\sin 60^\circ| = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
अतः अभीष्ट मान \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) है।
प्रश्न 4: एक \(h\) मीटर ऊँचे मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है। बिन्दु की आधार से दूरी कितनी होगी?
From the top of \(h\) meter high tower, angle of depression at a point on earth is 30°. What will be the distance of point from the base of tower?
हल:
माना मीनार की ऊँचाई \(AB = h\) मीटर है। बिन्दु C पृथ्वी पर है। अवनमन कोण \(\angle DAC = 30^\circ\) है। चूँकि \(AD \parallel BC\), अतः \(\angle ACB = \angle DAC = 30^\circ\) (एकान्तर कोण)।
समकोण त्रिभुज ABC में:
\(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{BC}\)
अतः \(BC = h\sqrt{3}\) मीटर।
बिन्दु की आधार से दूरी \(h\sqrt{3}\) मीटर होगी।
प्रश्न 5: एक उर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात \(1 : \sqrt{3}\) हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
If ratio of length of a vertical rod and length of its shadow is \(1 : \sqrt{3}\), then find the angle of elevation of Sun.
हल:
माना छड़ की लम्बाई = 1 इकाई, तथा छाया की लम्बाई = \(\sqrt{3}\) इकाई।
माना सूर्य का उन्नयन कोण \(\theta\) है। समकोण त्रिभुज में:
\(\tan \theta = \frac{\text{छड़ की लम्बाई}}{\text{छाया की लम्बाई}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
हम जानते हैं कि \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
अतः \(\theta = 30^\circ\).
सूर्य का उन्नयन कोण 30° है।
प्रश्न 6: 3 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त बनाइए तथा केन्द्र O से 5 सेमी दूर स्थित बिन्दु P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उनका माप लिखिए।
Draw a circle of radius 3 cm. From a point P at a distance of 5 cm from the centre O, draw two tangents to the circle and write their measurement.
रचना के चरण:
- O को केन्द्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
- वृत्त के केन्द्र O से 5 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु P अंकित कीजिए।
- OP को मिलाइए। OP का मध्यबिन्दु M ज्ञात कीजिए।
- M को केन्द्र मानकर और MO = MP त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो दिए गए वृत्त को दो बिन्दुओं T₁ और T₂ पर काटता है।
- PT₁ और PT₂ को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
माप: स्पर्श रेखाओं की लम्बाई मापने पर प्रत्येक लगभग 4 सेमी होती है।
सत्यापन: पाइथागोरस प्रमेय से, \(PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\) सेमी।
खण्ड - 4a (SECTION - 8)
x) 5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए एवं उसे 2 : 3 के अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों की माप लिखिए।
Draw a line segment AB of length 5 cm and divide it into the ratio 2 : 3. Write the measurement of both the parts.
Solution:
माना रेखाखण्ड AB = 5 cm है। इसे 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करने पर, कुल भाग = 2 + 3 = 5
पहले भाग की लंबाई = (2/5) × 5 = 2 cm
दूसरे भाग की लंबाई = (3/5) × 5 = 3 cm
अतः दोनों भागों की माप क्रमशः 2 cm और 3 cm होगी।
xi) यदि किसी वृत्त का त्रिज्यखण्ड उस वृत्त का चतुर्थाश है, तो त्रिज्यखण्ड में केन्द्र पर बनने वाले कोण का माप क्या होगा?
If the sector of a circle is a quadrant of that circle, then what will be the measure of the angle formed by the sector at the centre?
Solution:
चतुर्थाश का अर्थ है वृत्त का एक चौथाई भाग।
पूरे वृत्त में केन्द्र पर कोण = 360°
अतः चतुर्थाश (एक चौथाई) में केन्द्र पर कोण = 360° ÷ 4 = 90°
इसलिए त्रिज्यखण्ड में केन्द्र पर बनने वाले कोण का माप 90° होगा।
xii) अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इस पत्ते के दहला होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A card is drawn from a well shuffled deck of 52 cards. Find the probability of it being a ten.
Solution:
कुल संभावित परिणाम = 52 (कुल पत्ते)
अनुकूल परिणाम (दहला होने के) = 4 (हुकुम, पान, चिड़ी, ईंट में से प्रत्येक में एक दहला)
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल संभावित परिणाम = 4/52 = 1/13
अतः पत्ते के दहला होने की प्रायिकता 1/13 है।
खण्ड - 4b (SECTION - 8)
3. परिमेय संख्या 25/8 का दशमलव प्रसार लिखिए।
Write down the decimal expansion of the rational number 25/8.
Solution:
25 ÷ 8 = 3.125
अतः 25/8 का दशमलव प्रसार 3.125 है।
5. बहुपद x² - x - 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Find the zeroes of the polynomial x² - x - 6.
Solution:
दिया गया बहुपद: x² - x - 6
गुणनखंड करने पर:
x² - x - 6 = x² - 3x + 2x - 6
= x(x - 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(x + 2)
शून्यक ज्ञात करने के लिए:
x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अतः बहुपद के शून्यक 3 और -2 हैं।
प्रश्न 1: मूलों की प्रकृति का पता लगाइए। [2]
मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए द्विघात समीकरण के विविक्तकर (Discriminant) का उपयोग किया जाता है। विविक्तकर D = b² – 4ac होता है। यदि D > 0, तो मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं; यदि D = 0, तो मूल वास्तविक और समान होते हैं; यदि D < 0, तो मूल काल्पनिक होते हैं।
प्रश्न 2: बिंदुओं (0, 0) और (8, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। [2]
हल: मध्य बिंदु सूत्र के अनुसार, यदि बिंदु A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) हैं, तो मध्य बिंदु M के निर्देशांक होते हैं:
M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
यहाँ, x₁ = 0, y₁ = 0, x₂ = 8, y₂ = -3
अतः, M = ((0 + 8)/2, (0 + (-3))/2) = (8/2, -3/2) = (4, -1.5)
उत्तर: मध्य बिंदु के निर्देशांक (4, -1.5) हैं।
प्रश्न 3: एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर बढ़ जाती है जब सूर्य का उन्नतांश कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [2]
हल: माना मीनार की ऊँचाई h मीटर है। जब सूर्य का उन्नतांश कोण 60° है, तो छाया की लंबाई x मीटर है। तब, tan 60° = h/x ⇒ √3 = h/x ⇒ x = h/√3
जब कोण 30° हो जाता है, तो छाया की लंबाई (x + 40) मीटर हो जाती है। तब, tan 30° = h/(x + 40) ⇒ 1/√3 = h/(x + 40)
पहले समीकरण से x का मान दूसरे में रखने पर:
1/√3 = h/(h/√3 + 40)
⇒ h/√3 + 40 = √3 h
⇒ 40 = √3 h – h/√3 = (3h – h)/√3 = 2h/√3
⇒ h = (40 × √3)/2 = 20√3 मीटर
उत्तर: मीनार की ऊँचाई 20√3 मीटर (लगभग 34.64 मीटर) है।
प्रश्न 4: 6 सेमी भुजा के नाप वाले एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2/3 गुनी हों। [2]
रचना के चरण:
- एक रेखाखंड BC = 6 सेमी खींचिए।
- B और C को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या के चाप खींचिए जो एक दूसरे को A पर काटें।
- AB और AC को मिलाइए। इस प्रकार समबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त होता है।
- BC के नीचे एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BX खींचिए।
- BX पर तीन बिंदु B₁, B₂, B₃ इस प्रकार अंकित कीजिए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ हो।
- B₃ को C से मिलाइए।
- B₂ से B₃C के समांतर एक रेखा खींचिए जो BC को C' पर काटे।
- C' से AC के समांतर रेखा खींचिए जो AB को A' पर काटे।
- इस प्रकार त्रिभुज A'BC' अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की भुजाओं की 2/3 गुनी हैं।
प्रश्न 5: 4 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो एक दूसरे के समांतर हों। [2]
रचना के चरण:
- O केंद्र लेकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
- वृत्त का एक व्यास AB खींचिए।
- बिंदु A और B पर व्यास के लंबवत रेखाएँ खींचिए।
- ये रेखाएँ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ होंगी और एक दूसरे के समांतर होंगी।
स्पष्टीकरण: किसी वृत्त के व्यास के अंत बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हमेशा समांतर होती हैं।
प्रश्न 2 (a)
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हो, तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
If the areas of two similar triangles are equal, prove that they are congruent.
हल: माना दो समरूप त्रिभुज ΔABC और ΔDEF हैं, जिनमें ΔABC ~ ΔDEF है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय से:
ar(ΔABC) / ar(ΔDEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (CA/FD)²
दिया है कि ar(ΔABC) = ar(ΔDEF), अतः:
1 = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (CA/FD)²
इसलिए, AB/DE = 1, BC/EF = 1, CA/FD = 1
अतः AB = DE, BC = EF, CA = FD
चूँकि दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर हैं, अतः SSS सर्वांगसमता नियम से ΔABC ≅ ΔDEF।
निष्कर्ष: यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो वे सर्वांगसम होते हैं।
प्रश्न 2 (b)
एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है तथा एक चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 60° है। इस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Radius of a circle is 7 cm and the angle subtended at the centre by an arc is 60°. Find the area of this sector.
हल: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
यहाँ, θ = 60°, r = 7 सेमी, π = 22/7
क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 7 × 7
= (1/6) × 22 × 7
= (22 × 7) / 6
= 154/6
= 77/3 वर्ग सेमी
उत्तर: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 77/3 वर्ग सेमी (लगभग 25.67 वर्ग सेमी)।
प्रश्न 2 (c)
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 8 सेमी और 6 सेमी हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
The slant height of a frustum of a cone is 4 cm and the perimeters of its circular ends are 8 cm and 6 cm. Find the curved surface area of the frustum.
हल: छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = π(r₁ + r₂)l
जहाँ l = तिर्यक ऊँचाई = 4 सेमी
परिधि₁ = 2πr₁ = 8 सेमी ⇒ r₁ = 8/(2π) = 4/π सेमी
परिधि₂ = 2πr₂ = 6 सेमी ⇒ r₂ = 6/(2π) = 3/π सेमी
अतः वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × (4/π + 3/π) × 4
= π × (7/π) × 4
= 7 × 4
= 28 वर्ग सेमी
उत्तर: छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 28 वर्ग सेमी।
प्रश्न 2 (d)
दो घन, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 सेमी³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Two cubes each of volume 64 cm³ are joined end to end. Find the surface area of the resulting cuboid.
हल: प्रत्येक घन का आयतन = 64 सेमी³
घन की भुजा = ∛64 = 4 सेमी
दो घनों को जोड़ने पर बना घनाभ:
लंबाई (l) = 4 + 4 = 8 सेमी
चौड़ाई (b) = 4 सेमी
ऊँचाई (h) = 4 सेमी
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(8×4 + 4×4 + 4×8)
= 2(32 + 16 + 32)
= 2 × 80
= 160 वर्ग सेमी
उत्तर: परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 वर्ग सेमी।
प्रश्न 2 (e)
दिए गए आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए।
Find the mean of the given data.
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प्रश्न 35
एक डिब्बे में 8 लाल कंचे, 5 सफेद कंचे और 2 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
- लाल है?
- हरा नहीं है?
A box contains 8 red marbles, 5 white marbles and 2 green marbles. One marble is taken out of the box at random. What is the probability that the marble taken out is
- red?
- not green?
हल:
कुल कंचों की संख्या = 8 + 5 + 2 = 15
(i) लाल कंचा निकलने की प्रायिकता:
अनुकूल परिणामों की संख्या = 8 (लाल कंचे)
P(लाल) = 8/15
(ii) हरा कंचा न निकलने की प्रायिकता:
हरा कंचा न निकलने का अर्थ है लाल या सफेद कंचा निकलना।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 8 + 5 = 13
P(हरा नहीं) = 13/15
उत्तर: (i) 8/15, (ii) 13/15
खण्ड - C
प्रश्न 1
ऐसे प्रथम 40 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य है।
Find the sum of the first 40 positive integers divisible by 6.
हल:
6 से विभाज्य प्रथम 40 धनात्मक पूर्णांक: 6, 12, 18, 24, ..., 40वाँ पद
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद a = 6, सार्वअंतर d = 6, और पदों की संख्या n = 40 है।
40वाँ पद = a + (n-1)d = 6 + (40-1)×6 = 6 + 39×6 = 6 + 234 = 240
योग Sn = n/2 [2a + (n-1)d]
S40 = 40/2 [2×6 + (40-1)×6]
= 20 [12 + 39×6]
= 20 [12 + 234]
= 20 × 246
= 4920
उत्तर: 4920
प्रश्न 2
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0) तथा (2, -4) हैं।
Find the area of triangle whose vertices are (2, 3), (-1, 0) and (2, -4).
हल:
माना शीर्ष A(2, 3), B(-1, 0), C(2, -4) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
= ½ |2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)|
= ½ |2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|
= ½ |8 + 7 + 6|
= ½ × 21
= 10.5 वर्ग इकाई
उत्तर: 10.5 वर्ग इकाई
प्रश्न 3
एक कक्षा के छात्रों के प्राप्तांक निम्न बंटन में दिए हुए हैं। इनका माध्यक ज्ञात कीजिए।
| प्राप्तांक | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या | 4 | 28 | 42 | 20 | 6 |
The marks of students of a class are given in following frequency distribution. Find their median.
हल:
सर्वप्रथम संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं:
| प्राप्तांक | बारंबारता (f) | संचयी बारंबारता (cf) |
|---|---|---|
| 0-10 | 4 | 4 |
| 10-20 | 28 | 32 |
| 20-30 | 42 | 74 |
| 30-40 | 20 | 94 |
| 40-50 | 6 | 100 |
कुल छात्र N = 100, N/2 = 50
50 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता 74 है, जो वर्ग 20-30 में है।
अतः माध्यक वर्ग = 20-30
माध्यक = l + [(N/2 - cf)/f] × h
जहाँ l = 20 (माध्यक वर्ग की निचली सीमा)
cf = 32 (माध्यक वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता)
f = 42 (माध्यक वर्ग की बारंबारता)
h = 10 (वर्ग अंतराल)
माध्यक = 20 + [(50 - 32)/42] × 10
= 20 + (18/42) × 10
= 20 + (3/7) × 10
= 20 + 30/7
= 20 + 4.29
= 24.29 (लगभग)
उत्तर: 24.29 (लगभग)
प्रश्न 20
केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2∠OPQ है।
Two tangents TP and TQ are drawn to a circle with centre O from an external point T. Prove that ∠PTQ = 2∠OPQ.
हल / Solution:
माना वृत्त का केंद्र O है। TP और TQ दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
चूँकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या पर लम्ब होती है, इसलिए:
∠OPT = 90° और ∠OQT = 90°
चतुर्भुज OPTQ में, ∠OPT + ∠OQT + ∠POQ + ∠PTQ = 360°
⇒ 90° + 90° + ∠POQ + ∠PTQ = 360°
⇒ ∠POQ + ∠PTQ = 180° ...(1)
त्रिभुज OPQ में, OP = OQ (त्रिज्याएँ), अतः ∠OPQ = ∠OQP
∠OPQ + ∠OQP + ∠POQ = 180°
⇒ 2∠OPQ + ∠POQ = 180° ...(2)
समीकरण (1) और (2) से:
∠POQ + ∠PTQ = 2∠OPQ + ∠POQ
⇒ ∠PTQ = 2∠OPQ
अतः सिद्ध हुआ।
खण्ड - द / SECTION - D
प्रश्न 21
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए:
x + y = 14
x - y = 4
Solve the following pair of linear equations graphically:
x + y = 14
x - y = 4
हल / Solution:
चरण 1: प्रत्येक समीकरण के लिए तालिका बनाएँ:
समीकरण 1: x + y = 14 ⇒ y = 14 - x
| x | 0 | 4 | 14 |
|---|---|---|---|
| y | 14 | 10 | 0 |
समीकरण 2: x - y = 4 ⇒ y = x - 4
| x | 0 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| y | -4 | 0 | 2 |
चरण 2: इन बिन्दुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करें और रेखाएँ खींचें। दोनों रेखाएँ बिन्दु (9, 5) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः हल: x = 9, y = 5
अथवा / OR
एक कक्षा के 10 विद्यार्थियों ने गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 2 अधिक हो, तो इस स्थिति का बीजगणितीय एवं ग्राफीय निरूपण कीजिए।
हल / Solution:
माना लड़कों की संख्या = x और लड़कियों की संख्या = y
बीजगणितीय निरूपण:
कुल विद्यार्थी: x + y = 10
लड़कियाँ लड़कों से 2 अधिक: y = x + 2
ग्राफीय निरूपण:
समीकरण 1: x + y = 10 ⇒ y = 10 - x
| x | 0 | 4 | 10 |
|---|---|---|---|
| y | 10 | 6 | 0 |
समीकरण 2: y = x + 2
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 2 | 4 | 6 |
ग्राफ पेपर पर इन बिन्दुओं को अंकित करने पर दोनों रेखाएँ बिन्दु (4, 6) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः लड़के = 4, लड़कियाँ = 6
प्रश्न 22
सिद्ध कीजिए कि:
√((1 - cos A) / (1 + cos A)) = cosec A - cot A
Prove that:
√((1 - cos A) / (1 + cos A)) = cosec A - cot A
हल / Solution:
बायाँ पक्ष = √((1 - cos A) / (1 + cos A))
अंश और हर में (1 - cos A) से गुणा करने पर:
= √((1 - cos A)² / (1 - cos² A))
= √((1 - cos A)² / sin² A)
= (1 - cos A) / sin A
= (1/sin A) - (cos A/sin A)
= cosec A - cot A = दायाँ पक्ष
अतः सिद्ध हुआ।
अथवा / OR
(प्रश्न का पूरा पाठ स्पष्ट नहीं है, कृपया पुनः जाँच करें।)
प्रश्न 5 (4 अंक)
सिद्ध कीजिए कि :
(sinA + cosecA)² + (cosA + secA)² = 7 + tan²A + cot²A
Prove that :
(sinA + cosecA)² + (cosA + secA)² = 7 + tan²A + cot²A
हल / Solution:
बायाँ पक्ष (LHS) = (sinA + cosecA)² + (cosA + secA)²
= (sin²A + 2 sinA cosecA + cosec²A) + (cos²A + 2 cosA secA + sec²A)
= (sin²A + 2·1 + cosec²A) + (cos²A + 2·1 + sec²A) [∵ sinA·cosecA = 1, cosA·secA = 1]
= (sin²A + cos²A) + (cosec²A + sec²A) + 4
= 1 + (1 + cot²A) + (1 + tan²A) + 4 [∵ cosec²A = 1 + cot²A, sec²A = 1 + tan²A]
= 1 + 1 + cot²A + 1 + tan²A + 4
= 7 + tan²A + cot²A = दायाँ पक्ष (RHS)
अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न (4 अंक)
निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए :
(बारम्बारता बंटन का डेटा उपलब्ध नहीं है। कृपया पूर्ण प्रश्न देखें।)
Find the mode of the following frequency distribution :
(Frequency distribution data not available. Please refer to the full question.)