RBSE Class 10th 2023 Mathematics-S-09-2023 Previous Year Papers

माध्यमिक परीक्षा, 2023
SECONDARY EXAMINATION, 2023

गणित
MATHEMATICS

समय : 3 घण्टे 5 मिनट     पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :

1. परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न पत्र पर नामांक अनिवार्यत: लिखें।
   Candidate must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily.
2. सभी प्रश्न हल करने अनिवार्य हैं।
   All the questions are compulsory.
3. प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
   Write the answer to each question in the given answer-book only.
4. जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
   For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.

[ 205 ] [ Turn ]

09-Mathematics

खण्ड – (अ) / Section – (A)

(वस्तुनिष्ठ एवं अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न)
(Objective and Very Short Answer Type Questions)

निम्नलिखित वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के उत्तर का सही विकल्प चयन कर उत्तर पुस्तिका में लिखिए।
Answer the following questions and write them in the answer book by selecting the correct option.

1. 96 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योगफल है :
   The sum of the powers of the prime factors of 96 is

   • A) 1
   • B) 2
   • C) 4
   • D) 6

   व्याख्या: 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁵ × 3¹. अभाज्य गुणनखण्डों की घातें 5 और 1 हैं। इनका योगफल = 5 + 1 = 6.

2. यदि द्विघात समीकरण x² – kx + 4 = 0 के मूल समान हों, तो k का मान होगा :
   If roots of the quadratic equation x² – kx + 4 = 0 are equal, then the value of k will be

   • A) ±1
   • B) ±2
   • C) ±3
   • D) ±4

   व्याख्या: समान मूलों के लिए विविक्तकर (discriminant) शून्य होता है। यहाँ a = 1, b = –k, c = 4. अतः D = b² – 4ac = (–k)² – 4(1)(4) = k² – 16 = 0 ⇒ k² = 16 ⇒ k = ±4. सही उत्तर ±4 है।

iii) बिन्दु (3, 4) की y-अक्ष से दूरी होगी -

The distance of the point (3, 4) from the y-axis will be -

• A) 1
• B) 2
• C) 3
• D) 4

Explanation: The distance of a point (x, y) from the y-axis is the absolute value of its x-coordinate. Here, x = 3, so distance = 3.

iv) 3x + 2y = 11 को संतुष्ट करने वाला युग्म है -

The pair satisfying 3x + 2y = 11 is -

• A) (1, 4)
• B) (2, 3)
• C) (3, 5)
• D) (4, 3)

Explanation: Substitute each pair into the equation: For (2, 3): 3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12 ≠ 11. For (1, 4): 3(1) + 2(4) = 3 + 8 = 11. So (1, 4) is correct. (Note: The OCR had a typo; the correct pair is (1, 4) as per the equation.)

v) द्विघात समीकरण 3√3x² + 0x + √3 = 0 का विविक्तिकर होगा :

Discriminant of quadratic equation 3√3x² + 0x + √3 = 0 will be:

• A) 8
• B) 30
• C) 46
• D) 64

Explanation: Discriminant D = b² - 4ac. Here a = 3√3, b = 0, c = √3. So D = 0² - 4(3√3)(√3) = -4 × 3 × 3 = -36. But the options suggest a positive value; rechecking: The equation might be 3√3x² + 10x + √3 = 0? However, as given, D = -36, which is not among options. Assuming a typo, if b = 10, then D = 100 - 4(3√3)(√3) = 100 - 36 = 64. So correct answer is 64.

vi) यदि 8, a, b, -3 समांतर श्रेढ़ी में है तो a + b का मान होगा:

1. 7
2. 11
3. 15
4. 19

vii) 3 sec 45° cos 45° का मान होगा:

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

vi. एक वृत्त की वह जीवा जो त्रिज्या से दोगुनी हो, कहलाती है –

• अ) व्यास
• ब) क्षेत्रफल
• स) परिधि

Correct Answer: अ) व्यास

Explanation: वृत्त की जीवा जो त्रिज्या से दोगुनी होती है, वह व्यास कहलाती है। व्यास वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और इसकी लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है।

vii. A chord of a circle which is twice the radius of the circle, is called:

• A) Sector
• B) Diameter
• C) Area
• D) Circumference

Correct Answer: B) Diameter

Explanation: A chord that is twice the radius of the circle passes through the center and is called the diameter.

ix. एक वृत्त की त्रिज्या 3.5 सेमी है, तो वृत्त की परिधि होगी –

• अ) 11 सेमी
• ब) 22 सेमी
• स) 33 सेमी
• द) 44 सेमी

Correct Answer: ब) 22 सेमी

x. Radius of a circle is 3.5 cm. Find its circumference.

• A) 11 cm
• B) 22 cm
• C) 33 cm
• D) 44 cm

Correct Answer: B) 22 cm

xi. घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 486 वर्ग सेमी है, घन की भुजा का माप होगा –

• अ) 6 सेमी
• ब) 7 सेमी
• स) 8 सेमी
• द) 9 सेमी

Correct Answer: द) 9 सेमी

xii. The total surface area of a cube is 486 cm². Measure of side of the cube will be:

• A) 6 cm
• B) 7 cm
• C) 8 cm
• D) 9 cm

Correct Answer: D) 9 cm

xi) बंटन 3, 5, 7, 4, 2, 4, 3 और 4 का बहुलक है -

• a) 3
• b) 4
• c) 7

English: The mode of the distribution 3, 5, 7, 4, 2, 4, 3 and 4 is -

• A) 1
• B) 3
• C) 4
• D) 7

xii) एक पासे को फेंकने पर 4 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

• a) 1/6
• b) 1/3
• c) 1/2
• d) 2/3

English: In a throw of a die, determine the probability of getting a number more than 4:

• A) 1/6
• B) 1/3
• C) 1/3
• D) 1/2

2) निम्नलिखित प्रश्नों में रिक्त स्थानों की पूर्ति करते हुए उत्तरपुस्तिका में लिखिए।

English: Fill in the blanks in the following questions and write them in the answer book.

i) 95 तथा 52 का महत्तम समापवर्त्तक (HCF) है ______।

English: Highest Common Factor (HCF) of 95 and 52 is ______.

ii) वृत्त पर स्थित एक बिन्दु से ______ स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।

English: ______ tangent(s) can be drawn from a point on the circle.

अति लघुत्तरात्मक प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

1. cos² 45° का मान है। (The value of cos² 45° is)

   cos 45° = 1/√2, इसलिए cos² 45° = (1/√2)² = 1/2

   उत्तर: 1/2

2. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को कहते हैं। (The common point of the circle and its tangent line is called)

   उत्तर: स्पर्श बिंदु (Point of tangency)

3. यदि 2, 5, 7, 9, x का समान्तर माध्य 9 हो, तो x का मान होगा। (If Arithmetic mean of 2, 5, 7, 9, x is 9, then value of x will be)

   समान्तर माध्य = (2 + 5 + 7 + 9 + x) / 5 = 9

   ⇒ 23 + x = 45

   ⇒ x = 45 - 23 = 22

   उत्तर: 22

4. दो पासों को एक साथ फेंकने पर अंकों का योग 7 आने की प्रायिकता होगी। (In a single throw of two dice, probability of getting a total of 7 will be)

   कुल संभावित परिणाम = 6 × 6 = 36

   योग 7 आने के अनुकूल परिणाम: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6

   प्रायिकता = 6/36 = 1/6

   उत्तर: 1/6

5. k के किस मान के लिए रैखिक युग्म 3x - 2y = 0 और kx + 5y = 0 के अनन्त हल होंगे? (For which value of k, linear pair 3x - 2y = 0 and kx + 5y = 0 will have infinite solutions?)

   अनन्त हल के लिए, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

   यहाँ, a₁ = 3, b₁ = -2, c₁ = 0

   a₂ = k, b₂ = 5, c₂ = 0

   ⇒ 3/k = -2/5

   ⇒ 3 × 5 = -2 × k

   ⇒ 15 = -2k

   ⇒ k = -15/2

   उत्तर: k = -15/2

6. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल ज्ञात करने का श्रीधराचार्य सूत्र लिखिए। (Write the Sridharacharya formula to find roots of quadratic equation ax² + bx + c = 0)

   श्रीधराचार्य सूत्र:

   x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

   उत्तर: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

7. एक समान्तर श्रेणी (A.P.) का प्रथम पद "a" एवं सार्वअन्तर "d" हो, तो पाँचवाँ पद क्या होगा? (What will be the fifth term of an Arithmetic Progression (A.P.) whose first term is "a" and common difference is "d"?)

   समान्तर श्रेणी का nवाँ पद = a + (n - 1)d

   पाँचवाँ पद = a + (5 - 1)d = a + 4d

   उत्तर: a + 4d

(iv) समरूप आकृतियों को परिभाषित कीजिए।

Define similar figures.

(v) 2 tan 30° / (1 – tan² 30°) का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of 2 tan 30° / (1 – tan² 30°).

(vi) √(1 – cos²θ) का मान θ = 60° पर ज्ञात कीजिए।

Find the value of √(1 – cos²θ) at θ = 60°.

(vii) 0 मीटर ऊँची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी कितनी होगी?

From the top of 0 meter high tower, angle of depression at a point on earth is 30°. What will be the distance of point from the base of tower?

(viii) एक उर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 1 : √3 हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

If ratio of length of a vertical rod and length of its shadow is 1 : √3, then find the angle of elevation of Sun.

(ix) 3 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त बनाइये तथा केन्द्र O से 5 सेमी दूर स्थित बिन्दु P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उनका माप लिखिए।

Draw a circle with centre O and radius 3 cm and draw two tangents to the circle from a point P which is 5 cm away from its centre and write the measurement of them.

खण्ड - ब / SECTION - B

प्रश्न 4

परिमेय संख्या ¹³⁄₂₅ का दशमलव प्रसार लिखिए।
Write down the decimal expansion of the rational number ¹³⁄₂₅.

प्रश्न 5

बहुपद x² - x - 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Find the zeroes of the polynomial x² - x - 6.

अन्य प्रश्न (पृष्ठ से)

प्रश्न (i)

5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए और इसे 2 : 3 के अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों का माप लिखिए।
Draw a line segment AB of length 5 cm and divide it into the ratio 2 : 3. Write the measurement of both the parts.

प्रश्न (ii)

अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इस पत्ते के दहला होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A card is drawn from a well shuffled deck of 52 cards. Find the probability of it being a ten.

6) द्विघात समीकरण 4x² – 2x – 9 = 0 के मूलों की प्रकृति का पता लगाईये।

Find out the nature of roots of the quadratic equation 4x² – 2x – 9 = 0.

7) बिन्दुओं (0, 0) और (5, -3) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Find the co-ordinates of the mid-point of the line segment joining the points (0, 0) and (5, -3).

8) समतल पंख जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

The shadow of a tower on a level ground is increased by 40 meter, when the altitude of the Sun changes from 60° to 30°. Find the height of the tower.

9) 6 सेमी भुजा के नाप वाले एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2/3 गुनी हों।

Construct an equilateral triangle whose measurement of side is 6 cm and then construct another triangle whose sides are 2/3 times the corresponding sides of the given equilateral triangle.

10) 4 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर एक दूसरे के समांतर दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए।

Draw a pair of tangents to a circle of radius 4 cm, which are parallel to each other.

प्रश्न 1

यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वांगसम होते हैं।

प्रश्न 2

एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है तथा एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण 60° है। इस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3

एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है तथा इसके वृत्तीय सिरों की परिधियाँ (परिमाप) 8 सेमी और 6 सेमी हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4

दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 सेमी³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6

एक डिब्बे में 8 लाल कंचे, 5 सफेद कंचे और 2 हरे कंचे हैं। इसमें से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा:

1. लाल है?
2. हरा नहीं है?

SECTION - C

प्रश्न 7

ऐसे प्रथम 40 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य है।

Find the sum of the first 40 positive integers divisible by 6.

प्रश्न 8

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0) तथा (2, -4) हैं।

Find the area of triangle whose vertices are (2, 3), (-1, 0) and (2, -4).

प्रश्न 9

एक कक्षा के छात्रों के प्राप्तांक निम्न बंटन में दिए हुए हैं। इनका माध्यक ज्ञात कीजिए।

The marks of students of a class are given in following frequency distribution. Find their median.

प्रश्न 20

केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2∠OPQ है।

Two tangents TP and TQ are drawn to a circle with centre O from an external point T. Prove that ∠PTQ = 2∠OPQ.

प्रश्न 21

निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए :

x + y = 14
x – y = 4

Solve the following pair of linear equations graphically :

प्रश्न 22

सिद्ध कीजिए कि :

√( (1 – cosA) / (1 + cosA) ) = cosecA – cotA

Prove that :

अथवा / OR

सिद्ध कीजिए कि :

(sinA + cosecA)² + (cosA + secA)² = 7 + tan²A + cot²A

Prove that :

सिद्ध कीजिए कि / Prove that:

(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A

अथवा / OR

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए :

Find the mean of the following frequency distribution :