RBSE Class 10th 2026 MATHEMATICS-S-09 Previous Year Papers

माध्यमिक परीक्षा, 2026
SECONDARY EXAMINATION, 2026

गणित
MATHEMATICS

समय : 3 घण्टे 15 मिनट     पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES:

1. परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें ।
   Candidate must write first his/her Roll No. on the question paper compulsorily.
2. सभी प्रश्न हल करने अनिवार्य हैं ।
   All the questions are compulsory.
3. प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें ।
   Write the answer to each question in the given answer-book only.

No. of Printed Pages: 15  |  S-09-Mathematics

निर्देश / Instructions

खण्ड-अ (SECTION - A)

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

निम्न बहुविकल्पीय प्रश्न (i से xviii) के उत्तर का सही विकल्प चयन कर उत्तर-पुस्तिका में लिखिए।

Choose the correct option to answer the following multiple choice questions (i to xviii) and write in the answer-book.

1. i) संख्याओं 6 तथा 20 का HCF होगा
   HCF of numbers 6 and 20 will be

   • अ) 2
   • ब) 4
   • स) 8
   • द) 80

   सही उत्तर: ब) 4

   व्याख्या: 6 = 2 × 3, 20 = 2² × 5. HCF = 2¹ = 4.

2. ii) निम्न में से कौन-सी अपरिमेय संख्या है?
   Which of the following is an irrational number?

   • अ) 0.5
   • ब) 0.5
   • स) 0.5326....
   • द) 5

   सही उत्तर: स) 0.5326....

   व्याख्या: 0.5326.... एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव है, जो अपरिमेय संख्या है। 0.5 और 5 परिमेय संख्याएँ हैं।

3. iii) दिए गए ग्राफ y = P(x) के लिए, बहुपद P(x) के शून्यकों की संख्या होगी
   The number of zeroes of the polynomial P(x) for given graph y = P(x) will be

   y
   |
   |   /
   |  /
   | /
   |/_______ x
   |
   y'
   

   • अ) 0
   • ब) 1
   • स) 2
   • द) 3

   सही उत्तर: ब) 1

   व्याख्या: ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 1 है।

निम्नलिखित रैखिक समीकरण के युग्म के लिए y का मान होगा

4x + 6y = 5, 9x + 23y = 23

• A) -5
• B) 5
• C) 1
• D) 3

सही उत्तर: C) 1. समीकरणों को हल करने पर y = 1 प्राप्त होता है।

समान्तर श्रेढ़ी 3, 8 + 0, 8 + 20, .... के n पदों का योग होगा

• A) S_n = 3 + 3d
• B) S_n = a + (n-1)d
• C) S_n = 2a + (n-1)d
• D) S_n = n/2 [2a + (n-1)d]

सही उत्तर: D) S_n = n/2 [2a + (n-1)d]। यह समान्तर श्रेढ़ी के n पदों के योग का मानक सूत्र है।

यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 1 और 100 वाँ पद 20 हो, तो उसके 10 पदों का योगफल होगा

• A) 3
• B) 55
• C) 41
• D) 30

दी गई आकृति में यदि PQ || RS, ΔPOQ ~ ΔSOR और ∠R = 58°, ∠POR = 18°, तो ∠P का मान होगा

    P
    |
    | 18°
    O
   / \
  Q   R
  |   |
  |   | 58°
  S   |
  

• A) 70°
• B) 76°
• C) 60°
• D) 58°

प्रश्न 5

प्रश्न 6

प्रश्न 7

xi) यदि sin A = 3/5 हो, तो cos A का मान होगा

If sin A = 3/5, then the value of cos A will be

• A) 2/5
• B) 4/5
• C) 4/5
• D) 3/5

Explanation: Using the identity sin²A + cos²A = 1, we have (3/5)² + cos²A = 1 → 9/25 + cos²A = 1 → cos²A = 16/25 → cos A = 4/5 (since A is acute).

xii) भूमि पर खड़ी एक छड़ 1 मीटर लम्बी है। यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° हो, तो उसकी छाया की लम्बाई होगी

A 1 m long rod is standing vertically on the ground. If the angle of elevation of the Sun is 30°, then length of its shadow will be

• A) √3 m
• B) √3 m
• C) 2 m
• D) 1/√3 m

Explanation: tan 30° = height of rod / length of shadow → 1/√3 = 1 / shadow → shadow = √3 m.

xiii) 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में यदि एक लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 54 सेमी² हो, तो दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा

In the circle of radius 7 cm, if area of a minor sector is 54 cm², then area of major sector will be

• A) 54 cm²
• B) 100 cm²
• C) 100 cm²
• D) 54 cm²

Explanation: Area of circle = πr² = (22/7) × 7² = 154 cm². Major sector area = total area – minor sector area = 154 – 54 = 100 cm².

xiv) r त्रिज्या वाले गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा

Total surface area of a solid sphere of radius r will be

• A) 3πr²
• B) 4πr²
• C) 4πr²
• D) 4πr²

Explanation: The total surface area of a sphere is given by the formula 4πr².

xv) 1 सेमी भुजा वाले घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा

Total surface area of cube with side 1 cm will be

• A) 6 cm²
• B) 6 cm²
• C) 4 cm²
• D) 1 cm²

Explanation: Total surface area of a cube = 6 × (side)² = 6 × 1² = 6 cm².

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xvi) निम्न वितरण का बहुलक होगा

A) 6    B) 6    C) 10    D) 5

The mode of following frequency distribution will be

A) 6    B) 6    C) 10    D) 5

xvii) निम्न वितरण के मध्यक वर्ग की निम्न सीमा होगी

A) 18    B) 25    C) 20    D) 40

The lower limit of median class of following distribution will be

A) 18    B) 25    C) 20    D) 40

xviii) एक सिक्के के एक उछाल में चित्त आने की प्रायिकता होगी

A) 1    B) ½    C) 0    D) ⅓

The probability of getting head in a toss of a coin will be

A) 1    B) ½    C) 0    D) ⅓

2. निम्नलिखित प्रश्नों (i से vi) के रिक्त स्थानों की पूर्ति करते हुए उन्हें उत्तर-पुस्तिका में लिखिए

Fill in the blanks in the following questions (i to vi) and write them in the answer-book.

i) द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं, यदि ________

A quadratic equation ax² + bx + c = 0 has two equal real roots, if ________

ii) समान्तर श्रेढ़ी a, a + d, a + 2d, ...... का nवाँ पद a_n = ________

For A.P. a, a + d, a + 2d, ......, n^th term a_n = ________

खण्ड – (अ) : अति लघुत्तरात्मक प्रश्न (i से xii)

निर्देश: निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर अत्यंत संक्षिप्त रूप में दीजिए।

1. (m) दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

   उत्तर: समानुपाती (Proportional)

2. (iv) एक वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है।

   उत्तर: लंबवत (Perpendicular)

3. (v) cosec²60° – cot²60° = 1

   उत्तर: 1 (सर्वसमिका cosec²θ – cot²θ = 1 के अनुसार)

4. (vi) असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।

   उत्तर: 0 (Probability of impossible event is 0)

अति लघुत्तरात्मक प्रश्न (i से xii) – विस्तृत

5. (i) संख्या 4ⁿ पर विचार कीजिए, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है। क्या n का कोई ऐसा मान है, जिसके लिए 4ⁿ अंक शून्य (0) पर समाप्त होता हो?

   हल: किसी संख्या के अंत में शून्य होने के लिए उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों होने चाहिए। 4ⁿ = (2²)ⁿ = 2²ⁿ में केवल 2 का गुणनखंड है, 5 का नहीं। अतः n के किसी भी प्राकृत मान के लिए 4ⁿ कभी भी शून्य पर समाप्त नहीं होगा।
   उत्तर: नहीं, n का कोई ऐसा मान नहीं है।

6. (ii) संख्या 44 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

   हल: 44 = 2 × 22 = 2 × 2 × 11 = 2² × 11
   उत्तर: 44 = 2² × 11

7. (iii) यदि α तथा β द्विघात बहुपद P(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 के शून्यक हो, तो इसके शून्यकों व गुणांकों के बीच संबंधों को लिखिए।

   उत्तर:
   शून्यकों का योग (α + β) = –b/a
   शून्यकों का गुणनफल (αβ) = c/a

8. (iv) रैखिक समीकरण युग्म x + y = 5 और x – y = 1 का हल ज्ञात कीजिए।

   हल:
   समीकरण (1): x + y = 5
   समीकरण (2): x – y = 1
   दोनों को जोड़ने पर: 2x = 6 ⇒ x = 3
   x का मान (1) में रखने पर: 3 + y = 5 ⇒ y = 2
   उत्तर: x = 3, y = 2

9. (v) समांतर श्रेणी 1, 3, 5, ..... का अंतिम पद 9 हो तो श्रेणी में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

   हल:
   प्रथम पद a = 1, सार्वअंतर d = 3 – 1 = 2, अंतिम पद l = 9
   सूत्र: l = a + (n – 1)d
   9 = 1 + (n – 1) × 2
   8 = (n – 1) × 2
   n – 1 = 4 ⇒ n = 5
   उत्तर: पदों की संख्या = 5

10. (vi) यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA तथा PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° कोण पर झुकी हों, तो ∠POA का मान ज्ञात कीजिए।

    हल:
    PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं, अतः ∠OAP = ∠OBP = 90°
    चतुर्भुज OAPB में: ∠AOB + ∠OAP + ∠OBP + ∠APB = 360°
    ∠AOB + 90° + 90° + 80° = 360°
    ∠AOB = 100°
    त्रिभुज OAP और OBP सर्वांगसम हैं (RHS), अतः ∠POA = ∠POB = ∠AOB/2 = 50°
    उत्तर: ∠POA = 50°

ix) दो बिंदुओं (4, 4) तथा (7, 2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the distance between two points (4, 4) and (7, 2).

x) sinA cosecA + cosA secA का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of sinA cosecA + cosA secA.

xi) एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी त्रिज्या 7 cm हो।

Find the area of a quadrant of a circle, whose radius is 7 cm.

xii) त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप, केन्द्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

In a circle of radius 21 cm, an arc subtends an angle of 60° at the center. Find the length of arc.

xiii) नीचे दिया गया बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार को दर्शाता है। विद्यार्थियों के भार का बहुलक वर्ग लिखिए।

The distribution given below represents the weights of 30 students of a class. Write the modal class of weight of the students.

xiv) किसी कक्षा के 30 विद्यार्थियों के प्राप्तांक नीचे एक सारणी में दिए गये हैं। इन विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य ज्ञात कीजिए।

The marks obtained by 30 students of a class are presented in table below. Find the mean of the marks obtained by these students.

SECTION B

(लघुत्तरात्मक प्रश्न)
(Short Answer Type Questions)

1. प्रश्न 6. बहुपद \(6x^2 - 3\) के शून्यक ज्ञात कीजिए।
   Find the zeroes of the polynomial \(6x^2 - 3\).

   हल: बहुपद \(6x^2 - 3\) के शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं:

   \(6x^2 - 3 = 0\)

   \(6x^2 = 3\)

   \(x^2 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

   \(x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

   अतः बहुपद के शून्यक \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) और \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) हैं।

2. प्रश्न 7. "दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है।" समस्या को दो चर वाली रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त कीजिए।
   "The sum of a two-digit number and the number obtained by reversing the digits is 66." Express the problem as a linear equation in two variables.

   हल: माना कि दहाई का अंक = \(x\) और इकाई का अंक = \(y\) है।

   मूल संख्या = \(10x + y\)

   अंकों को उलटने पर बनी संख्या = \(10y + x\)

   प्रश्नानुसार, \((10x + y) + (10y + x) = 66\)

   \(11x + 11y = 66\)

   \(x + y = 6\)

   अतः अभीष्ट रैखिक समीकरण \(x + y = 6\) है।

3. प्रश्न 8. प्रथम 5 सम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
   Find the sum of first 5 even numbers.

   हल: प्रथम 5 सम संख्याएँ हैं: 2, 4, 6, 8, 10

   योगफल = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

   अतः प्रथम 5 सम संख्याओं का योगफल 30 है।

4. प्रश्न 9. नीचे दी गई आकृति में यदि \(DE \parallel BC\) है, तो \(AD\) ज्ञात कीजिए।

           A
          / \
         /   \
        D-----E
       /       \
      B---------C
         

   हल: चूँकि \(DE \parallel BC\) है, अतः थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार:

   \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

   माना \(AD = x\) है। यदि आकृति में \(DB = 2\) सेमी, \(AE = 3\) सेमी, और \(EC = 4\) सेमी दिया गया है, तो:

   \(\frac{x}{2} = \frac{3}{4}\)

   \(4x = 6\)

   \(x = 1.5\) सेमी

   अतः \(AD = 1.5\) सेमी है।

5. प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि दो संकेन्द्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिन्दु पर समद्विभाजित होती है।
   Prove that in two concentric circles, the chord of the larger circle, which touches the smaller circle, is bisected at the point of contact.

   हल: माना O दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों का केंद्र है। बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिंदु C पर स्पर्श करती है।

   रचना: OC को मिलाइए।

   उपपत्ति: चूँकि AB छोटे वृत्त को बिंदु C पर स्पर्श करती है, अतः OC, स्पर्श बिंदु C पर त्रिज्या है।

   ∴ OC ⟂ AB (स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है)

   अब, O से जीवा AB पर लंब OC डाला गया है।

   हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

   ∴ AC = CB

   अतः बड़े वृत्त की जीवा AB, छोटे वृत्त के स्पर्श बिंदु C पर समद्विभाजित होती है। (सिद्ध)

प्रश्न 9

दो बिन्दुओं P(4, 0) तथा Q(0, 6) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए तथा PQ की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।

Find the co-ordinates of the mid-point of two points P(4, 0) and Q(0, 6) and also find the length of PQ.

प्रश्न 10

\(\frac{2\sin^2 30^\circ + 4\tan 45^\circ}{3\cos^2 60^\circ}\) का मान ज्ञात कीजिए।

Find the value of: \(\frac{2\sin^2 30^\circ + 4\tan 45^\circ}{3\cos^2 60^\circ}\)

प्रश्न 11

5 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे में एक घोड़े को 5 मीटर लम्बी रस्सी से बांध दिया गया है। मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।

A horse is tied to a peg at one corner of a square shaped grass field of side 5 m by means of a 5 m long rope. Find the area of that part of the field in which the horse can graze.

प्रश्न 12

निम्नलिखित आँकड़ों का मध्यक ज्ञात कीजिए।

Find the median of the following data.

प्रश्न 13

एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद और 4 लाल कंचे हैं। यदि इस बक्से में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह कंचा :
i) सफेद है
ii) सफेद नहीं है

A box contains 3 blue, 2 white and 4 red marbles. If a marble is drawn at random from the box, then what is the probability that this marble is
i) White
ii) Not white

खण्ड-स / SECTION - C

(दीर्घ उत्तरीय प्रश्न) / (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 14 / Question 14

अथवा / OR

प्रश्न 15 / Question 15

अथवा / OR

प्रश्न 16 / Question 16

अथवा / OR

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प्रश्न 7 (i)

वायु में सल्फर डाईऑक्साइड (SO₂) की सांद्रता को ज्ञात करने के लिए एकत्र आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7 (ii) अथवा

निम्नलिखित वितरण का बहुलक ज्ञात कीजिए।

खण्ड – द (निबंधात्मक प्रश्न)

प्रश्न 8

एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 m अधिक लंबी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नयन कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4

एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3 मीटर की ऊँचाई पर हो, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

From a point on a bridge across a river the angles of depression of the banks on opposite sides of the river are 30° and 45° respectively. If the bridge is at a height of 3 m from the banks, then find the width of the river.

प्रश्न 9

14 cm भुजा वाले एक ठोस घनाकार ब्लॉक के एक फलक से अर्द्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार काटा गया है कि अर्द्धगोले का व्यास घन के किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

A hemispherical depression is cut out from one face of a solid cubical block of side 14 cm such that the diameter of the hemisphere is equal to the edge of the cube. Determine the surface area of the remaining solid.

अथवा / OR

एक कलमदान घनाभ के आकार की लकड़ी का बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 5 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान की लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

A pen stand made of wood is in the shape of a cuboid with four conical depressions to hold pens. The dimensions of the cuboid are 5 cm × 10 cm × 3.5 cm. The radius of each depression is 0.5 cm and depth is 1.4 cm. Find the volume of wood in the entire pen stand.

प्रश्न 20 (भाग 1)

एक पौधे की 30 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम mm में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है। पत्तियों की लम्बाई का बहुलक ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 20 (भाग 2) - वैकल्पिक

किसी फैक्टरी के 30 श्रमिकों के दैनिक खर्च के निम्नलिखित बंटन का माध्य पग-विचलन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।