RBSE Class 11th 2017 Physics-BJ-XI-3-2017 Previous Year Papers

परिभाषा: प्रक्षेप्य गति वह गति है जिसमें कोई वस्तु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के अंतर्गत क्षैतिज से किसी कोण पर फेंकी जाती है और वायु के प्रतिरोध को नगण्य माना जाता है।

उदाहरण: एक फुटबॉल को किक मारना, एक गेंद को फेंकना।

सिद्ध करना: 8H = gT²

माना प्रक्षेप्य को प्रारंभिक वेग u से क्षैतिज से θ कोण पर फेंका जाता है।

• अधिकतम ऊँचाई: H = (u² sin²θ) / (2g)
• उड़्डयन काल: T = (2u sinθ) / g

अब, T² = (4u² sin²θ) / g²

gT² = g × (4u² sin²θ) / g² = (4u² sin²θ) / g

8H = 8 × (u² sin²θ) / (2g) = (4u² sin²θ) / g

अतः, 8H = gT² सिद्ध होता है।

प्रथम समीकरण: v = u + at

त्वरण की परिभाषा से, a = (v - u) / t ⇒ v - u = at ⇒ v = u + at

द्वितीय समीकरण: s = ut + ½ at²

औसत वेग = (u + v)/2, विस्थापन s = औसत वेग × समय = [(u + v)/2] × t

v = u + at रखने पर, s = [(u + u + at)/2] × t = [(2u + at)/2] × t = ut + ½ at²

तृतीय समीकरण: v² = u² + 2as

v = u + at से t = (v - u)/a, s = ut + ½ at² में t रखने पर:

s = u[(v - u)/a] + ½ a[(v - u)/a]² = (uv - u²)/a + (v² - 2uv + u²)/(2a)

⇒ 2as = 2uv - 2u² + v² - 2uv + u² = v² - u² ⇒ v² = u² + 2as

द्वितीय नियम: किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर आरोपित बल के अनुक्रमानुपाती होती है और बल की दिशा में होती है। गणितीय रूप में, F = ma, जहाँ F बल, m द्रव्यमान और a त्वरण है।

तृतीय नियम: प्रत्येक क्रिया के बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। अर्थात, यदि वस्तु A, वस्तु B पर बल लगाती है, तो वस्तु B भी वस्तु A पर समान परिमाण का लेकिन विपरीत दिशा में बल लगाती है।

जड़त्व आघूर्ण: किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण उसके द्रव्यमान के वितरण का माप है जो घूर्णन गति में परिवर्तन का विरोध करता है। इसे I = Σ mᵢ rᵢ² द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ mᵢ द्रव्यमान अवयव है और rᵢ घूर्णन अक्ष से उसकी दूरी है।

भौतिक महत्व: जड़त्व आघूर्ण घूर्णन गति में वह भूमिका निभाता है जो रैखिक गति में द्रव्यमान निभाता है। यह बताता है कि किसी पिंड को घूर्णन में लाने या रोकने के लिए कितने बल आघूर्ण की आवश्यकता होती है।

माना तार की लंबाई L, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A है। तार को खींचने पर उत्पन्न प्रतिबल σ = F/A और विकृति ε = ΔL/L है।

यंग गुणांक Y = σ/ε = (F/A) / (ΔL/L) ⇒ F = (YA/L) ΔL

तार को ΔL लंबाई तक खींचने में किया गया कार्य:

dW = F d(ΔL) = (YA/L) ΔL d(ΔL)

समाकलन करने पर: W = ∫₀^{ΔL} (YA/L) ΔL d(ΔL) = (YA/L) [ΔL²/2]₀^{ΔL} = ½ (YA/L) (ΔL)²

या W = ½ × (बल) × (विस्तार) = ½ F ΔL

वीन-विस्थापन नियम: कृष्णिका विकिरण के स्पेक्ट्रम में, अधिकतम उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य (λₘ) कृष्णिका के परम ताप (T) के व्युत्क्रमानुपाती होता है। अर्थात, λₘ T = स्थिरांक (b), जहाँ b = 2.898 × 10⁻³ m·K है।

वक्र: विभिन्न तापों (T₁ < T₂ < T₃) पर, तरंगदैर्ध्य (λ) के साथ उत्सर्जित ऊर्जा (E) का वक्र नीचे दर्शाया गया है। प्रत्येक वक्र का शिखर अलग-अलग तरंगदैर्ध्य पर होता है, और ताप बढ़ने पर शिखर छोटी तरंगदैर्ध्य की ओर विस्थापित होता है।

E (ऊर्जा)
↑
|   T₃
|  / \
| /   \   T₂
|/     \ / \
|       /   \   T₁
|      /     \ / \
|     /       /   \
|    /       /     \
|   /       /       \
|  /       /         \
| /       /           \
|/_______/_____________\___→ λ (तरंगदैर्ध्य)

माना किसी घन की प्रारंभिक लंबाई L, आयतन V = L³ है। ताप में ΔT वृद्धि करने पर:

रैखिक प्रसार: L' = L(1 + αΔT), जहाँ α रैखिक प्रसार गुणांक है।

नया आयतन: V' = (L')³ = L³(1 + αΔT)³ = L³(1 + 3αΔT + 3α²ΔT² + α³ΔT³)

चूँकि α बहुत छोटा है, α² और α³ पदों को नगण्य माना जा सकता है।

V' ≈ L³(1 + 3αΔT) = V(1 + 3αΔT)

आयतन प्रसार गुणांक γ = (V' - V)/(VΔT) = [V(1 + 3αΔT) - V]/(VΔT) = 3α

अतः, γ = 3α सिद्ध होता है।

मेयर का सम्बन्ध: Cₚ - Cᵥ = R, जहाँ Cₚ स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा, Cᵥ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा, और R सार्वत्रिक गैस स्थिरांक है।

Cₚ > Cᵥ का कारण: स्थिर दाब पर गैस को गर्म करने पर, गैस फैलती है और बाह्य कार्य करती है। इसलिए, ताप को समान मात्रा में बढ़ाने के लिए अतिरिक्त ऊष्मा की आवश्यकता होती है जो बाह्य कार्य में उपयोग होती है। स्थिर आयतन पर कोई कार्य नहीं होता, इसलिए Cₚ, Cᵥ से बड़ा होता है।

गैस की कुल गतिज ऊर्जा: K = (3/2) nRT

यहाँ, n = 1 मोल, R = 8.314 J/mol·K, T = 27°C = 27 + 273 = 300 K

K = (3/2) × 1 × 8.314 × 300 = (3/2) × 2494.2 = 3741.3 J

अतः, 1 मोल नाइट्रोजन की कुल गतिज ऊर्जा 3741.3 J है।

डॉप्लर प्रभाव: जब तरंग स्रोत और प्रेक्षक के बीच आपेक्षिक गति होती है, तो प्रेक्षक द्वारा ग्रहण की गई तरंग की आवृत्ति, स्रोत की वास्तविक आवृत्ति से भिन्न प्रतीत होती है। इसे डॉप्लर प्रभाव कहते हैं।

अप्रगामी तरंग: जब दो समान आवृत्ति, समान आयाम और विपरीत दिशा में गतिमान तरंगें अध्यारोपित होती हैं, तो उत्पन्न तरंग को अप्रगामी तरंग कहते हैं। इसमें ऊर्जा का स्थानांतरण नहीं होता और निस्पंद एवं प्रस्पंद बनते हैं।

Proof: Consider two bodies of equal mass \( m \) moving with initial velocities \( u_1 \) and \( u_2 \) along the same straight line. After a head-on elastic collision, let their velocities be \( v_1 \) and \( v_2 \).

By conservation of linear momentum:

\[ m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2 \]

\[ u_1 + u_2 = v_1 + v_2 \quad \text{(1)} \]

By conservation of kinetic energy (elastic collision):

\[ \frac{1}{2} m u_1^2 + \frac{1}{2} m u_2^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 \]

\[ u_1^2 + u_2^2 = v_1^2 + v_2^2 \quad \text{(2)} \]

From (1): \( v_2 = u_1 + u_2 - v_1 \). Substitute in (2):

\[ u_1^2 + u_2^2 = v_1^2 + (u_1 + u_2 - v_1)^2 \]

\[ u_1^2 + u_2^2 = v_1^2 + u_1^2 + u_2^2 + v_1^2 + 2u_1u_2 - 2u_1v_1 - 2u_2v_1 \]

Simplifying: \( 0 = 2v_1^2 + 2u_1u_2 - 2u_1v_1 - 2u_2v_1 \)

\[ 0 = v_1^2 + u_1u_2 - u_1v_1 - u_2v_1 \]

\[ 0 = (v_1 - u_1)(v_1 - u_2) \]

Thus either \( v_1 = u_1 \) (no collision) or \( v_1 = u_2 \). For collision, \( v_1 = u_2 \). Then from (1): \( v_2 = u_1 \). Hence velocities are interchanged.

परिभाषा: दो सदिशों \( \vec{A} \) और \( \vec{B} \) का सदिश गुणनफल \( \vec{A} \times \vec{B} \) एक सदिश है जिसका परिमाण \( |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta \) (जहाँ \( \theta \) उनके बीच का कोण है) और दिशा दाएँ हाथ के नियम द्वारा दी जाती है, जो \( \vec{A} \) और \( \vec{B} \) दोनों के लंबवत होती है।

बल आघूर्ण: \( \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \)

\[ \vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 6 & -4 & 5 \end{vmatrix} \]

\[ \vec{\tau} = \hat{i}(1 \times 5 - (-3) \times (-4)) - \hat{j}(2 \times 5 - (-3) \times 6) + \hat{k}(2 \times (-4) - 1 \times 6) \]

\[ \vec{\tau} = \hat{i}(5 - 12) - \hat{j}(10 + 18) + \hat{k}(-8 - 6) \]

\[ \vec{\tau} = (-7\hat{i} - 28\hat{j} - 14\hat{k}) \, \text{Nm} \]

अतः बल आघूर्ण \( \vec{\tau} = -7\hat{i} - 28\hat{j} - 14\hat{k} \, \text{Nm} \) है।

व्युत्पत्ति: माना पृथ्वी का द्रव्यमान \( M \) और त्रिज्या \( R \) है। पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण \( g = \frac{GM}{R^2} \).

पृथ्वी की सतह से \( d \) गहराई पर, प्रभावी द्रव्यमान केवल त्रिज्या \( (R-d) \) के गोले का होता है। यदि पृथ्वी का घनत्व \( \rho \) समान है, तो:

\[ M' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (R-d)^3 \]

गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण \( g' = \frac{GM'}{(R-d)^2} = G \cdot \frac{4}{3}\pi \rho (R-d) \)

सतह पर \( g = \frac{GM}{R^2} = G \cdot \frac{4}{3}\pi \rho R \)

अतः \( g' = g \left(1 - \frac{d}{R}\right) \)

शून्य गुरुत्वीय त्वरण: \( g' = 0 \) तब \( 1 - \frac{d}{R} = 0 \) ⇒ \( d = R \). अर्थात पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण शून्य होता है।

द्रव की गोल बूंद: माना बूंद की त्रिज्या \( R \) और पृष्ठ तनाव \( T \) है। बूंद के अंदर दाब \( P_i \) और बाहर \( P_o \) है। दाब आधिक्य \( \Delta P = P_i - P_o \).

बूंद को दो भागों में काटने पर, पृष्ठ बल = \( T \times 2\pi R \) (दो सतहें नहीं, केवल एक सतह)। संतुलन के लिए:

\[ \Delta P \times \pi R^2 = T \times 2\pi R \]

\[ \Delta P = \frac{2T}{R} \]

साबुन के बुलबुले: बुलबुले की दो सतहें होती हैं (अंदर और बाहर)। पृष्ठ बल = \( T \times 2 \times 2\pi R = 4\pi R T \).

संतुलन: \( \Delta P \times \pi R^2 = 4\pi R T \)

\[ \Delta P = \frac{4T}{R} \]

दिया है: स्रोत ताप \( T_1 = 400 \, \text{K} \), शोषित उष्मा \( Q_1 = 400 \, \text{cal} \), विसर्जित उष्मा \( Q_2 = 80 \, \text{cal} \).

कार्नो इंजन की दक्षता: \( \eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{80}{400} = 1 - 0.2 = 0.8 \) या 80%.

सिंक का ताप \( T_2 \): \( \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1} \)

\[ \frac{80}{400} = \frac{T_2}{400} \]

\[ T_2 = 80 \, \text{K} \]

अतः सिंक का ताप 80 K और दक्षता 80% है।

ऊर्जा समविभाजन का नियम: किसी तापीय साम्यावस्था में गैस के अणुओं की कुल ऊर्जा प्रति स्वातंत्र्य कोटि पर समान रूप से वितरित होती है, और प्रति स्वातंत्र्य कोटि की औसत ऊर्जा \( \frac{1}{2} k_B T \) होती है, जहाँ \( k_B \) बोल्ट्ज़मान स्थिरांक और \( T \) परम ताप है।

मोलर ऊष्मा धारिताओं का अनुपात:

• एक परमाणुक गैस: स्वातंत्र्य कोटि = 3 (तीन स्थानांतरीय)। \( C_V = \frac{3}{2}R \), \( C_P = \frac{5}{2}R \), अनुपात \( \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3} \).
• द्वि परमाणुक गैस (कम ताप पर, कंपन नगण्य): स्वातंत्र्य कोटि = 5 (3 स्थानांतरीय + 2 घूर्णी)। \( C_V = \frac{5}{2}R \), \( C_P = \frac{7}{2}R \), अनुपात \( \gamma = \frac{7}{5} = 1.4 \).

अतः अनुपात \( \frac{\gamma_{\text{एक}}}{\gamma_{\text{द्वि}}} = \frac{5/3}{7/5} = \frac{25}{21} \).

दिया है: \( y = 10 \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \) मीटर।

\( t = 2 \) सेकण्ड पर:

विस्थापन: \( y = 10 \sin\left(2\pi \times 2 + \frac{\pi}{4}\right) = 10 \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{4}\right) = 10 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, \text{m} \)

वेग: \( v = \frac{dy}{dt} = 10 \times 2\pi \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right) = 20\pi \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \)

\( t = 2 \) पर: \( v = 20\pi \cos\left(4\pi + \frac{\pi}{4}\right) = 20\pi \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 20\pi \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\pi \, \text{m/s} \)

त्वरण: \( a = \frac{d^2y}{dt^2} = -10 \times (2\pi)^2 \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right) = -40\pi^2 \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \)

\( t = 2 \) पर: \( a = -40\pi^2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -40\pi^2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -20\sqrt{2}\pi^2 \, \text{m/s}^2 \)

अतः विस्थापन \( 5\sqrt{2} \) मीटर, वेग \( 10\sqrt{2}\pi \) मीटर/सेकण्ड, त्वरण \( -20\sqrt{2}\pi^2 \) मीटर/सेकण्ड²।

प्रमाण: माना पाइप की लम्बाई \( L \) है और ध्वनि की चाल \( v \) है।

खुला पाइप: दोनों सिरे खुले होते हैं, अतः दोनों सिरों पर प्रस्पंद बनते हैं। मूल आवृत्ति के लिए, पाइप में एक अर्ध तरंगदैर्ध्य होता है: \( L = \frac{\lambda_o}{2} \) ⇒ \( \lambda_o = 2L \).

मूल आवृत्ति \( f_o = \frac{v}{\lambda_o} = \frac{v}{2L} \).

बन्द पाइप: एक सिरा बन्द (निस्पंद) और दूसरा खुला (प्रस्पंद)

हल:

माना कि ऑर्गन पाइप की लम्बाई L है।

बंद ऑर्गन पाइप: इसमें एक सिरा बंद (निस्पंद) तथा दूसरा सिरा खुला (प्रस्पंद) होता है। मूल स्वरक (प्रथम हार्मोनिक) के लिए:

λ₁/4 = L ⇒ λ₁ = 4L

मूल आवृत्ति n₁ = v/λ₁ = v/(4L)

खुला ऑर्गन पाइप: इसमें दोनों सिरे खुले (प्रस्पंद) होते हैं। मूल स्वरक के लिए:

λ₂/2 = L ⇒ λ₂ = 2L

मूल आवृत्ति n₂ = v/λ₂ = v/(2L)

अतः n₂/n₁ = [v/(2L)] / [v/(4L)] = 2

⇒ n₂ = 2n₁

अतः खुले ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति, बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति की दुगुनी होती है।

चित्र: (बंद पाइप में λ/4 = L, खुले पाइप में λ/2 = L दर्शाते हुए तरंग आकृति)

(a) टोरीसेली का सिद्धान्त: किसी टंकी की दीवार में छेद से निकलने वाले द्रव का वेग उतना ही होता है जितना कि उस ऊँचाई तक स्वतंत्रतापूर्वक गिरने वाले पिंड का वेग होता है।

प्रवाह के वेग का सूत्र: माना टंकी में द्रव का स्तर h ऊँचाई पर है तथा छेद टंकी के तल पर है। बरनौली प्रमेय से:

P + ρgh + ½ρv² = स्थिरांक

द्रव के मुक्त पृष्ठ पर: P = P₀ (वायुमंडलीय दाब), v = 0 (लगभग), ऊँचाई = h

छेद पर: P = P₀, ऊँचाई = 0, वेग = v

⇒ P₀ + ρgh + 0 = P₀ + 0 + ½ρv²

⇒ ρgh = ½ρv²

⇒ v = √(2gh)

यही प्रवाह के वेग का सूत्र है।

(b) मैग्नस प्रभाव: जब कोई घूर्णन करती हुई गेंद वायु में गति करती है, तो उस पर एक पार्श्व बल लगता है जो गेंद के मार्ग को वक्रित कर देता है। यह बरनौली सिद्धांत के कारण होता है - घूर्णन के कारण गेंद के एक ओर वायु का वेग बढ़ जाता है (दाब कम) और दूसरी ओर घट जाता है (दाब अधिक), जिससे दाबांतर उत्पन्न होता है।

हार्टअटैक: हृदयाघात में हृदय की धमनियों में रुकावट (जैसे कोलेस्ट्रॉल जमा होना) के कारण रक्त प्रवाह बाधित होता है। बरनौली सिद्धांत के अनुसार, संकरे स्थान पर रक्त का वेग बढ़ जाता है और दाब कम हो जाता है, जिससे धमनी और अधिक संकरी हो सकती है या पूरी तरह बंद हो सकती है।

बरनौली का सिद्धान्त: किसी अश्यान, असंपीड्य द्रव के धारारेखीय प्रवाह में, द्रव के प्रति एकांक आयतन में दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा तथा स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।

बरनौली का समीकरण व्युत्पन्न: माना एक अश्यान, असंपीड्य द्रव धारारेखीय प्रवाह में है। द्रव के एक धारा-नलिका पर विचार करें जिसके एक सिरे A पर अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A₁, दाब P₁, वेग v₁ तथा ऊँचाई h₁ है तथा दूसरे सिरे B पर A₂, P₂, v₂, h₂ है।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय से: द्रव पर किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन + स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन

दाब के कारण कार्य = P₁A₁v₁Δt - P₂A₂v₂Δt = (P₁ - P₂)ΔV (जहाँ ΔV = A₁v₁Δt = A₂v₂Δt)

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = ½ρΔV(v₂² - v₁²)

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन = ρΔVg(h₂ - h₁)

अतः (P₁ - P₂)ΔV = ½ρΔV(v₂² - v₁²) + ρΔVg(h₂ - h₁)

⇒ P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂

⇒ P + ½ρv² + ρgh = स्थिरांक

यही बरनौली का समीकरण है।

चित्र: (धारा-नलिका दर्शाते हुए A और B बिंदुओं पर चिह्नित मापदंड)

उष्मागतिकी का प्रथम नियम: ऊर्जा को न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है, इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। गणितीय रूप: ΔQ = ΔU + ΔW, जहाँ ΔQ निकाय को दी गई ऊष्मा, ΔU आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि, ΔW निकाय द्वारा किया गया कार्य।

समतापी प्रक्रम: वह प्रक्रम जिसमें निकाय का ताप स्थिर रहता है।

उदाहरण: (1) किसी गैस को धीरे-धीरे संपीडित करना ताकि ताप स्थिर रहे। (2) बर्फ का पिघलना (स्थिर ताप पर)।

समतापी प्रक्रम में कार्य का सूत्र: समतापी प्रक्रम में PV = स्थिरांक (बॉयल का नियम)।

कार्य W = ∫PdV (प्रारंभिक आयतन V₁ से अंतिम आयतन V₂ तक)

समतापी प्रक्रम के लिए PV = nRT (T स्थिर)

⇒ P = nRT/V

⇒ W = ∫(nRT/V)dV = nRT ∫(dV/V) = nRT [ln V]

⇒ W = nRT ln(V₂/V₁)

या W = 2.303 nRT log(V₂/V₁)

यही समतापी प्रक्रम में किये गये कार्य का सूत्र है।

रुद्धोष्म प्रक्रम: वह प्रक्रम जिसमें निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता (ΔQ = 0)।

उदाहरण: (1) साइकिल पंप द्वारा हवा भरने पर पंप गर्म हो जाता है। (2) डीजल इंजन में संपीडन स्ट्रोक।

रुद्धोष्म प्रक्रम में कार्य का सूत्र: रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए PV^γ = स्थिरांक (K), जहाँ γ = Cp/Cv

कार्य W = ∫PdV (V₁ से V₂ तक)

P = K/V^γ

⇒ W = ∫(K/V^γ)dV = K ∫V^(-γ)dV

⇒ W = K [V^(1-γ)/(1-γ)] (V₁ से V₂)

⇒ W = [K/(1-γ)] [V₂^(1-γ) - V₁^(1-γ)]

चूँकि K = P₁V₁^γ = P₂V₂^γ

⇒ W = [1/(1-γ)] [P₂V₂^γ V₂^(1-γ) - P₁V₁^γ V₁^(1-γ)]

⇒ W = [1/(1-γ)] [P₂V₂ - P₁V₁]

या W = (P₁V₁ - P₂V₂)/(γ - 1)

यही रुद्धोष्म प्रक्रम में किये गये कार्य का सूत्र है।

हल: माना सरल आवर्त गति करने वाले कण का विस्थापन y = A sin(ωt + φ) है, जहाँ A आयाम, ω कोणीय वेग, t समय, φ प्रारंभिक कला है।

वेग v = dy/dt = Aω cos(ωt + φ)

गतिज ऊर्जा (K): K = ½mv² = ½m A²ω² cos²(ωt + φ)

चूँकि ω² = k/m (जहाँ k बल स्थिरांक), तो K = ½kA² cos²(ωt + φ)

या K = ½k(A² - y²) [क्योंकि cos² = 1 - sin² = 1 - y²/A²]

स्थितिज ऊर्जा (U): U = ½ky² = ½k A² sin²(ωt + φ)

कुल ऊर्जा (E): E = K + U = ½kA² [cos²(ωt + φ) + sin²(ωt + φ)] = ½kA²

अतः कुल ऊर्जा E = ½kA² = ½mω²A² = स्थिरांक।

यह यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण को दर्शाता है - गतिज और स्थितिज ऊर्जा परस्पर परिवर्तित होती रहती हैं, लेकिन कुल ऊर्जा नियत रहती है।

ऊर्जा-विस्थापन आलेख: (परवलयाकार: K = ½k(A² - y²) नीचे की ओर खुला, U = ½ky² ऊपर की ओर खुला, E = ½kA² क्षैतिज रेखा)

ऊर्जा-समय आलेख: (K और U ज्यावक्रीय रूप से बदलते हैं, E स्थिर रेखा)