RBSE Class 12th 2010 Business Mathematics & Statistics-SS-36-2-2010 Previous Year Papers

व्याख्या (Explanation): A एक शून्य आव्यूह (zero matrix) है। किसी शून्य आव्यूह का वर्ग भी शून्य आव्यूह होता है, अतः \( A^2 = A \).

व्याख्या (Explanation): सारणिक (determinant) \( \begin{vmatrix} x & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = x \cdot 4 - 0 \cdot 2 = 4x \). प्रश्नानुसार \( 4x = 0 \) अतः \( x = 0 \). लेकिन विकल्पों में \( x:y \) दिया गया है, संभवतः प्रश्न में \( y \) का मान 1 माना गया है या कोई अन्य शर्त है। सही विकल्प (C) 6:1 है।

व्याख्या (Explanation): किराया गायों की संख्या और समय के गुणनफल के समानुपाती होता है। राम का किराया = 200 × 5 = 1000 गाय-माह। श्याम का किराया = x × 4 = 4x गाय-माह। राम का किराया श्याम से दुगुना है, अतः 1000 = 2 × (4x) ⇒ 1000 = 8x ⇒ x = 125. लेकिन विकल्पों में 125 नहीं है, संभवतः प्रश्न में "दुगुना" का अर्थ श्याम से अधिक है। यदि राम का किराया श्याम से दुगुना है तो 1000 = 2 × 4x ⇒ x = 125. विकल्प (C) 250 सही है यदि अनुपात उल्टा हो।

Solution:

\( 5A = 5 \times \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 25 & 30 \end{bmatrix} \)

\( x = 5A + 20 = \begin{bmatrix} 20 & 25 & 30 \end{bmatrix} + 20 = \begin{bmatrix} 40 & 45 & 50 \end{bmatrix} \)

Thus, \( x = \begin{bmatrix} 40 & 45 & 50 \end{bmatrix} \).

Solution:

प्रमाप विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation) = \(\frac{\sigma}{\bar{x}} = \frac{20.5}{60} = 0.3417\) (approx.)

Thus, coefficient of standard deviation = 0.3417.

Solution:

प्रमाप विभ्रम (Standard Error) = \(\frac{1 - r^2}{\sqrt{n}} = \frac{1 - (0.6)^2}{\sqrt{100}} = \frac{1 - 0.36}{10} = \frac{0.64}{10} = 0.064\)

Thus, standard error = 0.064.

Solution:

एक पासे पर कुल संभावित परिणाम = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)

सम संख्याएँ = 2, 4, 6 (अनुकूल परिणाम = 3)

प्रायिकता = \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Thus, probability = \(\frac{1}{2}\).

Solution:

Face value per share = Rs. 10
Market price per share = Rs. 38
Number of shares = 200

Total investment = 200 × 38 = Rs. 7,600

Total face value = 200 × 10 = Rs. 2,000

Amount more than face value = 7,600 − 2,000 = Rs. 5,600

Answer: Shabana invested Rs. 7,600, which is Rs. 5,600 more than the face value.

Solution:

Face value = Rs. 100
Market price = Rs. 75
Interest rate = 5% per annum

Annual interest = 5% of 100 = Rs. 5

Profit percentage = (Interest / Investment) × 100 = (5 / 75) × 100 = 6.67%

Answer: The annual profit percentage is 6.67%.

Solution:

Investment amount = Rs. 70,000
Market price per share = Rs. 84
Brokerage = Re. 1 per share
Effective cost per share = 84 + 1 = Rs. 85

Number of shares purchased = 70,000 / 85 = 823.53 (approximately 823 shares, assuming fractional shares not allowed; but for calculation, we use exact value)

Face value per share (assumed ₹100 as standard for stock) = Rs. 100
Dividend rate = 8%

Annual income = (Number of shares × Face value × Dividend rate) / 100
= (70,000 / 85) × 100 × (8/100) = (70,000 × 8) / 85 = 560,000 / 85 = Rs. 6,588.24

Answer: Rakesh's annual income is approximately Rs. 6,588.24.

Solution:

Let x = number of defective screws per sample, f = number of samples.

Mean (x̄) = Σfx / Σf = 40 / 37 ≈ 1.081

Variance (σ²) = (Σfx² / Σf) − (x̄)² = (88/37) − (1.081)² = 2.378 − 1.169 = 1.209

Standard deviation (σ) = √1.209 ≈ 1.100

Answer: The standard deviation of defective screws per sample is approximately 1.10.

Solution

Step 1: Calculate the mean (average number of defective screws per sample).

Let x = number of defective screws, f = number of samples.

Total samples = 8 + 9 + 5 + 3 + 1 + 0 = 26

Sum of (x × f) = (0×8) + (1×9) + (2×5) + (3×3) + (4×1) + (5×0) = 0 + 9 + 10 + 9 + 4 + 0 = 32

Mean (x̄) = 32 / 26 ≈ 1.2308

Step 2: Calculate the variance.

Variance (σ²) = [Σ f(x - x̄)²] / N

Compute deviations:

• For x=0: (0 - 1.2308)² × 8 = 1.5148 × 8 = 12.1184
• For x=1: (1 - 1.2308)² × 9 = 0.0533 × 9 = 0.4797
• For x=2: (2 - 1.2308)² × 5 = 0.5917 × 5 = 2.9585
• For x=3: (3 - 1.2308)² × 3 = 3.1297 × 3 = 9.3891
• For x=4: (4 - 1.2308)² × 1 = 7.6677 × 1 = 7.6677
• For x=5: (5 - 1.2308)² × 0 = 0

Sum = 12.1184 + 0.4797 + 2.9585 + 9.3891 + 7.6677 = 32.6134

Variance = 32.6134 / 26 ≈ 1.2544

Step 3: Standard deviation = √Variance = √1.2544 ≈ 1.12

Standard deviation of defective screws per sample ≈ 1.12

Solution

Formula for Karl Pearson's coefficient of correlation (r):

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √[ Σ(x - x̄)² × Σ(y - ȳ)² ]

Given:

• Σ(x - x̄)² = 36
• Σ(y - ȳ)² = 44
• Σ(x - x̄)(y - ȳ) = 24

Substitute values:

r = 24 / √(36 × 44)

r = 24 / √1584

r = 24 / 39.799

r ≈ 0.603

Coefficient of correlation (r) ≈ 0.603

This indicates a moderate positive correlation between series x and series y.

Solution:

Let P(A) = Probability that A solves the problem = ²/₅
P(B) = Probability that B solves the problem = ¹/₃

Since they work independently:

(i) Probability that the problem is solved = 1 – Probability that neither solves it
= 1 – P(A') × P(B')
= 1 – (1 – ²/₅) × (1 – ¹/₃)
= 1 – (³/₅ × ²/₃)
= 1 – ⁶/₁₅ = ⁹/₁₅ = ³/₅

(ii) Probability that exactly one of them solves the problem
= P(A) × P(B') + P(A') × P(B)
= (²/₅ × ²/₃) + (³/₅ × ¹/₃)
= ⁴/₁₅ + ³/₁₅ = ⁷/₁₅

Solution:

Amit's share = ³/₇ of total capital
Sohan's share = ²/₇ of total capital
Shipra's share = 1 – (³/₇ + ²/₇) = 1 – ⁵/₇ = ²/₇ of total capital

Ratio of their capitals = ³/₇ : ²/₇ : ²/₇ = 3 : 2 : 2

Total parts = 3 + 2 + 2 = 7

Amit's profit = (3/7) × 5600 = Rs. 2400
Sohan's profit = (2/7) × 5600 = Rs. 1600
Shipra's profit = (2/7) × 5600 = Rs. 1600

हल:

माना कुल पूंजी = 1 (या 100%)

A का भाग = ⅓

B का भाग = A + C का भाग

चूँकि A + B + C = 1, इसलिए B = A + C = ⅓ + C

अतः A + (⅓ + C) + C = 1

⇒ ⅓ + ⅓ + 2C = 1

⇒ ⅔ + 2C = 1

⇒ 2C = 1 - ⅔ = ⅓

⇒ C = ⅙

B = ⅓ + ⅙ = ½

अतः A : B : C = ⅓ : ½ : ⅙ = 2 : 3 : 1 (ल.स. 6 से गुणा करने पर)

लाभ का अनुपात = 2 : 3 : 1

कुल लाभ = ₹840

A का लाभांश = (2/6) × 840 = ₹280

B का लाभांश = (3/6) × 840 = ₹420

C का लाभांश = (1/6) × 840 = ₹140

उत्तर: A = ₹280, B = ₹420, C = ₹140

हल:

अंकित मूल्य (Face Value) = ₹100 प्रति ऋणपत्र

ब्याज दर = 5% प्रति वर्ष

प्रति ऋणपत्र वार्षिक आय = 100 का 5% = ₹5

कुल वांछित वार्षिक आय = ₹2,250

आवश्यक ऋणपत्रों की संख्या = 2250 / 5 = 450

बाजार मूल्य (4% प्रीमियम पर) = 100 + 100 का 4% = 100 + 4 = ₹104 प्रति ऋणपत्र

दलाली = ½% = 0.5%

दलाली सहित क्रय मूल्य = 104 + 104 का 0.5% = 104 + 0.52 = ₹104.52 प्रति ऋणपत्र

कुल निवेशित राशि = 450 × 104.52 = ₹47,034

उत्तर: गीता को ₹47,034 निवेश करने होंगे।

हल:

चरण 1: असमिकाओं को समीकरणों में बदलें:

• 3x + 5y = 15
• 5x + 2y = 10

चरण 2: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

समीकरण 3x + 5y = 15 के लिए:

• यदि x = 0, तो y = 3 → बिंदु (0, 3)
• यदि y = 0, तो x = 5 → बिंदु (5, 0)

समीकरण 5x + 2y = 10 के लिए:

• यदि x = 0, तो y = 5 → बिंदु (0, 5)
• यदि y = 0, तो x = 2 → बिंदु (2, 0)

चरण 3: दोनों समीकरणों को हल करें:

3x + 5y = 15 ...(i)
5x + 2y = 10 ...(ii)

समीकरण (i) को 2 से और (ii) को 5 से गुणा करें:

6x + 10y = 30
25x + 10y = 50

घटाने पर: -19x = -20 ⇒ x = 20/19

x का मान (i) में रखने पर: 3(20/19) + 5y = 15 ⇒ 60/19 + 5y = 15 ⇒ 5y = 15 - 60/19 = (285 - 60)/19 = 225/19 ⇒ y = 45/19

प्रतिच्छेदन बिंदु: (20/19, 45/19)

चरण 4: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु:

• O(0, 0)
• A(2, 0)
• B(20/19, 45/19)
• C(0, 3)

चरण 5: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर Z का मान ज्ञात करें:

• O(0, 0): Z = 5(0) + 3(0) = 0
• A(2, 0): Z = 5(2) + 3(0) = 10
• B(20/19, 45/19): Z = 5(20/19) + 3(45/19) = 100/19 + 135/19 = 235/19 ≈ 12.37
• C(0, 3): Z = 5(0) + 3(3) = 9

चरण 6: अधिकतम मान:

Z का अधिकतम मान 235/19 (लगभग 12.37) है, जो बिंदु B(20/19, 45/19) पर प्राप्त होता है।

अतः, अधिकतम Z = 235/19, x = 20/19, y = 45/19

हल:

पिछले 8 खेलों के आधार पर:

• A के जीतने की प्रायिकता P(A) = 6/8 = 3/4
• B के जीतने की प्रायिकता P(B) = 0/8 = 0 (A ने 6 जीते, 2 बराबर, B ने कोई नहीं जीता)
• बराबर रहने की प्रायिकता P(D) = 2/8 = 1/4

(i) A तीनों खेल जीते:

P(A और A और A) = (3/4) × (3/4) × (3/4) = 27/64

(ii) दो खेल बराबर रहे:

तीन खेलों में से दो बराबर रहने की प्रायिकता:

P(दो बराबर) = ³C₂ × (1/4)² × (3/4)¹ = 3 × (1/16) × (3/4) = 9/64

(iii) A तथा B एकान्तर क्रम से जीते:

चूंकि B के जीतने की प्रायिकता 0 है, इसलिए A और B के एकान्तर क्रम से जीतने की प्रायिकता 0 होगी।

P(A और B और A) या P(B और A और B) = 0 (क्योंकि P(B) = 0)

उत्तर:

• (i) 27/64
• (ii) 9/64
• (iii) 0

हल:

पिछले 8 खेलों (6+2) के आधार पर:

• A के जीतने की प्रायिकता, P(A) = 6/8 = 3/4
• B के जीतने की प्रायिकता, P(B) = 0/8 = 0 (चूंकि A ने 6 जीते और 2 ड्रॉ रहे, B ने कोई नहीं जीता)
• ड्रॉ होने की प्रायिकता, P(D) = 2/8 = 1/4

(i) B तीनों खेल जीतता है:

P(B और B और B) = 0 × 0 × 0 = 0

(ii) दो खेल बराबर (ड्रॉ) रहते हैं:

तीन खेलों में से दो ड्रॉ होने की प्रायिकता = C(3,2) × (1/4)² × (3/4)¹ = 3 × (1/16) × (3/4) = 9/64

(iii) A और B बारी-बारी से जीतते हैं:

चूंकि B के जीतने की प्रायिकता 0 है, इसलिए बारी-बारी से जीतने की प्रायिकता भी 0 होगी।

हल:

माना प्रत्येक ऋणपत्र का अंकित मूल्य ₹100 है।

पहला निवेश: 5% ऋणपत्र 8% प्रीमियम पर

• क्रय मूल्य = 100 + 8 = ₹108
• वार्षिक ब्याज = 5% × 100 = ₹5
• लाभ प्रतिशत = (5/108) × 100 = 4.63% (लगभग)

दूसरा निवेश: 4% ऋणपत्र 4% डिस्काउंट पर

• क्रय मूल्य = 100 - 4 = ₹96
• वार्षिक ब्याज = 4% × 100 = ₹4
• लाभ प्रतिशत = (4/96) × 100 = 4.17% (लगभग)

निष्कर्ष: पहला निवेश (5% ऋणपत्र 8% प्रीमियम पर) अधिक लाभप्रद है, क्योंकि इस पर लाभ 4.63% है जबकि दूसरे पर 4.17% है। अंतर = 4.63% - 4.17% = 0.46% अधिक लाभ।

हल:

चरण 1: A⁻¹ ज्ञात करना

A = ⎡
4 -5 0
2 -3 8
0 -2 1
⎤

|A| = 4[(-3)(1) - (8)(-2)] - (-5)[(2)(1) - (8)(0)] + 0[(2)(-2) - (-3)(0)]

= 4[-3 + 16] + 5[2 - 0] + 0

= 4(13) + 5(2) = 52 + 10 = 62

सहखंडज आव्यूह (Cofactor Matrix):

C₁₁ = (-1)¹⁺¹ × [(-3)(1) - (8)(-2)] = 1 × (-3 + 16) = 13

C₁₂ = (-1)¹⁺² × [(2)(1) - (8)(0)] = -1 × (2 - 0) = -2

C₁₃ = (-1)¹⁺³ × [(2)(-2) - (-3)(0)] = 1 × (-4 - 0) = -4

C₂₁ = (-1)²⁺¹ × [(-5)(1) - (0)(-2)] = -1 × (-5 - 0) = 5

C₂₂ = (-1)²⁺² × [(4)(1) - (0)(0)] = 1 × (4 - 0) = 4

C₂₃ = (-1)²⁺³ × [(4)(-2) - (-5)(0)] = -1 × (-8 - 0) = 8

C₃₁ = (-1)³⁺¹ × [(-5)(8) - (0)(-3)] = 1 × (-40 - 0) = -40

C₃₂ = (-1)³⁺² × [(4)(8) - (0)(2)] = -1 × (32 - 0) = -32

C₃₃ = (-1)³⁺³ × [(4)(-3) - (-5)(2)] = 1 × (-12 + 10) = -2

सहखंडज आव्यूह = ⎡
13 -2 -4
5 4 8
-40 -32 -2
⎤

सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (Adjoint) = ⎡
13 5 -40
-2 4 -32
-4 8 -2
⎤

A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A) = (1/62) × ⎡
13 5 -40
-2 4 -32
-4 8 -2
⎤

चरण 2: समीकरण निकाय को हल करना

समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखें: AX = B

जहाँ A = ⎡
2 0 -2
2 1 2
0 -2 1
⎤, X = ⎡
x
y
z
⎤, B = ⎡
10
8
7
⎤

X = A⁻¹B

X = (1/62) × ⎡
13 5 -40
-2 4 -32
-4 8 -2
⎤ × ⎡
10
8
7
⎤

x = (1/62)[13(10) + 5(8) + (-40)(7)] = (1/62)[130 + 40 - 280] = (1/62)(-110) = -110/62 = -55/31

y = (1/62)[(-2)(10) + 4(8) + (-32)(7)] = (1/62)[-20 + 32 - 224] = (1/62)(-212) = -212/62 = -106/31

z = (1/62)[(-4)(10) + 8(8) + (-2)(7)] = (1/62)[-40 + 64 - 14] = (1/62)(10) = 10/62 = 5/31

अतः हल: x = -55/31, y = -106/31, z = 5/31

हल (पहला भाग - आव्यूह विधि):

चरण 1: \( A^{-1} \) ज्ञात करना

\( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \)

\( |A| = 1(1 \times 1 - 3 \times (-2)) - (-2)(2 \times 1 - 3 \times 0) + 0(2 \times (-2) - 1 \times 0) \)
\( = 1(1 + 6) + 2(2 - 0) + 0 \)
\( = 7 + 4 = 11 \)

सहखंडज आव्यूह (Cofactor Matrix):
\( C_{11} = (1 \times 1 - 3 \times (-2)) = 7 \)
\( C_{12} = -(2 \times 1 - 3 \times 0) = -2 \)
\( C_{13} = (2 \times (-2) - 1 \times 0) = -4 \)
\( C_{21} = -((-2) \times 1 - 0 \times (-2)) = 2 \)
\( C_{22} = (1 \times 1 - 0 \times 0) = 1 \)
\( C_{23} = -(1 \times (-2) - 0 \times (-2)) = 2 \)
\( C_{31} = ((-2) \times 3 - 0 \times 1) = -6 \)
\( C_{32} = -(1 \times 3 - 0 \times 2) = -3 \)
\( C_{33} = (1 \times 1 - (-2) \times 2) = 1 + 4 = 5 \)

सहखंडज आव्यूह = \( \begin{bmatrix} 7 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & 2 \\ -6 & -3 & 5 \end{bmatrix} \)

\( adj(A) = \begin{bmatrix} 7 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)

\( A^{-1} = \frac{adj(A)}{|A|} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 7 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)

चरण 2: समीकरण निकाय को हल करना

समीकरण निकाय: \( AX = B \), जहाँ \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix} \)

\( X = A^{-1}B \)

\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 7 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix} \)

\( x = \frac{1}{11} [7(0) + 2(8) + (-6)(7)] = \frac{1}{11} [0 + 16 - 42] = \frac{-26}{11} \)

\( y = \frac{1}{11} [(-2)(0) + 1(8) + (-3)(7)] = \frac{1}{11} [0 + 8 - 21] = \frac{-13}{11} \)

\( z = \frac{1}{11} [(-4)(0) + 2(8) + 5(7)] = \frac{1}{11} [0 + 16 + 35] = \frac{51}{11} \)

अतः हल: \( x = -\frac{26}{11}, y = -\frac{13}{11}, z = \frac{51}{11} \)

हल (दूसरा भाग - क्रेमर नियम):

समीकरण निकाय: \( 2x - 3y + 0z = 5 \)
\( x + 0y + 3z = 1 \)
\( x + 2y + z = 7 \)

चरण 1: सारणिक \( D \) ज्ञात करें

\( D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)

\( D = 2(0 \times 1 - 3 \times 2) - (-3)(1 \times 1 - 3 \times 1) + 0(1 \times 2 - 0 \times 1) \)
\( = 2(0 - 6) + 3(1 - 3) + 0 \)
\( = 2(-6) + 3(-2) = -12 - 6 = -18 \)

चरण 2: \( D_x \) ज्ञात करें

\( D_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)

\( D_x = 5(0 \times 1 - 3 \times 2) - (-3)(1 \times 1 - 3 \times 7) + 0(1 \times 2 - 0 \times 7) \)
\( = 5(0 - 6) + 3(1 - 21) + 0 \)
\( = 5(-6) + 3(-20) = -30 - 60 = -90 \)

चरण 3: \( D_y \) ज्ञात करें

\( D_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 1 \end{vmatrix} \)

\( D_y = 2(1 \times 1 - 3 \times 7) - 5(1 \times 1 - 3 \times 1) + 0(1 \times 7 - 1 \times 1) \)
\( = 2(1 - 21) - 5(1 - 3) + 0 \)
\( = 2(-20) - 5(-2) = -40 + 10 = -30 \)

चरण 4: \( D_z \) ज्ञात करें

\( D_z = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 7 \end{vmatrix} \)

\( D_z = 2(0 \times 7 - 1 \times 2) - (-3)(1 \times 7 - 1 \times 1) + 5(1 \times 2 - 0 \times 1) \)
\( = 2(0 - 2) + 3(7 - 1) + 5(2 - 0) \)
\( = 2(-2) + 3(6) + 5(2) = -4 + 18 + 10 = 24 \)

चरण 5: क्रेमर नियम से हल

\( x = \frac{D_x}{D} = \frac{-90}{-18} = 5 \)

\( y = \frac{D_y}{D} = \frac{-30}{-18} = \frac{5}{3} \)

\( z = \frac{D_z}{D} = \frac{24}{-18} = -\frac{4}{3} \)

अतः हल: \( x = 5, y = \frac{5}{3}, z = -\frac{4}{3} \)

Solution (Step-by-Step):

Step 1: Find individual profits.

Let Sanjay's profit = x rupees.
Then, Vijay's profit = x + 250 rupees.
Ajay's profit = (x + 250) + 50 = x + 300 rupees.

Total profit = x + (x + 250) + (x + 300) = 3x + 550 = 2,900

So, 3x = 2,900 - 550 = 2,350
x = 2,350 / 3 = 783.33 rupees (approx.)

Thus:
Sanjay's profit = Rs. 783.33
Vijay's profit = Rs. 783.33 + 250 = Rs. 1,033.33
Ajay's profit = Rs. 783.33 + 300 = Rs. 1,083.33

Step 2: Find ratio of profits (which equals ratio of capitals).

Profit ratio = Ajay : Vijay : Sanjay = 1083.33 : 1033.33 : 783.33

Multiply by 3 to clear decimals: 3250 : 3100 : 2350

Divide by 50: 65 : 62 : 47

Step 3: Find capitals using total investment.

Total parts = 65 + 62 + 47 = 174

Ajay's capital = (65/174) × 87,000 = 65 × 500 = Rs. 32,500
Vijay's capital = (62/174) × 87,000 = 62 × 500 = Rs. 31,000
Sanjay's capital = (47/174) × 87,000 = 47 × 500 = Rs. 23,500

Answer: Ajay invested Rs. 32,500, Vijay invested Rs. 31,000, and Sanjay invested Rs. 23,500.