RBSE Class 12th 2010 Physics-SS-40-1-2010 Previous Year Papers

सही उत्तर: (स) tan θ

व्याख्या: धारिता C = Q/V है। ग्राफ में, V बनाम Q के लिए, ढलान = V/Q = cot θ है। अतः धारिता C = Q/V = 1/(cot θ) = tan θ।

समविभव पृष्ठ (Equipotential Surface): वह पृष्ठ जिसके प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव का मान समान होता है, समविभव पृष्ठ कहलाता है। किसी बिंदु आवेश के कारण समविभव पृष्ठ संकेंद्रित गोले होते हैं।

चित्र: एक धनात्मक बिंदु आवेश (+q) के चारों ओर संकेंद्रित वृत्ताकार (गोलाकार) पृष्ठ बनाएं, जिन पर विभव V₁, V₂, V₃ आदि समान हों।

(चित्र में: केंद्र में +q आवेश, उसके चारों ओर तीन संकेंद्रित वृत्त, प्रत्येक पर V₁, V₂, V₃ अंकित)

हल: मीटर ब्रिज के सन्तुलन की स्थिति में, व्हीटस्टोन सेतु के सिद्धांत के अनुसार:

\(\frac{X}{R} = \frac{l_1}{l_2}\)

जहाँ \(l_1\) = बाएँ तार की लंबाई (AC), \(l_2\) = दाएँ तार की लंबाई (CB), और R = ज्ञात प्रतिरोध।

चित्र में दिए गए मानों के अनुसार (मान लीजिए AC = 40 cm, CB = 60 cm, R = 10 Ω):

\(\frac{X}{10} = \frac{40}{60}\)

\(X = 10 \times \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \, \Omega\)

अतः अज्ञात प्रतिरोध X का मान लगभग 6.67 Ω है।

उत्तर:

• (i) ध्रुव सामर्थ्य (Pole strength): जब चुम्बक को अक्ष के लम्बवत् काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग का ध्रुव सामर्थ्य अपरिवर्तित रहता है। क्योंकि ध्रुव सामर्थ्य चुम्बक के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर निर्भर करता है, जो काटने पर नहीं बदलता।
• (ii) चुम्बकीय आघूर्ण (Magnetic moment): चुम्बकीय आघूर्ण = ध्रुव सामर्थ्य × लम्बाई। चूँकि लम्बाई आधी हो जाती है, इसलिए चुम्बकीय आघूर्ण आधा हो जाता है।

हल: टोराइड की अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र शून्य होता है। टोराइड के अंदर चुम्बकीय क्षेत्र होता है, अक्ष पर नहीं। अतः अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र का मान 0 टेस्ला होगा।

नोट: यदि प्रश्न में त्रिज्या 0 सेमी दी गई है, तो यह एक विशेष स्थिति है। सामान्यतः टोराइड की अक्ष पर क्षेत्र शून्य होता है।

उत्तर:

• (i) स्पर्शज्या नियम (Tangent law): जब किसी चुम्बकीय क्षेत्र में किसी चुम्बकीय सुई को रखा जाता है, तो सुई पर लगने वाला बल आघूर्ण चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता और सुई के विक्षेपण कोण की स्पर्शज्या के समानुपाती होता है। गणितीय रूप: \( B = B_H \tan \theta \), जहाँ \( B_H \) पृथ्वी के क्षैतिज घटक की तीव्रता है।
• (ii) परिवर्तन गुणांक का मात्रक: स्पर्शज्या धारामापी के परिवर्तन गुणांक (K) का मात्रक एम्पियर (A) होता है।

व्याख्या: लेंज का नियम कहता है कि प्रेरित धारा की दिशा इस प्रकार होती है कि वह उस कारण का विरोध करे जिससे वह उत्पन्न हुई है। इसका अर्थ है कि प्रेरित धारा द्वारा उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र, चुम्बकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करता है। इस विरोध को दूर करने के लिए बाहरी कारक (जैसे चुम्बक को हिलाना) को कार्य करना पड़ता है। यह कार्य ही विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित होता है। यदि लेंज का नियम न होता, तो प्रेरित धारा फ्लक्स परिवर्तन को बढ़ाती, जिससे ऊर्जा बिना कार्य किए उत्पन्न होती, जो ऊर्जा संरक्षण नियम का उल्लंघन है। इस प्रकार लेंज का नियम ऊर्जा संरक्षण नियम की पुष्टि करता है।

हल:

अनन्त रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र: E = λ / (2πε₀ r)

जहाँ λ = 8.2 × 10^-19 C/m, r = 0.5 m, ε₀ = 8.85 × 10^-12 C²/Nm²

इलेक्ट्रॉन पर बल: F = eE = eλ / (2πε₀ r)

यह बल अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है: mv²/r = eλ / (2πε₀ r)

⇒ v² = eλ / (2πε₀ m)

मान रखने पर: v² = (1.6 × 10^-19 × 8.2 × 10^-19) / (2 × 3.14 × 8.85 × 10^-12 × 9 × 10^-31)

v² = (13.12 × 10^-38) / (500.4 × 10^-43) ≈ 2.62 × 10⁵

v ≈ √(2.62 × 10⁵) ≈ 511.9 m/s

अतः इलेक्ट्रॉन की चाल लगभग 512 m/s है।

हल:

माना A और B के बीच तुल्य प्रतिरोध R_eq है। चूँकि नेटवर्क अनन्त लम्बा है, पहले खंड के बाद शेष नेटवर्क का प्रतिरोध भी R_eq होगा।

परिपथ को इस प्रकार लिख सकते हैं: A — R₁ — (R₂ || R_eq) — B

अतः R_eq = R₁ + (R₂ × R_eq) / (R₂ + R_eq)

मान रखने पर: R_eq = 1 + (2 × R_eq) / (2 + R_eq)

⇒ R_eq - 1 = (2R_eq) / (2 + R_eq)

⇒ (R_eq - 1)(2 + R_eq) = 2R_eq

⇒ 2R_eq + R_eq² - 2 - R_eq = 2R_eq

⇒ R_eq² + R_eq - 2 = 2R_eq

⇒ R_eq² - R_eq - 2 = 0

⇒ (R_eq - 2)(R_eq + 1) = 0

चूँकि प्रतिरोध धनात्मक होता है, R_eq = 2 Ω

अतः बिन्दु A और B के बीच तुल्य प्रतिरोध 2 Ω है।

हल:

Mance विधि: इस विधि में सेल के आन्तरिक प्रतिरोध को ज्ञात करने के लिए एक व्हीटस्टोन सेतु का उपयोग किया जाता है। सेल को सेतु की एक भुजा में रखा जाता है और एक ज्ञात प्रतिरोध (R) को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है।

परिपथ चित्र:

[चित्र: एक व्हीटस्टोन सेतु जिसमें सेल E, प्रतिरोध R, गैल्वेनोमीटर G, और तार AB दिखाया गया है। सेल E को भुजा AC में रखा गया है।]

सूत्र स्थापना:

1. माना सेल का आन्तरिक प्रतिरोध r है।
2. जब सेल खुला होता है (कोई धारा नहीं), तो सेतु संतुलित होता है जब P/Q = R/S होता है, जहाँ P और Q सेतु की भुजाएँ हैं।
3. जब सेल बंद होता है (धारा प्रवाहित होती है), तो सेतु का संतुलन बदल जाता है।
4. नए संतुलन के लिए, P/Q = (R + r)/S होता है।
5. दोनों समीकरणों से, r = R (S'/S - 1) प्राप्त होता है, जहाँ S और S' क्रमशः खुले और बंद सेल के लिए सेतु की भुजा के मान हैं।

अतः सूत्र: r = R (S'/S - 1)

हल:

ताप-विद्युत (Thermo-current): जब दो भिन्न धातुओं के जोड़ों को अलग-अलग तापमान पर रखा जाता है, तो उनके बीच एक विद्युत वाहक बल (e.m.f.) उत्पन्न होता है, जिसके कारण परिपथ में धारा प्रवाहित होती है। इस धारा को ताप-विद्युत कहते हैं।

ताप-विद्युत वाहक बल का ताप के साथ परिवर्तन:

• ताप-विद्युत वाहक बल (E) तापमान अंतर (ΔT) के साथ रैखिक रूप से नहीं बदलता है।
• प्रारंभ में, जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, E बढ़ता है, लेकिन एक निश्चित तापमान (तटस्थ तापमान) के बाद यह घटने लगता है।
• अंततः, एक उच्च तापमान (उत्क्रमण तापमान) पर E शून्य हो जाता है और फिर दिशा बदल देता है।

ग्राफ:

[ग्राफ: x-अक्ष पर तापमान (T) और y-अक्ष पर ताप-विद्युत वाहक बल (E)। ग्राफ एक परवलयाकार वक्र है जो तटस्थ तापमान पर अधिकतम होता है और उत्क्रमण तापमान पर शून्य हो जाता है।]

हल:

चुम्बकीय क्षेत्र में, चुम्बकीय प्रेरण (B) और चुम्बकीय क्षेत्र तीव्रता (H) के बीच संबंध:

B = μH, जहाँ μ पदार्थ की चुम्बकीय पारगम्यता है।

आपेक्षिक चुम्बकीय पारगम्यता: μ_r = μ/μ₀, जहाँ μ₀ निर्वात की पारगम्यता है।

चुम्बकीय प्रवृत्ति (χ) को M = χH द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ M चुम्बकन है।

चुम्बकीय प्रेरण: B = μ₀(H + M) = μ₀(H + χH) = μ₀H(1 + χ)

लेकिन B = μH = μ₀μ_rH

अतः μ₀μ_rH = μ₀H(1 + χ)

अतः संबंध: μ_r = 1 + χ

हल:

परिनालिका का चित्र:

[चित्र: एक लम्बी परिनालिका जिसमें N फेरे, लंबाई l, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A दिखाया गया है।]

व्यंजक:

1. माना एक लम्बी परिनालिका में N फेरे हैं, इसकी लंबाई l है, और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल A है।
2. जब इसमें धारा I प्रवाहित होती है, तो उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र B = μ₀nI, जहाँ n = N/l प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
3. परिनालिका से गुजरने वाला चुम्बकीय फ्लक्स Φ = NBA = N(μ₀nI)A = μ₀nNIA
4. चूँकि n = N/l, तो Φ = μ₀(N/l)NIA = μ₀N²IA/l
5. स्वप्रेरकत्व L = Φ/I, अतः L = μ₀N²A/l

अतः लम्बी परिनालिका का स्वप्रेरकत्व: L = μ₀n²Al या L = μ₀N²A/l

हल (Solution):

(i) आवृत्ति (Frequency):

दिया है: V = 200 sin 57t cos 57t = 100 × 2 sin 57t cos 57t = 100 sin 114t (सूत्र sin 2θ = 2 sin θ cos θ का उपयोग करके)

अतः ω_v = 114 rad/s

धारा I = sin (314t + π/6) में ω_i = 314 rad/s

चूंकि वोल्टता और धारा की आवृत्ति समान होनी चाहिए, परंतु यहाँ ω_v ≠ ω_i है। प्रश्न में संभवतः वोल्टता का व्यंजक V = 200 sin 314t cos 314t होना चाहिए। मान लें कि ω = 314 rad/s है।

आवृत्ति f = ω / (2π) = 314 / (2 × 3.14) = 314 / 6.28 = 50 Hz

(ii) वर्ग माध्य मूल वोल्टता (RMS Voltage):

V = 100 sin 114t (या 100 sin 314t) ⇒ V₀ = 100 V

V_rms = V₀ / √2 = 100 / 1.414 = 70.7 V

(iii) प्रतिबाधा (Impedance):

I = sin (314t + π/6) ⇒ I₀ = 1 A

Z = V₀ / I₀ = 100 / 1 = 100 Ω

(iv) शक्ति गुणांक (Power Factor):

वोल्टता और धारा के बीच कलांतर (phase difference) φ = π/6 (धारा अग्रगामी है)

शक्ति गुणांक cos φ = cos (π/6) = √3/2 = 0.866

हल (Solution):

r.m.s. मान = √(धारा के वर्ग का माध्य)

I_rms = √[ (1/T) ∫₀ᵀ I² dt ]

I² = I₀² sin² ωt = I₀² (1 - cos 2ωt)/2

∫₀ᵀ I² dt = (I₀²/2) ∫₀ᵀ (1 - cos 2ωt) dt = (I₀²/2) [ t - (sin 2ωt)/(2ω) ]₀ᵀ

चूंकि T = 2π/ω, sin 2ωT = sin 4π = 0

∫₀ᵀ I² dt = (I₀²/2) × T = I₀²T/2

माध्य = (1/T) × (I₀²T/2) = I₀²/2

I_rms = √(I₀²/2) = I₀/√2

अतः ज्यावक्रीय धारा का r.m.s. मान I₀/√2 होता है।

हल (Solution):

संधारित्र का सिद्धान्त (Principle of Capacitor):

जब किसी विद्युतरोधी माध्यम (परावैद्युत) द्वारा पृथक किए गए दो चालकों को किसी बैटरी से जोड़ा जाता है, तो उन पर समान परिमाण के विपरीत आवेश संचित हो जाते हैं। एक चालक पर धन आवेश (+Q) और दूसरे पर ऋण आवेश (-Q) आ जाता है। इन चालकों के बीच विभवांतर (V) उत्पन्न होता है। संधारित्र की धारिता C = Q/V होती है। किसी चालक को दूसरे चालक के समीप लाने से उसकी धारिता बढ़ जाती है, यही संधारित्र का सिद्धान्त है।

गोलीय संधारित्र की धारिता (Capacity of Spherical Capacitor):

माना एक ठोस गोले (त्रिज्या a) को एक खोखले गोले (त्रिज्या b) से घेरा गया है, जहाँ b > a। दोनों के बीच परावैद्युतांक ε का माध्यम है।

आंतरिक गोले पर +Q आवेश देने पर, बाहरी गोले पर -Q आवेश प्रेरित होता है।

आंतरिक गोले पर विभव: V_a = Q/(4πε₀ε_r a) - Q/(4πε₀ε_r b) (बाहरी गोले के कारण)

बाहरी गोले पर विभव: V_b = Q/(4πε₀ε_r b) - Q/(4πε₀ε_r b) = 0 (यदि बाहरी गोला भू-संपर्कित है)

या यदि बाहरी गोला पृथक है, तो विभवांतर:

V = V_a - V_b = [Q/(4πε₀ε_r a) - Q/(4πε₀ε_r b)] - 0 = Q/(4πε₀ε_r) [1/a - 1/b]

धारिता C = Q/V = 4πε₀ε_r / [1/a - 1/b] = 4πε₀ε_r ab / (b - a)

चित्र (Diagram):

एक छोटा ठोस गोला (त्रिज्या a) और उसके चारों ओर एक बड़ा खोखला गोला (त्रिज्या b)। दोनों संकेंद्रित हैं।

ग्राफ (Graph):

गोलीय चालक की धारिता C = 4πε₀ε_r r (एकल गोले के लिए) होती है। अतः C ∝ r। ग्राफ एक सरल रेखा होगी जो मूल बिंदु से गुजरती है, जिसमें x-अक्ष पर त्रिज्या (r) और y-अक्ष पर धारिता (C) होती है।

Solution (Part 1: Electric Dipole and Field on Equatorial Line)

विद्युत द्विध्रुव की परिभाषा: जब दो समान परिमाण के विपरीत आवेश (+q और -q) एक-दूसरे से अल्प दूरी (2a) पर स्थित होते हैं, तो इस निकाय को विद्युत द्विध्रुव कहते हैं। द्विध्रुव आघूर्ण p = q × 2a होता है, जो ऋणात्मक से धनात्मक आवेश की ओर दिष्ट होता है।

निरक्ष रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक:

माना द्विध्रुव के केंद्र O से निरक्ष रेखा पर r दूरी पर एक बिन्दु P है। +q आवेश के कारण P पर विद्युत क्षेत्र E₊ = kq/(r² + a²) (दिशा +q से P की ओर) और -q आवेश के कारण E_- = kq/(r² + a²) (दिशा P से -q की ओर) होता है। ये दोनों क्षेत्र परिमाण में समान हैं। इनके अभिलंब घटक निरस्त हो जाते हैं और अक्षीय घटक जुड़ जाते हैं।

परिणामी क्षेत्र E = 2 × (kq/(r² + a²)) × cosθ, जहाँ cosθ = a/√(r² + a²)

अतः E = (2kqa)/(r² + a²)^3/2

यदि r >> a, तो E = (2kqa)/r³ = (kp)/r³ (दिशा -p के अनुदिश, अर्थात् ऋणात्मक आवेश से धनात्मक आवेश की ओर)।

चित्र: (आवश्यक चित्र में द्विध्रुव को +q और -q के साथ दिखाएँ, निरक्ष रेखा पर बिन्दु P, और E₊, E_- तथा परिणामी E के घटक दर्शाएँ।)

यदि विभव नियत हो: यदि किसी क्षेत्र में विभव नियत है, तो विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य होगी, क्योंकि E = -dV/dr, और नियत विभव के लिए dV/dr = 0।

Solution (Part 2: Electric Potential due to Dipole)

विद्युत विभव की परिभाषा: किसी बिन्दु पर विद्युत विभव वह कार्य है जो एकांक धनात्मक आवेश को अनन्त से उस बिन्दु तक लाने में किया जाता है।

द्विध्रुव के कारण बिन्दु (r, θ) पर विभव का व्यंजक:

माना द्विध्रुव के केंद्र O से r दूरी पर एक बिन्दु P है, जो द्विध्रुव अक्ष से θ कोण बनाता है। +q आवेश से P की दूरी r₁ ≈ r - a cosθ और -q से दूरी r₂ ≈ r + a cosθ (लगभग)।

P पर कुल विभव V = kq/r₁ - kq/r₂ = kq[1/(r - a cosθ) - 1/(r + a cosθ)]

V = kq[(r + a cosθ - r + a cosθ)/(r² - a² cos²θ)] = kq[2a cosθ/(r² - a² cos²θ)]

यदि r >> a, तो V = (k p cosθ)/r², जहाँ p = 2aq द्विध्रुव आघूर्ण है।

निरक्ष रेखा पर विभव: निरक्ष रेखा पर θ = 90° होता है, अतः cos90° = 0, इसलिए V = 0। अतः द्विध्रुव की निरक्ष रेखा पर विद्युत विभव शून्य होता है।

चित्र: (आवश्यक चित्र में द्विध्रुव, बिन्दु P, दूरी r, कोण θ, और r₁, r₂ दर्शाएँ।)

बायो-सावर्ट नियम का कथन

इस नियम के अनुसार, किसी धारावाही अल्पांश Idl के कारण किसी बिन्दु P पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र dB का परिमाण निम्नलिखित बातों पर निर्भर करता है:

• dB ∝ I (धारा)
• dB ∝ dl (अल्पांश की लम्बाई)
• dB ∝ sinθ (जहाँ θ, dl और स्थिति सदिश r के बीच का कोण है)
• dB ∝ 1/r² (दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती)

अतः गणितीय रूप में: dB = (μ₀/4π) × (Idl sinθ) / r²

जहाँ μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Tm/A (निर्वात की चुम्बकशीलता) है।

वृत्ताकार धारावाही कुण्डली के अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र का व्यंजक

चित्र: मान लीजिए एक वृत्ताकार कुण्डली जिसकी त्रिज्या R है तथा इसमें I धारा प्रवाहित हो रही है। कुण्डली के केंद्र O से x दूरी पर अक्ष पर एक बिन्दु P है।

व्युत्पत्ति:

1. कुण्डली के एक अल्पांश dl पर विचार करें। इस अल्पांश से बिन्दु P की दूरी r = √(R² + x²) है।
2. बायो-सावर्ट नियम से, इस अल्पांश के कारण P पर चुम्बकीय क्षेत्र:
   dB = (μ₀/4π) × (I dl) / r² (यहाँ θ = 90° है, अतः sin90° = 1)
3. dB की दिशा dl और r दोनों के लम्बवत् होती है। इसे दो घटकों में वियोजित करते हैं:
   • अक्ष के अनुदिश घटक: dB cosφ
   • अक्ष के लम्बवत् घटक: dB sinφ
   लम्बवत् घटक सममिति के कारण निरस्त हो जाते हैं।
4. अतः कुल चुम्बकीय क्षेत्र केवल अक्षीय घटकों का योग होगा:
   B = ∫ dB cosφ = ∫ (μ₀/4π) × (I dl / r²) × (R/r)
5. यहाँ cosφ = R/r तथा r = √(R² + x²) है।
6. समाकलन करने पर:
   B = (μ₀ I R / 4π r³) × ∫ dl = (μ₀ I R / 4π r³) × (2πR)
7. अतः B = (μ₀ I R²) / [2 (R² + x²)^(3/2)]

यह वृत्ताकार धारावाही कुण्डली के अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र का व्यंजक है।

विशेष स्थिति: कुण्डली के केंद्र पर (x = 0): B = μ₀ I / (2R)

ऐम्पियर नियम का कथन

इस नियम के अनुसार, किसी बन्द पथ (ऐम्पियरी पाश) के परितः चुम्बकीय क्षेत्र B का रेखीय समाकलन, उस पाश से गुजरने वाली कुल धारा का μ₀ गुना होता है।

गणितीय रूप में: ∮ B · dl = μ₀ I_enclosed

लम्बे ठोस बेलनाकार चालक के कारण चुम्बकीय क्षेत्र

चित्र: मान लीजिए एक लम्बा ठोस बेलनाकार चालक जिसकी त्रिज्या R है तथा इसमें I धारा प्रवाहित हो रही है।

(i) चालक के बाहर स्थित बिन्दु (r > R):

1. बिन्दु P से r त्रिज्या का एक ऐम्पियरी पाश (वृत्ताकार) खींचते हैं।
2. सममिति के कारण, पाश के प्रत्येक बिन्दु पर B का मान समान तथा स्पर्शरेखीय होता है।
3. ऐम्पियर नियम से: ∮ B · dl = B × 2πr = μ₀ I (पाश से गुजरने वाली धारा = I)
4. अतः B = μ₀ I / (2πr) (बाहर के लिए)

(ii) चालक के अन्दर स्थित बिन्दु (r < R):

1. बिन्दु P से r त्रिज्या का ऐम्पियरी पाश खींचते हैं।
2. इस पाश से गुजरने वाली धारा: I_enclosed = I × (πr² / πR²) = I × (r²/R²)
3. ऐम्पियर नियम से: B × 2πr = μ₀ × I × (r²/R²)
4. अतः B = (μ₀ I r) / (2πR²) (अन्दर के लिए)

निष्कर्ष:

• चालक के बाहर (r > R): B ∝ 1/r
• चालक के अन्दर (r < R): B ∝ r
• सतह पर (r = R): B = μ₀ I / (2πR)