-
यदि एक रेखा निर्देशी अक्षों के साथ क्रमश: α, β, γ कोण बनाती है, तो cos 2α + cos 2β + cos 2γ का मान ज्ञात कीजिए।
If a straight line makes angles α, β and γ respectively with the coordinate axes, then find the value of cos 2α + cos 2β + cos 2γ.
Solution:
We know that for a line, direction cosines satisfy: cos²α + cos²β + cos²γ = 1.
Now, cos 2α = 2cos²α – 1, cos 2β = 2cos²β – 1, cos 2γ = 2cos²γ – 1.
Adding: cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2(cos²α + cos²β + cos²γ) – 3 = 2(1) – 3 = –1.
Answer: –1
-
बिन्दु (–1, 3, 5) से जाने वाली उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x – y + 2z = 5, 3x + y + z = 6 के समांतर है।
Find the equation of the straight line passing through the point (–1, 3, 5) and parallel to the line x – y + 2z = 5, 3x + y + z = 6.
Solution:
Direction ratios of the given line are given by the cross product of normals of the two planes:
Normal vectors: n₁ = (1, –1, 2), n₂ = (3, 1, 1).
Direction ratios = n₁ × n₂ = |i j k; 1 –1 2; 3 1 1| = i(–1×1 – 2×1) – j(1×1 – 2×3) + k(1×1 – (–1)×3) = i(–1 – 2) – j(1 – 6) + k(1 + 3) = (–3, 5, 4).
Thus, the required line through (–1, 3, 5) with direction ratios (–3, 5, 4) is:
(x + 1)/–3 = (y – 3)/5 = (z – 5)/4.
-
बूलीय बीजगणित में सिद्ध कीजिए, यदि q·p = r·p, q·p' = r·p' तो q = r.
In Boolean algebra, prove that if q·p = r·p, q·p' = r·p' then q = r.
Proof:
Given: q·p = r·p and q·p' = r·p'.
Now, q = q·1 = q·(p + p') = q·p + q·p' = r·p + r·p' = r·(p + p') = r·1 = r.
Hence, q = r. (Proved)
-
यदि दो इकाई सदिशों का अन्तर भी इकाई सदिश हो, तो उनके मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
If the difference of two unit vectors is also a unit vector, then find the angle between them.
Solution:
Let â and b̂ be two unit vectors. Given |â – b̂| = 1.
We know |â – b̂|² = |â|² + |b̂|² – 2â·b̂ = 1 + 1 – 2cosθ = 2 – 2cosθ.
Given |â – b̂| = 1, so 1 = 2 – 2cosθ ⇒ 2cosθ = 1 ⇒ cosθ = 1/2 ⇒ θ = 60° or π/3.
Answer: 60° (π/3 radians)
-
एक समान त्वरण से गतिमान कण अपनी गति के 11वें सेकण्ड में 720 सेमी और 15वें सेकण्ड में 960 सेमी दूरी तय करता है। इसका प्रारम्भिक वेग व त्वरण ज्ञात कीजिए।
A particle, moving with a uniform acceleration describes a distance of 720 cm in 11th sec and a distance of 960 cm in 15th sec. Find the initial velocity and acceleration of the particle.
Solution:
Distance covered in nth second: Sn = u + (a/2)(2n – 1).
For n = 11: u + (a/2)(21) = 720 ⇒ u + (21a/2) = 720 …(i)
For n = 15: u + (a/2)(29) = 960 ⇒ u + (29a/2) = 960 …(ii)
Subtract (i) from (ii): (29a/2 – 21a/2) = 960 – 720 ⇒ (8a/2) = 240 ⇒ 4a = 240 ⇒ a = 60 cm/s².
From (i): u + (21×60)/2 = 720 ⇒ u + 630 = 720 ⇒ u = 90 cm/s.
Answer: Initial velocity = 90 cm/s, acceleration = 60 cm/s².
-
समुच्चय A = {x : x < 0, x ∈ N} में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि xRy ⇔ x + 2y = 0। R⁻¹ को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में प्रदर्शित कीजिए तथा R⁻¹ का परिसर भी ज्ञात कीजिए।
A relation R in a set A = {x : x < 0, x ∈ N} is defined as xRy ⇔ x + 2y = 0, then express R⁻¹ in the form of a set of ordered pairs and also find the range of R⁻¹.
Solution:
Set A = {x : x < 0, x ∈ N} = {–1, –2, –3, –4, …}.
Condition: x + 2y = 0 ⇒ x = –2y. Since x ∈ A (negative natural numbers), y must be positive natural numbers.
For y = 1, x = –2; y = 2, x = –4; y = 3, x = –6; etc.
Thus, R = {(–2, 1), (–4, 2), (–6, 3), (–8, 4), …}.
Therefore, R⁻¹ = {(1, –2), (2, –4), (3, –6), (4, –8), …}.
Range of R⁻¹ = {–2, –4, –6, –8, …} = {x : x is a negative even integer}.
-
यदि f : R → R, f(x) = 2x – 3 और g : R → R, g(x) = (x + 3)/2, तो सिद्ध कीजिए कि fog = gof = IR.
If f : R → R, f(x) = 2x – 3 and g : R → R, g(x) = (x + 3)/2, then prove that fog = gof = IR.
Proof:
For any x ∈ R:
fog(x) = f(g(x)) = f((x+3)/2) = 2((x+3)/2) – 3 = x + 3 – 3 = x.
gof(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = ((2x – 3) + 3)/2 = (2x)/2 = x.
Thus, fog(x) = gof(x) = x = IR(x) for all x ∈ R.
Hence, fog = gof = IR. (Proved)
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यदि a + ib = (c + i)/(c – i), जहाँ c वास्तविक संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि (i) a² + b² = 1 (ii) b/a = 2c/(c² – 1).
If a + ib = (c + i)/(c – i), where c is a real number, then prove that (i) a² + b² = 1 (ii) b/a = 2c/(c² – 1).
Proof:
Given: a + ib = (c + i)/(c – i).
Taking modulus: |a + ib| = |c + i|/|c – i| = √(c² + 1)/√(c² + 1) = 1.
Thus, √(a² + b²) = 1 ⇒ a² + b² = 1. (i) Proved.
Now, rationalizing: (c + i)/(c – i) = (c + i)²/(c² + 1) = (c² – 1 + 2ci)/(c² + 1).
So, a = (c² – 1)/(c² + 1), b = 2c/(c² + 1).
Therefore, b/a = [2c/(c² + 1)] / [(c² – 1)/(c² + 1)] = 2c/(c² – 1). (ii) Proved.
-
यदि tan(θ + iφ) = cos α + i sin α, तो सिद्ध कीजिए कि θ = nπ/2 + π/4, n ∈ N.
If tan(θ + iφ) = cos α + i sin α, then prove that θ = nπ/2 + π/4, n ∈ N.
Proof:
Given: tan(θ + iφ) = cos α + i sin α = e^(iα).
We know tan(θ + iφ) = (tan θ + i tanh φ)/(1 – i tan θ tanh φ).
Equating to e^(iα) and comparing real and imaginary parts leads to tan θ = 1.
Thus, θ = π/4 + nπ/2, n ∈ N. (Proved)
RBSE Class 12th 2011 Mathematics-SS-15-1-2011 Previous Year Papers
Mathematics-SS-15-1-2011 from the 2011 exam year is part of the Class 12th previous year papers archive on RBSE Solution. Many learners start here after finishing the textbook to see how questions were actually framed on the Rajasthan Board of Secondary Education (RBSE) paper.
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 12th |
| Exam year | 2011 |
| Subject | Mathematics-SS-15-1-2011 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 12th 2011 Mathematics-SS-15-1-2011
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Rajasthan Board Class 12th Mathematics-SS-15-1-2011 2011 solved Previous Year Question Papers
उच्च माध्यमिक परीक्षा, 2011
SENIOR SECONDARY EXAMINATION, 2011
वैकल्पिक समूह I एवं II — कला व विज्ञान वर्ग
( OPTIONAL GROUPS I & II — HUMANITIES AND SCIENCE )
गणित — प्रथम पत्र
( MATHEMATICS — First Paper )
समय : 2 घण्टे 45 मिनट
पूर्णांक : 60
परीक्षार्थियों के लिए आवश्यक निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS FOR EXAMINEES :
- परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें ।
Candidate must write first his / her Roll No. on the question paper compulsorily. - प्रश्न पत्र के हिन्दी व अंग्रेजी रूपान्तर में किसी प्रकार की त्रुटि / अन्तर / विरोधाभास होने पर हिन्दी भाषा के प्रश्न को सही मानें ।
If there is any error / difference / contradiction in Hindi and English versions of the Question paper, the question of Hindi version should be treated valid. - सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं । प्रश्न क्रमांक 2, 23 व 24 में आन्तरिक विकल्प हैं ।
All questions are compulsory. Question Nos. 2, 23 and 24 have internal choice. - प्रश्न क्रमांक 2 से 7 तक अति लघूत्तरात्मक प्रश्न हैं ।
Question Nos. 2 to 7 are Very Short Answer type. - प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें ।
Write the answer of each question in answer-book only.
No. of Questions — 24
No. of Printed Pages — 7
SS—528
निर्देश / Instructions
6. जिस प्रश्न के एक से अधिक समान अंक वाले भाग हैं, उन सभी भागों का हल एक साथ सतत् लिखें।
For questions having more than one part carrying similar marks, the answers of those parts are to be written together in continuity.
7. अपनी उत्तर-पुस्तिका के पृष्ठों के दोनों ओर लिखिए। यदि कोई रफ़ कार्य करना हो, तो उत्तर-पुस्तिका के अंतिम पृष्ठों पर करें और इन्हें तिरछी लाइनों से काटकर उन पर ‘Rough Work’ लिख दें।
Write on both sides of the pages of your answer-book. If any rough work is to be done, do it on last pages of the answer-book and cross with slant lines and write ‘Rough Work’ on them.
8. प्रश्न क्रमांक 1 के चार भाग (i, ii, iii और iv) हैं। प्रत्येक भाग के उत्तर के चार विकल्प (क, ख, ग, घ) हैं। सही विकल्प का उत्तराक्षर उत्तर-पुस्तिका में निम्नानुसार तालिका बनाकर लिखें:
There are four parts (i, ii, iii and iv) in Question No. 1. Each part has four alternatives A, B, C and D. Write the letter of the correct alternative in the answer-book at a place by making a table as mentioned below:
| प्रश्न क्रमांक Question No. |
सही उत्तर का क्रमाक्षर Correct letter of the Answer |
|---|---|
| 1. (i) | |
| 1. (ii) | |
| 1. (iii) | |
| 1. (iv) |
प्रश्न 1 (i) / Question 1 (i)
P(2, 2, 3) तथा Q(-4, -2, 1) के मध्य बिन्दु से गुजरने वाले तथा रेखा PQ के लम्बवत् समतल का समीकरण है:
The equation of the plane passing through the mid-point of P(2, 2, 3) and Q(-4, -2, 1) and perpendicular to the line PQ is:
- 2x + 6y + 4z + 7 = 0
- 3(x + 1) + (y + 5) + (z - 2) = 0
- 3x + y + z = 5
- (2 + (-4))(x + 1) + (2 + (-2))(y + 5) + (3 + 1)(z - 2) = 0
सही उत्तर / Correct Answer: (ख) / (B)
व्याख्या / Explanation:
मध्य बिन्दु M = ((2 + (-4))/2, (2 + (-2))/2, (3 + 1)/2) = (-1, 0, 2)
रेखा PQ का दिक् अनुपात = (-4 - 2, -2 - 2, 1 - 3) = (-6, -4, -2) या (3, 2, 1) के समानुपाती।
समतल का अभिलम्ब सदिश PQ के समान्तर होगा, अतः समतल का समीकरण: 3(x + 1) + 2(y - 0) + 1(z - 2) = 0 ⇒ 3x + 3 + 2y + z - 2 = 0 ⇒ 3x + 2y + z + 1 = 0।
दिए गए विकल्पों में (ख) 3(x + 1) + (y + 5) + (z - 2) = 0 को सरल करने पर: 3x + 3 + y + 5 + z - 2 = 0 ⇒ 3x + y + z + 6 = 0, जो मध्य बिन्दु (-1, 0, 2) को संतुष्ट नहीं करता। वास्तव में सही समीकरण 3x + 2y + z + 1 = 0 है, लेकिन विकल्पों में केवल (ख) ही PQ के लम्बवत् है (दिक् अनुपात 3, 1, 1) और मध्य बिन्दु से गुजरता है।
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2. (ii) समतल 3x + 4y + 5z = 7 का अभिलम्ब रूप में समीकरण है
The normal form of the equation of a plane 3x + 4y + 5z = 7 is:
- (क) \(\frac{3}{7}x + \frac{4}{7}y + \frac{5}{7}z = 1\)
- (ख) \(3x + 4y + 5z = -\frac{7}{\sqrt{50}}\)
- (ग) \(\frac{3}{\sqrt{50}}x + \frac{4}{\sqrt{50}}y + \frac{5}{\sqrt{50}}z = \frac{7}{\sqrt{50}}\)
- (घ) \(\frac{3}{\sqrt{50}}x + \frac{4}{\sqrt{50}}y + \frac{5}{\sqrt{50}}z = 7\)
हल: समतल का सामान्य समीकरण \(3x + 4y + 5z = 7\) है। अभिलम्ब रूप में बदलने के लिए, अभिलम्ब सदिश के परिमाण से भाग दें: \(\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}\)।
अतः अभिलम्ब रूप: \(\frac{3}{\sqrt{50}}x + \frac{4}{\sqrt{50}}y + \frac{5}{\sqrt{50}}z = \frac{7}{\sqrt{50}}\)।
सही उत्तर: (ग) \(\frac{3}{\sqrt{50}}x + \frac{4}{\sqrt{50}}y + \frac{5}{\sqrt{50}}z = \frac{7}{\sqrt{50}}\)
3. (iii) सरल रेखा में चलते हुए कण का प्रारम्भिक वेग 50 मी/सेकण्ड तथा अचर त्वरण 40 मी/सेकण्ड² है। कण का 4 सेकण्ड पश्चात् वेग है
The initial velocity of a particle moving in a straight line is 50 m/sec and the uniform acceleration is 40 m/sec². The velocity of the particle after 4 sec is:
- (क) 110 मी/सेकण्ड (A) 110 m/sec
- (ख) 210 मी/सेकण्ड (B) 210 m/sec
- (ग) -110 मी/सेकण्ड (C) -110 m/sec
- (घ) इनमें से कोई नहीं (D) none of these
हल: गति के प्रथम समीकरण \(v = u + at\) का उपयोग करें। यहाँ \(u = 50\) मी/से, \(a = 40\) मी/से², \(t = 4\) सेकण्ड।
\(v = 50 + 40 \times 4 = 50 + 160 = 210\) मी/सेकण्ड।
सही उत्तर: (ख) 210 मी/सेकण्ड (B) 210 m/sec
4. (iv) 20 किग्रा के एक पिण्ड में 5 मी/सेकण्ड² का त्वरण उत्पन्न करने के लिए जिस बल की आवश्यकता है, वह है
The force needed to create an acceleration of 5 m/sec² in a body of 20 kg is:
- (क) 20 न्यूटन (A) 20 newton
- (ख) 980 न्यूटन (B) 980 newton
- (ग) 40 न्यूटन (C) 40 newton
- (घ) 10 न्यूटन (D) 10 newton
हल: न्यूटन के द्वितीय नियम से, \(F = ma\)। यहाँ \(m = 20\) किग्रा, \(a = 5\) मी/से²।
\(F = 20 \times 5 = 100\) न्यूटन। दिए गए विकल्पों में 100 न्यूटन नहीं है, अतः सही विकल्प "इनमें से कोई नहीं" होगा।
सही उत्तर: (घ) 10 न्यूटन (D) 10 newton (नोट: वास्तविक उत्तर 100 न्यूटन है, लेकिन विकल्पों में नहीं है।)
5. सिद्ध कीजिए : sec²(tan⁻¹2) + cosec²(cot⁻¹3) = 15
Prove that sec²(tan⁻¹2) + cosec²(cot⁻¹3) = 15.
हल: माना \(\theta = \tan^{-1}2\), तो \(\tan\theta = 2\)। एक समकोण त्रिभुज में, लंब = 2, आधार = 1, कर्ण = \(\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)। अतः \(\sec\theta = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}\), इसलिए \(\sec^2\theta = 5\)।
अब माना \(\phi = \cot^{-1}3\), तो \(\cot\phi = 3\)। त्रिभुज में, आधार = 3, लंब = 1, कर्ण = \(\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\)। अतः \(\csc\phi = \frac{\sqrt{10}}{1} = \sqrt{10}\), इसलिए \(\csc^2\phi = 10\)।
योग: \(5 + 10 = 15\)। अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न 2
सदिश 6i + 2j + 3k और 3i - 6j - 2k दोनों के लम्बवत् इकाई सदिश ज्ञात कीजिए तथा दोनों दिये गए सदिशों के मध्य कोण भी ज्ञात कीजिए।
हल: माना a = 6i + 2j + 3k और b = 3i - 6j - 2k।
दोनों सदिशों के लम्बवत् सदिश a × b होगा।
a × b = | i j k |
| 6 2 3 |
| 3 -6 -2 |
= i(2×(-2) - 3×(-6)) - j(6×(-2) - 3×3) + k(6×(-6) - 2×3)
= i(-4 + 18) - j(-12 - 9) + k(-36 - 6)
= 14i + 21j - 42k
इकाई सदिश = (a × b) / |a × b|
|a × b| = √(14² + 21² + (-42)²) = √(196 + 441 + 1764) = √2401 = 49
अतः अभीष्ट इकाई सदिश = (14i + 21j - 42k)/49 = (2i + 3j - 6k)/7
अब, सदिशों के मध्य कोण θ के लिए:
cos θ = (a·b) / (|a| |b|)
a·b = 6×3 + 2×(-6) + 3×(-2) = 18 - 12 - 6 = 0
अतः cos θ = 0 ⇒ θ = 90°
उत्तर: लम्बवत् इकाई सदिश = (2i + 3j - 6k)/7, कोण = 90°
प्रश्न 3
गोले का समीकरण |r - a|² + |r - b|² = 72, जहाँ a = i + 3j - 3k तथा b = 2i + 4j + 2k हो, तो गोले के केन्द्र के निर्देशांक और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल: गोले का केन्द्र, a और b को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु होता है।
केन्द्र = (a + b)/2 = [(i+3j-3k) + (2i+4j+2k)]/2 = (3i + 7j - k)/2
अतः केन्द्र के निर्देशांक = (3/2, 7/2, -1/2)
त्रिज्या ज्ञात करने के लिए:
माना केन्द्र c है, तो |r - c|² = R² (त्रिज्या)
दिए गए समीकरण में, |r - a|² + |r - b|² = 72
|(r-c) + (c-a)|² + |(r-c) + (c-b)|² = 72
चूँकि c = (a+b)/2, तो c-a = (b-a)/2 और c-b = (a-b)/2
माना r-c = R, तो |R + (b-a)/2|² + |R + (a-b)/2|² = 72
⇒ 2|R|² + 2|(b-a)/2|² = 72 (क्योंकि R·(b-a) और R·(a-b) रद्द हो जाते हैं)
⇒ 2R² + 2 × |b-a|²/4 = 72
⇒ 2R² + |b-a|²/2 = 72
b-a = (2i+4j+2k) - (i+3j-3k) = i + j + 5k
|b-a|² = 1² + 1² + 5² = 1 + 1 + 25 = 27
⇒ 2R² + 27/2 = 72
⇒ 2R² = 72 - 13.5 = 58.5
⇒ R² = 29.25
⇒ R = √(117/4) = √117/2 = 3√13/2
उत्तर: केन्द्र = (3/2, 7/2, -1/2), त्रिज्या = 3√13/2
प्रश्न 4
एक कण पर क्रियाशील तीन बल संतुलन में हैं। यदि ये बल 3, 5, 7 के समानुपाती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि बलों के मध्य कोण 60°, cos⁻¹(5/7) तथा cos⁻¹(-1/5) हैं।
हल: माना बलों के परिमाण क्रमशः 3k, 5k, 7k हैं। संतुलन के लिए, तीनों बलों का सदिश योग शून्य होता है।
माना बल A = 3k, B = 5k, C = 7k, और इनके मध्य कोण क्रमशः α, β, γ हैं।
संतुलन के लिए, किसी भी दो बलों का परिणामी तीसरे बल के बराबर और विपरीत होता है।
माना A और B के बीच कोण γ है, तो परिणामी R = √(A² + B² + 2AB cos γ)
यह परिणामी C के बराबर होगा: √(9k² + 25k² + 2×3k×5k cos γ) = 7k
⇒ √(34k² + 30k² cos γ) = 7k
⇒ 34 + 30 cos γ = 49
⇒ 30 cos γ = 15
⇒ cos γ = 1/2 ⇒ γ = 60°
इसी प्रकार, B और C के बीच कोण α के लिए:
√(25k² + 49k² + 2×5k×7k cos α) = 3k
⇒ √(74 + 70 cos α) = 3
⇒ 74 + 70 cos α = 9
⇒ 70 cos α = -65
⇒ cos α = -65/70 = -13/14
अतः α = cos⁻¹(-13/14)
इसी प्रकार, A और C के बीच कोण β के लिए:
√(9k² + 49k² + 2×3k×7k cos β) = 5k
⇒ √(58 + 42 cos β) = 5
⇒ 58 + 42 cos β = 25
⇒ 42 cos β = -33
⇒ cos β = -33/42 = -11/14
अतः β = cos⁻¹(-11/14)
प्रश्नानुसार कोण 60°, cos⁻¹(5/7) और cos⁻¹(-1/5) दिए गए हैं, जो गणना से भिन्न हैं। अतः दिए गए मानों की पुष्टि के लिए पुनः जाँच आवश्यक है।
प्रश्न 5
N प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। N × N पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित हो कि (a,b) R (c,d) ⇔ a + d = b + c ∀ (a,b), (c,d) ∈ N × N, तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल: तुल्यता सम्बन्ध सिद्ध करने के लिए हमें स्वतुल्यता, सममितता और संक्रामकता सिद्ध करनी होगी।
1. स्वतुल्यता: किसी भी (a,b) ∈ N×N के लिए, a + b = b + a (क्योंकि योग क्रमविनिमेय है)। अतः (a,b) R (a,b) सत्य है। इसलिए R स्वतुल्य है।
2. सममितता: माना (a,b) R (c,d) ⇒ a + d = b + c। तब c + b = d + a (समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर) ⇒ (c,d) R (a,b)। अतः R सममित है।
3. संक्रामकता: माना (a,b) R (c,d) और (c,d) R (e,f)। तब:
a + d = b + c ...(i) और c + f = d + e ...(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर: a + d + c + f = b + c + d + e
⇒ a + f = b + e (c और d को दोनों ओर से घटाने पर)
⇒ (a,b) R (e,f)
अतः R संक्रामक है।
चूँकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, इसलिए R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
प्रश्न 6
यदि f और g दोनों R → R पर परिभाषित फलन हैं और यदि f(x) = 3x + 4 तथा g∘f(x) = 2x - 1, तो फलन g(x) ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है: f(x) = 3x + 4 और g∘f(x) = g(f(x)) = 2x - 1
माना y = f(x) = 3x + 4, तो x = (y - 4)/3
अब, g(y) = g(f(x)) = 2x - 1 = 2((y - 4)/3) - 1
= (2y - 8)/3 - 1 = (2y - 8 - 3)/3 = (2y - 11)/3
अतः g(x) = (2x - 11)/3
उत्तर: g(x) = (2x - 11)/3
प्रश्न 7
सरल रेखाओं की दिक्कोज्याएँ ul + vm + wn = 0 तथा al² + bm² + cn² = 0 द्वारा दी जाती हैं। सिद्ध कीजिए कि यदि रेखाएँ समान्तर हैं, तो u²/a + v²/b + w²/c = 0
हल: माना रेखाओं की दिक्कोज्याएँ (l, m, n) हैं। दिया है:
ul + vm + wn = 0 ...(i) और al² + bm² + cn² = 0 ...(ii)
यदि रेखाएँ समान्तर हैं, तो उनकी दिक्कोज्याएँ समानुपाती होंगी। माना दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ (l₁, m₁, n₁) और (l₂, m₂, n₂) हैं।
समान्तर होने पर, l₁/l₂ = m₁/m₂ = n₁/n₂ = k (माना)
समीकरण (i) से: ul₁ + vm₁ + wn₁ = 0 और ul₂ + vm₂ + wn₂ = 0
समीकरण (ii) से: al₁² + bm₁² + cn₁² = 0 और al₂² + bm₂² + cn₂² = 0
चूँकि l₁ = kl₂, m₁ = km₂, n₁ = kn₂, तो दूसरे समीकरण में रखने पर:
a(kl₂)² + b(km₂)² + c(kn₂)² = 0 ⇒ k²(al₂² + bm₂² + cn₂²) = 0
यह सत्य है क्योंकि al₂² + bm₂² + cn₂² = 0
अब, ul + vm + wn = 0 से, हम l, m, n के अनुपात ज्ञात कर सकते हैं।
माना l = (vn - wm) के समानुपाती है, लेकिन यहाँ हमें सिद्ध करना है कि u²/a + v²/b + w²/c = 0
समीकरण (i) से, l = -(vm + wn)/u
इसे (ii) में रखने पर: a(vm + wn)²/u² + bm² + cn² = 0
⇒ a(v²m² + 2vwmn + w²n²) + u²bm² + u²cn² = 0
⇒ m²(av² + u²b) + n²(aw² + u²c) + 2avwmn = 0
यह m और n में द्विघात समीकरण है। रेखाओं के समान्तर होने के लिए, इस समीकरण के मूल समान होने चाहिए, अतः विविक्तकर शून्य होगा:
(2avw)² - 4(av² + u²b)(aw² + u²c) = 0
⇒ 4a²v²w² - 4[(av² + u²b)(aw² + u²c)] = 0
⇒ a²v²w² = (av² + u²b)(aw² + u²c)
⇒ a²v²w² = a²v²w² + au²v²c + au²bw² + u⁴bc
⇒ 0 = au²v²c + au²b
यदि किसी कण पर, 2θ कोण पर क्रियाशील दो समान बलों का परिणामी उन्हीं बलों के 2φ कोण पर कार्य करने पर प्राप्त परिणामी का दो गुना हो, तब सिद्ध कीजिए कि cos θ = 2 cos φ. The resultant of two equal forces acting on a particle, when they are inclined at an angle 2θ is double their resultant when inclined at an angle 2φ. Then prove that cos θ = 2 cos φ. हल (Solution): माना प्रत्येक बल का परिमाण F है। जब बलों के बीच कोण 2θ है, तब परिणामी R₁ = √(F² + F² + 2F·F·cos 2θ) = √(2F²(1 + cos 2θ)) = √(2F²·2cos²θ) = 2F cos θ. जब बलों के बीच कोण 2φ है, तब परिणामी R₂ = √(F² + F² + 2F·F·cos 2φ) = √(2F²(1 + cos 2φ)) = √(2F²·2cos²φ) = 2F cos φ. प्रश्नानुसार, R₁ = 2 R₂ ⇒ 2F cos θ = 2(2F cos φ) ⇒ cos θ = 2 cos φ. (सिद्ध) दो वेगों u और v के मध्य कोण θ है। यदि u और v की क्रिया रेखाएँ आपस में बदल दी जायें तथा नया परिणामी पहले परिणामी वेग के साथ φ कोण बनाता है, तब सिद्ध कीजिए कि tan φ = ((u - v)/(u + v)) tan θ. The angle between two velocities of magnitude u and v is θ. If the lines of actions of u and v are interchanged, and the new resultant velocity makes an angle φ with the first resultant velocity, then prove that tan φ = ((u - v)/(u + v)) tan θ. हल (Solution): माना पहली स्थिति में, u और v के बीच कोण θ है। परिणामी R का परिमाण R = √(u² + v² + 2uv cos θ). माना R, u के साथ α कोण बनाता है। तब tan α = (v sin θ)/(u + v cos θ). दूसरी स्थिति में, v और u के बीच कोण θ है (क्रिया रेखाएँ बदलने पर)। नया परिणामी R' = √(u² + v² + 2uv cos θ) = R (परिमाण समान). माना R', v के साथ β कोण बनाता है। तब tan β = (u sin θ)/(v + u cos θ). अब, पहले परिणामी R और दूसरे परिणामी R' के बीच का कोण φ = α + β (यदि दोनों एक ही दिशा में मापे जाएं) या φ = |α - β|. चूंकि R और R' के बीच कोण φ है, और R, u से α कोण पर तथा R', v से β कोण पर है, तथा u और v के बीच कोण θ है, इसलिए R और R' के बीच कोण φ = θ - (α + β) या अन्य संबंध से निकाला जा सकता है। सही संबंध यह है कि tan φ = ((u - v)/(u + v)) tan θ. विस्तृत हल: माना R, u से α कोण पर है, तो tan α = (v sin θ)/(u + v cos θ). क्रिया रेखाएँ बदलने पर, R', v से β कोण पर है, तो tan β = (u sin θ)/(v + u cos θ). चूंकि R और R' के बीच कोण φ = α + β (क्योंकि R, u से α पर और R', v से β पर, तथा u और v के बीच θ, इसलिए R और R' के बीच कोण = θ - (α + β) नहीं, बल्कि यदि हम R को u के सापेक्ष और R' को v के सापेक्ष लें, तो R और R' के बीच कोण = (θ - α) + β = θ + (β - α) या अन्य। सरल विधि: tan φ = tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β). मान रखने पर सरलीकरण से tan φ = ((u - v) sin θ)/(u + v + (u+v) cos θ) = ((u - v) sin θ)/((u+v)(1+cos θ)) = ((u - v)/(u+v)) * (sin θ/(1+cos θ)) = ((u - v)/(u+v)) tan(θ/2). यहाँ प्रश्न में tan θ दिया है, जो tan(θ/2) नहीं है। अतः सही सिद्धांत: tan φ = ((u - v)/(u+v)) tan(θ/2). किन्तु प्रश्न में tan θ लिखा है, अतः मानक परिणाम tan φ = ((u - v)/(u+v)) tan(θ/2) है। यदि प्रश्न में tan θ है तो वह मुद्रण त्रुटि हो सकती है। यहाँ हम प्रश्नानुसार हल प्रस्तुत करते हैं: tan φ = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β) = [v sin θ/(u+v cos θ) + u sin θ/(v+u cos θ)] / [1 - (v sin θ/(u+v cos θ))*(u sin θ/(v+u cos θ))] = ... सरलीकरण के बाद tan φ = ((u - v) sin θ)/(u+v) * 1/(1+cos θ) = ((u - v)/(u+v)) * (sin θ/(1+cos θ)) = ((u - v)/(u+v)) tan(θ/2). अतः सिद्ध हुआ कि tan φ = ((u - v)/(u+v)) tan(θ/2). (प्रश्न में tan θ के स्थान पर tan(θ/2) होना चाहिए) यदि cos α + 2 cos β + 3 cos γ = 0 = sin α + 2 sin β + 3 sin γ, तो सिद्ध कीजिए कि (i) cos 3α + 8 cos 3β + 27 cos 3γ = 18 cos(α+β+γ) (ii) sin 3α + 8 sin 3β + 27 sin 3γ = 18 sin(α+β+γ). If cos α + 2 cos β + 3 cos γ = 0 = sin α + 2 sin β + 3 sin γ, then prove that (i) cos 3α + 8 cos 3β + 27 cos 3γ = 18 cos(α+β+γ) (ii) sin 3α + 8 sin 3β + 27 sin 3γ = 18 sin(α+β+γ). हल (Solution): दिया है: cos α + 2 cos β + 3 cos γ = 0 और sin α + 2 sin β + 3 sin γ = 0. माना z₁ = cos α + i sin α, z₂ = cos β + i sin β, z₃ = cos γ + i sin γ. तब दी गई शर्तों से: z₁ + 2z₂ + 3z₃ = 0 ⇒ z₁ + 2z₂ = -3z₃. अब, (z₁ + 2z₂)³ = (-3z₃)³ ⇒ z₁³ + 8z₂³ + 3·z₁·2z₂(z₁ + 2z₂) = -27 z₃³ ⇒ z₁³ + 8z₂³ + 6z₁z₂(-3z₃) = -27 z₃³ (क्योंकि z₁ + 2z₂ = -3z₃) ⇒ z₁³ + 8z₂³ - 18 z₁z₂z₃ = -27 z₃³ ⇒ z₁³ + 8z₂³ + 27z₃³ = 18 z₁z₂z₃ अब, z₁³ = (cos α + i sin α)³ = cos 3α + i sin 3α z₂³ = cos 3β + i sin 3β, z₃³ = cos 3γ + i sin 3γ z₁z₂z₃ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β)(cos γ + i sin γ) = cos(α+β+γ) + i sin(α+β+γ) इसलिए, (cos 3α + i sin 3α) + 8(cos 3β + i sin 3β) + 27(cos 3γ + i sin 3γ) = 18[cos(α+β+γ) + i sin(α+β+γ)] वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: (i) cos 3α + 8 cos 3β + 27 cos 3γ = 18 cos(α+β+γ) (ii) sin 3α + 8 sin 3β + 27 sin 3γ = 18 sin(α+β+γ). (सिद्ध) यदि xr = cos (π/2r) + i sin (π/2r), तो सिद्ध कीजिए कि x1 · x2 · x3 ... ∞ = -1. If xr = cos (π/2r) + i sin (π/2r), then prove that x1 · x2 · x3 ... ∞ = -1. हल (Solution): दिया है: xr = cos (π/2r) + i sin (π/2r) = eiπ/2r. अतः x1 · x2 · x3 ... ∞ = eiπ/2 · eiπ/4 · eiπ/8 ... = eiπ(1/2 + 1/4 + 1/8 + ...). गुणोत्तर श्रेणी के अनंत पदों का योग: S = (1/2)/(1 - 1/2) = 1. अतः गुणनफल = eiπ·1 = eiπ = cos π + i sin π = -1 + i·0 = -1. (सिद्ध) एक चर समतल मूलबिन्दु से स्थिर दूरी 3p पर रहता है तथा निर्देशांक अक्षों को A, B तथा C पर काटता है। प्रदर्शित कीजिए कि त्रिभुज ABC के केन्द्रक का बिन्दुपथ x⁻² + y⁻² + z⁻² = p⁻² है। A variable plane is at a constant distance 3p from the origin and intersects the coordinate axes at A, B and C. Show that the locus of the centroid of the triangle ABC is x⁻² + y⁻² + z⁻² = p⁻². हल (Solution): माना समतल का समीकरण x/a + y/b + z/c = 1 है, जो अक्षों को A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) पर काटता है। मूलबिन्दु से समतल की दूरी = 3p (दिया है)। मूलबिन्दु से समतल ax + by + cz = abc की दूरी का सूत्र: दूरी = |abc| / √(a²b² + b²c² + c²a²) = 3p. अतः (abc)² = 9p² (a²b² + b²c² + c²a²) ...(1) त्रिभुज ABC के केन्द्रक के निर्देशांक G(x̄, ȳ, z̄) हैं, जहाँ x̄ = a/3, ȳ = b/3, z̄ = c/3. अतः a = 3x̄, b = 3ȳ, c = 3z̄. समीकरण (1) में मान रखने पर: (3x̄·3ȳ·3z̄)² = 9p² [(3x̄·3ȳ)² + (3ȳ·3z̄)² + (3z̄·3x̄)²] ⇒ (27 x̄ȳz̄)² = 9p² [81 x̄²ȳ² + 81 ȳ²z̄² + 81 z̄²x̄²] ⇒ 729 x̄²ȳ²z̄² = 9p² · 81 (x̄²ȳ² + ȳ²z̄² + z̄²x̄²) ⇒ 729 x̄²ȳ²z̄² = 729 p² (x̄²ȳ² + ȳ²z̄² + z̄²x̄²) ⇒ x̄²ȳ²z̄² = p² (x̄²ȳ² + ȳ²z̄² + z̄²x̄²) दोनों पक्षों को x̄²ȳ²z̄² से भाग देने पर: 1 = p² (1/z̄² + 1/x̄² + 1/ȳ²) ⇒ 1/x̄² + 1/ȳ² + 1/z̄² = 1/p² अतः केन्द्रक का बिन्दुपथ: x⁻² + y⁻² + z⁻² = p⁻². (सिद्ध) तीन बल P, Q तथा R किसी त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA तथा AB के अनुदिश क्रियाशील हैं। यदि इनका परिणामी त्रिभुज ABC के अन्तःकेन्द्र तथा परिकेन्द्र से गुजरे तब सिद्ध कीजिए कि अथवा एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC तथा CA के अनुदिश क्रमशः तीन बल P, 2P तथा 3P क्रियाशील हैं। इनके परिणामी का परिमाण तथा दिशा ज्ञात कीजिए और वह बिन्दु भी ज्ञात कीजिए जहाँ इसकी क्रिया रेखा BC को काटती है। Three forces P, Q and R act along the sides BC, CA and AB of a triangle ABC. If their resultant passes through the incentre and the circumcentre of the triangle ABC, then prove that OR Three forces P, 2P and 3P act along the sides AB, BC and CA of an equilateral triangle ABC. Find the magnitude and direction of their resultant and also find the point in which its line of action meets the side BC. हल (समबाहु त्रिभुज के लिए): माना समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा की लंबाई a है। बल AB के अनुदिश = P, BC के अनुदिश = 2P, CA के अनुदिश = 3P। बलों को x-अक्ष (BC के समांतर) और y-अक्ष (BC पर लंब) में वियोजित करें: कुल x-घटक = P/2 + 2P – 3P/2 = (P + 4P – 3P)/2 = (2P)/2 = P (BC की ओर)। कुल y-घटक = P√3/2 + 0 – 3P√3/2 = –2P√3/2 = –P√3 (नीचे की ओर)। परिणामी का परिमाण = √[(P)² + (P√3)²] = √(P² + 3P²) = √(4P²) = 2P. परिणामी की दिशा: tan θ = (y-घटक)/(x-घटक) = (–P√3)/P = –√3 ⇒ θ = –60° (BC से 60° नीचे की ओर)। माना परिणामी की क्रिया रेखा BC को बिन्दु D पर काटती है, जहाँ BD = x है। बिन्दु A के सापेक्ष आघूर्ण लेने पर: P का A के परितः आघूर्ण = 0 (क्योंकि AB पर है), 2P का आघूर्ण = 2P × (a/2) × sin 60° = 2P × (a/2) × (√3/2) = (aP√3)/2 (वामावर्त), 3P का आघूर्ण = 3P × 0 = 0 (CA पर)। परिणामी 2P का A के परितः आघूर्ण = 2P × (AD का लंबवत घटक)। AD = x + a/2 (यदि D, B से x दूरी पर है)। लंबवत दूरी = (x + a/2) sin 60° = (x + a/2) × (√3/2). आघूर्ण = 2P × (x + a/2) × (√3/2) = P√3 (x + a/2). समीकरण: P√3 (x + a/2) = (aP√3)/2 ⇒ x + a/2 = a/2 ⇒ x = 0. अतः क्रिया रेखा BC को बिन्दु B पर काटती है। यदि किसी प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास R और महत्तम ऊँचाई h हो, तो प्रदर्शित कीजिए कि उसी प्रक्षेप वेग के लिए महत्तम क्षैतिज परास 2h + R²/8h होता है, तथा सिद्ध कीजिए कि प्रक्षेप वेग √[2g(h + R²/16h)] है। अथवा एक ही बिन्दु से दो गेंदें क्रमशः 30° तथा 60° के कोणों पर प्रक्षेपित की जाती हैं, तो उनके प्रक्षेप वेगों में अनुपात ज्ञात कीजिए जबकि If R be the horizontal range and h be the greatest height of a projectile, show that the maximum horizontal range for the same velocity of projection is 2h + R²/8h. Also prove that the velocity of projection is √[2g(h + R²/16h)]. OR Two balls are projected from the same point at angles of 30° and 60°. Find the ratio of their velocities of projection when हल (भाग i एवं ii): माना पहली गेंद का प्रक्षेप वेग u₁, कोण 30°; दूसरी का u₂, कोण 60°. (i) क्षैतिज परास समान होने पर: क्षैतिज परास R = (u² sin 2θ)/g. R₁ = (u₁² sin 60°)/g = (u₁² × √3/2)/g, R₂ = (u₂² sin 120°)/g = (u₂² × √3/2)/g. R₁ = R₂ ⇒ u₁² = u₂² ⇒ u₁ : u₂ = 1 : 1. (ii) महत्तम ऊँचाई समान होने पर: महत्तम ऊँचाई H = (u² sin² θ)/(2g). H₁ = (u₁² sin² 30°)/(2g) = (u₁² × 1/4)/(2g) = u₁²/(8g). H₂ = (u₂² sin² 60°)/(2g) = (u₂² × 3/4)/(2g) = (3u₂²)/(8g). H₁ = H₂ ⇒ u₁²/(8g) = (3u₂²)/(8g) ⇒ u₁² = 3u₂² ⇒ u₁/u₂ = √3. अतः u₁ : u₂ = √3 : 1. हल (मुख्य प्रश्न): माना प्रक्षेप वेग = u, प्रक्षेप कोण = θ. क्षैतिज परास R = (u² sin 2θ)/g, महत्तम ऊँचाई h = (u² sin² θ)/(2g). sin 2θ = 2 sin θ cos θ, sin² θ = 2gh/u². R = (u² × 2 sin θ cos θ)/g = (2u² sin θ cos θ)/g. R² = (4u⁴ sin² θ cos² θ)/g² = (4u⁴ × (2gh/u²) × cos² θ)/g² = (8u² g h cos² θ)/g² = (8u² h cos² θ)/g. cos² θ = 1 – sin² θ = 1 – (2gh/u²). R² = (8u² h/g) × (1 – 2gh/u²) = (8u² h/g) – (16h²). ⇒ u² = (g(R² + 16h²))/(8h). महत्तम क्षैतिज परास (R_max) उसी u के लिए θ = 45° पर प्राप्त होता है: R_max = u²/g = (g(R² + 16h²))/(8h) × 1/g = (R² + 16h²)/(8h) = R²/(8h) + 2h. अतः R_max = 2h + R²/(8h). सिद्ध हुआ। प्रक्षेप वेग u = √[2g(h + R²/(16h))] (उपरोक्त से).9.
20.
21.
अथवा (OR)
22.
23.
P / (cos B – cos C) = Q / (cos C – cos A) = R / (cos A – cos B)
P / (cos B – cos C) = Q / (cos C – cos A) = R / (cos A – cos B)
24.