RBSE Class 12th 2013 Physics-SS-40-2013 Previous Year Papers

Explanation: In Fig. A, the current is flowing into the page, so by right-hand rule, the magnetic field at point P is directed into the page (⊗). In Fig. B, the current is coming out of the page, so the magnetic field at point P is directed out of the page (⊙).

Faraday's law of electromagnetic induction: The magnitude of induced electromotive force (emf) in a circuit is directly proportional to the rate of change of magnetic flux linked with the circuit. Mathematically, ε = -dΦ_B/dt, where Φ_B is the magnetic flux and the negative sign indicates Lenz's law.

a) RMS value of voltage: Given applied voltage is 220 V (assumed RMS). So, V_rms = 220 V.

b) Impedance of circuit: Since X_L = X_C = 6 Ω, net reactance X = X_L - X_C = 0. Therefore, impedance Z = √(R² + X²) = √(8² + 0²) = 8 Ω.

Gauss' law for magnetism (Maxwell equation): ∇ · B = 0, which states that the net magnetic flux through any closed surface is zero, implying that magnetic monopoles do not exist.

Value of μ₀ε₀: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A, ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² C²/N·m². Therefore, μ₀ε₀ = (4π × 10⁻⁷) × (8.854 × 10⁻¹²) ≈ 1.112 × 10⁻¹⁷ s²/m². Alternatively, μ₀ε₀ = 1/c², where c = 3 × 10⁸ m/s, so μ₀ε₀ = 1/(9 × 10¹⁶) = 1.11 × 10⁻¹⁷ s²/m².

Answer: Astigmatism is corrected using a cylindrical lens (or toric lens) which has different curvatures in different planes to compensate for the irregular curvature of the cornea or lens.

Total internal reflection: When a light ray travels from a denser medium to a rarer medium at an angle of incidence greater than the critical angle, it is completely reflected back into the denser medium. This phenomenon is called total internal reflection.

Solution: In the first reaction, A emits an alpha particle (₂He⁴) to form B. So, atomic number of A = Z, mass number = M; then B has atomic number Z-2 and mass number M-4. In the second reaction, B emits a beta particle (₋₁e⁰) to form C. So, C has atomic number (Z-2)+1 = Z-1 and mass number M-4. Thus, A and C have different atomic numbers (Z and Z-1) but same mass number? Actually, A has mass M, C has mass M-4, so they are not isotopes. However, B and C have same mass number (M-4) but different atomic numbers (Z-2 and Z-1), so they are not isotopes either. Wait, check: Isotopes have same atomic number but different mass numbers. Here, A and B have different atomic numbers (Z and Z-2), so not isotopes. A and C have different atomic numbers (Z and Z-1), so not isotopes. B and C have different atomic numbers (Z-2 and Z-1), so not isotopes. Therefore, there is no isotopic pair among A, B, and C. Possibly the question expects that A and C are isotopes? Let's re-evaluate: If A emits alpha, B has Z-2, M-4. Then B emits beta, C has Z-1, M-4. So A (Z, M) and C (Z-1, M-4) are not isotopes. However, if we consider that the beta emission changes a neutron to proton, so mass number remains same? Actually, beta emission does not change mass number (since electron mass negligible), so B has mass M-4, C also has mass M-4. So B and C have same mass number but different atomic numbers, so they are isobars, not isotopes. A and B have different mass numbers, so not isotopes. Thus, no isotopic pair. But the question says "समस्थानिक युग्म छांटिए" (select isotopic pair). Possibly the intended answer is that A and C are isotopes? Let's check: If A emits alpha, then B has Z-2, M-4. Then B emits beta, C has Z-1, M-4. So A (Z, M) and C (Z-1, M-4) are not isotopes. However, if the beta emission is from a neutron, the mass number remains same, so B and C have same mass number M-4, but different atomic numbers. So no isotopes. Perhaps the question has a typo? Alternatively, if the second reaction is B → ₂(₋₁e⁰) + C, that means B emits a beta particle and becomes C, so atomic number increases by 1, mass number unchanged. So B (Z-2, M-4) and C (Z-1, M-4) are isobars. A (Z, M) and B (Z-2, M-4) are not isotopes. So no isotopic pair. I'll state that there is no isotopic pair among A, B, and C based on given reactions.

Correct answer: There is no isotopic pair among elements A, B, and C as per the given decay processes. A and B have different mass numbers, B and C have different atomic numbers, and A and C have different atomic numbers and mass numbers.

Solution:

In the first step, A emits an alpha particle (mass number 4, atomic number 2) to become B. So, mass number of B = mass number of A – 4, and atomic number of B = atomic number of A – 2.

In the second step, B emits two beta particles (each with mass number 0, atomic number –1) to become C. So, mass number of C = mass number of B = mass number of A – 4, and atomic number of C = atomic number of B + 2 = atomic number of A.

Thus, A and C have the same atomic number (same element) but different mass numbers – they are isotopes, not isobars. B and C have the same mass number (mass number of A – 4) but different atomic numbers. Therefore, B and C are isobars.

Correct answer: B and C

Solution:

Figure P shows two inputs A and B each going through a buffer (triangle symbol) and then into an OR gate (the curved shape with +). The output Y is the OR of A and B. However, the truth table in Q shows Y = 1 only when inputs are different (0,1 or 1,0) and Y = 0 when inputs are same (0,0 or 1,1). This is the truth table of an XOR gate (Exclusive-OR).

Therefore, the logic gate related to figure P is an OR gate (if we strictly follow the symbol), but the table Q corresponds to an XOR gate. The question likely expects the gate name from the table: XOR gate.

Correct answer: XOR gate (Exclusive-OR)

Solution:

The maximum line-of-sight (LOS) distance between two antennas of heights h_t and h_r above the earth's surface is given by:

d_max = √(2Rh_t) + √(2Rh_r)

where R is the radius of the earth (approximately 6400 km). This formula accounts for the curvature of the earth.

Solution:

Modulation is the process of varying a high-frequency carrier wave (amplitude, frequency, or phase) in accordance with the instantaneous value of a low-frequency message signal (audio, video, etc.). It is used to transmit information over long distances efficiently.

In the given block diagram for an AM receiver, after the detector (which extracts the modulating signal from the AM wave), the signal is weak and needs amplification. The part labelled x is the audio frequency (AF) amplifier (or simply power amplifier) that amplifies the detected signal to drive a speaker or output device.

Correct answer: Audio Frequency Amplifier (AF Amplifier)

Answer:

Modulation is the process of varying a carrier wave's properties (amplitude, frequency, or phase) in accordance with the information signal to enable efficient transmission over long distances.

In the given block diagram, part X is the RF (Radio Frequency) Amplifier or IF (Intermediate Frequency) Amplifier (commonly, it is the RF Amplifier stage that amplifies the received weak signal before detection).

Solution:

In a meter bridge (Wheatstone bridge principle), at balance condition:

R / S = l₁ / l₂

Where l₁ = balancing length from left end = 40 cm, l₂ = remaining length = 100 - 40 = 60 cm.

Given R = 4 Ω, so:

4 / S = 40 / 60

4 / S = 2 / 3

S = (4 × 3) / 2 = 12 / 2 = 6 Ω

Therefore, the unknown resistance S = 6 Ω.

Solution:

i) When key K is open:

Upper branch resistance = 6 Ω + 4 Ω = 10 Ω
Lower branch resistance = 3 Ω + 2 Ω = 5 Ω

These two branches are in parallel between X and Y:

1/R_eq = 1/10 + 1/5 = 1/10 + 2/10 = 3/10

R_eq = 10/3 ≈ 3.33 Ω

ii) When key K is closed:

Key K connects the midpoints, creating a Wheatstone bridge. Check balance: (6/4) = 1.5 and (3/2) = 1.5, so the bridge is balanced. No current flows through K.

Thus, the circuit behaves same as when K is open:

R_eq = 10/3 ≈ 3.33 Ω

Therefore, in both cases, the equivalent resistance between X and Y is 10/3 Ω (≈ 3.33 Ω).

हल:

(i) जब कुंजी K खुली है:

कुंजी खुली होने पर, 3Ω और 2Ω वाली शाखा खुली रहेगी (अनंत प्रतिरोध)। शेष प्रतिरोध:

• 6Ω और 4Ω श्रेणीक्रम में: 6 + 4 = 10Ω
• यह 10Ω, 3Ω और 2Ω के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी में है, लेकिन 3Ω और 2Ω वाली शाखा खुली है, इसलिए केवल 10Ω ही प्रभावी है।
• अतः X और Y के बीच परिणामी प्रतिरोध = 10Ω

(ii) जब कुंजी K बंद है:

कुंजी बंद होने पर, 3Ω और 2Ω श्रेणीक्रम में जुड़ते हैं: 3 + 2 = 5Ω

अब परिपथ में:

• 6Ω और 4Ω श्रेणीक्रम में: 6 + 4 = 10Ω
• यह 10Ω, 5Ω (3Ω+2Ω) के समानांतर है।
• समानांतर संयोजन का परिणामी प्रतिरोध: 1/R = 1/10 + 1/5 = 1/10 + 2/10 = 3/10 ⇒ R = 10/3 ≈ 3.33Ω

अतः X और Y के बीच परिणामी प्रतिरोध = 10/3 Ω (≈ 3.33Ω)

हल:

किरचॉफ का प्रथम नियम (संधि नियम): किसी विद्युत परिपथ की किसी संधि (जंक्शन) पर मिलने वाली सभी धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है। अर्थात, संधि पर आने वाली धाराओं का योग = संधि से जाने वाली धाराओं का योग।

गणितीय रूप: Σ I = 0 (संधि पर)

व्हीटस्टोन सेतु:

व्हीटस्टोन सेतु चार प्रतिरोधों P, Q, R, S का एक संयोजन है, जो एक चतुर्भुज ABCD के रूप में जुड़े होते हैं। A और C के बीच एक बैटरी जुड़ी होती है, और B और D के बीच एक गैल्वेनोमीटर (G) जुड़ा होता है।

शून्य विक्षेप की स्थिति (संतुलन अवस्था): जब गैल्वेनोमीटर में कोई धारा नहीं बहती (Ig = 0), तो सेतु संतुलित कहलाता है।

व्युत्पत्ति:

• माना प्रतिरोध P, Q, R, S हैं।
• संतुलन पर, B और D बिंदु समान विभव पर होते हैं, अतः V_B = V_D।
• किरचॉफ के द्वितीय नियम से लूप ABDA और BCDB में:
• लूप ABDA: I₁P - I₂R = 0 ⇒ I₁P = I₂R ...(i)
• लूप BCDB: I₁Q - I₂S = 0 ⇒ I₁Q = I₂S ...(ii)
• समीकरण (i) और (ii) से: (I₁P)/(I₁Q) = (I₂R)/(I₂S) ⇒ P/Q = R/S

अतः शून्य विक्षेप के लिए प्रतिबन्ध: P/Q = R/S

हल:

मुक्त आकाश (निर्वात) में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए, विद्युत क्षेत्र (E) और चुम्बकीय क्षेत्र (B) के परिमाणों में निम्न संबंध होता है:

E = c × B

जहाँ c = प्रकाश की चाल = 3 × 10⁸ m/s

दिया है: E = 9.3 V/m

अतः B = E / c = 9.3 / (3 × 10⁸) = 3.1 × 10^-8 T

उत्तर: चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण = 3.1 × 10^-8 टेस्ला (T)

हल:

इन तीनों विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तरंगदैर्घ्य का क्रम इस प्रकार है:

• अवरक्त (Infrared) की तरंगदैर्घ्य सबसे अधिक होती है (लगभग 700 nm से 1 mm तक)।
• पराबैंगनी (Ultraviolet) की तरंगदैर्घ्य अवरक्त से कम होती है (लगभग 10 nm से 400 nm तक)।
• X-किरणों की तरंगदैर्घ्य सबसे कम होती है (लगभग 0.01 nm से 10 nm तक)।

उत्तर: अवरक्त (Infrared) किरणों की तरंगदैर्घ्य अधिकतम होती है।

हल:

नोट: कॉलम II में S (पूर्ण आन्तरिक परावर्तन) का कोई सीधा मिलान नहीं है, यह अतिरिक्त विकल्प हो सकता है।

Correct matches:

• A → Q (Brewster's law: tan i = μ)
• B → S (Total internal reflection: critical angle relation)
• C → P (Snell's law: μ = sin i / sin r)
• D → R (Prism formula: μ = sin((A + D_m)/2) / sin(A/2))

हल:

फोटॉन की ऊर्जा: E = hc / λ

जहाँ, h = 6.63 × 10^-34 J·s, c = 3 × 10⁸ m/s, λ = 3.3 Å = 3.3 × 10^-10 m

E = (6.63 × 10^-34 × 3 × 10⁸) / (3.3 × 10^-10)

E = (1.989 × 10^-25) / (3.3 × 10^-10)

E = 6.027 × 10^-16 J

eV में: E = 6.027 × 10^-16 / 1.6 × 10^-19 = 3767 eV ≈ 3.77 keV

उत्तर: फोटॉन की ऊर्जा लगभग 3.77 keV है।

हल:

दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य: λ = h / p = h / √(2mE)

त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा: E = eV = 400 eV = 400 × 1.6 × 10^-19 J = 6.4 × 10^-17 J

इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान: m = 9.1 × 10^-31 kg

λ = (6.63 × 10^-34) / √(2 × 9.1 × 10^-31 × 6.4 × 10^-17)

λ = (6.63 × 10^-34) / √(1.1648 × 10^-46)

λ = (6.63 × 10^-34) / (1.079 × 10^-23)

λ = 6.14 × 10^-11 m = 0.614 Å

उत्तर: दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य लगभग 0.614 Å है।

कार्य विधि:

1. P-N संधि डायोड को एक परिपथ में जोड़ें जिसमें एक बैटरी, एक धारामापी (mA), एक वोल्टमीटर, और एक परिवर्ती प्रतिरोध (रिओस्टेट) शामिल हो।
2. डायोड के P-सिरे को बैटरी के धन टर्मिनल से और N-सिरे को ऋण टर्मिनल से जोड़ें (अग्रदिशिक बायस)।
3. रिओस्टेट की सहायता से वोल्टेज को धीरे-धीरे बढ़ाएँ और प्रत्येक वोल्टेज मान पर धारा (mA) नोट करें।
4. प्रारंभ में धारा बहुत कम होती है (कट-इन वोल्टेज तक)। सिलिकॉन डायोड के लिए कट-इन वोल्टेज लगभग 0.7V और जर्मेनियम के लिए 0.3V होता है।
5. कट-इन वोल्टेज के बाद धारा तेजी से बढ़ती है, जो अग्रदिशिक अभिलाक्षणिक वक्र को दर्शाती है।

परिपथ चित्र:

        +  ----[R]----+----[P-N Diode]----+
        |             |                    |
      [Battery]    [Voltmeter]          [Ammeter]
        |             |                    |
        +-------------+--------------------+

व्याख्या: अग्रदिशिक बायस में, वोल्टेज बढ़ने पर धारा तेजी से बढ़ती है, जो एक अरैखिक वक्र देता है। यह डायोड की चालकता को दर्शाता है।

a) लम्बवत् (θ = 90°):

जब इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है, तो उसका पथ वृत्ताकार होता है। चुंबकीय बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: evB = mv²/r, जहाँ r = mv/(eB).

b) θ कोण पर (θ ≠ 0°, 90°):

जब इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र से θ कोण पर प्रवेश करता है, तो उसका पथ कुंडलिनी (हेलिक्स) होता है। वेग के दो घटक होते हैं: v_∥ = v cos θ (क्षेत्र के समांतर) और v_⊥ = v sin θ (क्षेत्र के लंबवत)। लंबवत घटक वृत्ताकार गति देता है, जबकि समांतर घटक एक सरल रेखीय गति देता है, जिसके परिणामस्वरूप कुंडलिनी पथ बनता है।

नमन कोण (Angle of Dip) की परिभाषा: पृथ्वी के चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा और क्षैतिज तल के बीच के कोण को नमन कोण या आनति कोण कहते हैं।

गणना: यदि क्षैतिज घटक (H) और उर्ध्वाधर घटक (V) बराबर हैं, तो:

tan δ = V/H = 1

δ = tan⁻¹(1) = 45°

अतः नमन कोण का मान 45° होगा।

Biot-Savart Law: यह नियम किसी धारावाही चालक तत्व के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता को व्यक्त करता है। इसके अनुसार, किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र dB, धारा I, चालक तत्व की लम्बाई dl, तथा बिन्दु से तत्व की दूरी r के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है, और sin θ के समानुपाती होता है, जहाँ θ, dl और r के बीच का कोण है।

इलेक्ट्रॉन की गति का पथ:

• लम्बवत प्रवेश (θ = 90°): इलेक्ट्रॉन वृत्ताकार पथ पर गति करेगा।
• कोण θ पर प्रवेश: इलेक्ट्रॉन कुण्डलिनी (हेलिक्स) पथ पर गति करेगा।

बोर के दो अभिग्रहित (Postulates):

1. स्थायी कक्षाएँ: इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल कुछ निश्चित त्रिज्याओं वाली कक्षाओं में ही घूम सकता है, जिनमें कोणीय संवेग h/2π का पूर्ण गुणज होता है (mvr = nh/2π, जहाँ n = 1, 2, 3,...)। इन कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन ऊर्जा विकिरण नहीं करता।
2. ऊर्जा स्तरों में संक्रमण: जब इलेक्ट्रॉन एक उच्च ऊर्जा स्तर (E₂) से निम्न ऊर्जा स्तर (E₁) में जाता है, तो ऊर्जा का अंतर फोटॉन के रूप में उत्सर्जित होता है, जिसकी आवृत्ति ν = (E₂ - E₁)/h होती है।

रेडियोएक्टिव क्षय का नियम: किसी रेडियोएक्टिव पदार्थ में क्षय की दर उस समय उपस्थित परमाणुओं की संख्या के समानुपाती होती है। अर्थात् dN/dt = -λN, जहाँ λ क्षयांक है।

अर्ध-आयु की गणना:

अर्ध-आयु (T₁/₂) = ln 2 / λ = 0.693 / λ

यहाँ λ = 10⁻⁴ प्रतिवर्ष

T₁/₂ = 0.693 / 10⁻⁴ = 6930 वर्ष

अतः अर्ध-आयु 6930 वर्ष है।

• ट्रान्सड्यूसर (Transducer): यह एक युक्ति है जो एक प्रकार की ऊर्जा को दूसरे प्रकार की ऊर्जा में परिवर्तित करती है। उदाहरण: माइक्रोफोन (ध्वनि ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में), लाउडस्पीकर (विद्युत ऊर्जा को ध्वनि ऊर्जा में)।
• बैंड चौड़ाई (Bandwidth): किसी संचार प्रणाली में प्रेषित सिग्नल की उच्चतम और निम्नतम आवृत्तियों के बीच के अंतर को बैंड चौड़ाई कहते हैं। इसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है।

ऐम्पियर का परिपथीय नियम: किसी बंद पथ पर चुम्बकीय क्षेत्र B का रेखीय समाकलन, उस पथ से गुजरने वाली कुल धारा का μ₀ गुना होता है। अर्थात् ∮ B·dl = μ₀ I_enclosed

तार के अन्दर चुम्बकीय क्षेत्र की गणना (r < a):

माना तार में कुल धारा I है। त्रिज्या r (r < a) पर एक वृत्ताकार पथ लेते हैं।

धारा का वितरण समान है, अतः पथ द्वारा घिरी धारा:

I_enclosed = I × (πr² / πa²) = I × (r²/a²)

ऐम्पियर के नियम से:

∮ B·dl = B × 2πr = μ₀ × I × (r²/a²)

B = (μ₀ I r) / (2π a²)

अतः तार के अन्दर चुम्बकीय क्षेत्र B = (μ₀ I r) / (2π a²) होता है, जो त्रिज्या r के समानुपाती है।

Solution:

Ray Diagram for Concave Mirror:

Consider an object AB placed beyond the centre of curvature (C) of a concave mirror. A ray from A parallel to the principal axis reflects through the focus (F). Another ray from A passing through the centre of curvature (C) reflects back along the same path. The intersection of these reflected rays gives the image A'B'.

Relation between u, v, and f (Mirror Formula):

Using geometry and sign conventions (distances measured from pole P):

• From similar triangles, we derive: 1/f = 1/u + 1/v
• Where u = object distance (negative for real object), v = image distance (negative for real image), f = focal length (negative for concave mirror).

Thus, the mirror formula is: 1/f = 1/u + 1/v

Solution (Rectification and Fullwave Rectifier):

Rectification: Rectification is the process of converting alternating current (AC) into direct current (DC).

Fullwave Rectifier Working:

• A fullwave rectifier uses two diodes (D1 and D2) and a centre-tapped transformer.
• During the positive half-cycle of AC input, diode D1 is forward biased and conducts, while D2 is reverse biased.
• During the negative half-cycle, diode D2 conducts and D1 is reverse biased.
• Thus, current flows through the load resistor (R_L) in the same direction for both half-cycles, producing a pulsating DC output.

Circuit Diagram: (A simple diagram showing centre-tapped transformer, two diodes connected to opposite ends of secondary, and load resistor across centre tap and diodes' cathodes.)

OR (Amplification and Common Emitter Amplifier):

Amplification: Amplification is the process of increasing the amplitude of a weak signal using a transistor.

Common Emitter n-p-n Transistor Amplifier:

• Circuit: Base is input, collector is output, emitter is common to both.
• A small AC signal at the base causes a large change in collector current due to transistor's current gain (β).
• This produces an amplified output voltage across the collector resistor (R_C).

Circuit Diagram: (Simple diagram showing n-p-n transistor with base resistor, collector resistor, input AC source, and output across collector-emitter.)

Solution:

Band theory explains electrical conductivity based on energy bands (valence band and conduction band) and the forbidden gap between them.

Solution:

Gauss's Law Statement: The net electric flux through any closed surface is equal to 1/ε₀ times the total charge enclosed by the surface.

Mathematically: Φ = ∮ E·dA = Q_enclosed / ε₀

Electric Field due to Uniformly Charged Infinite Plane Sheet:

• Consider an infinite plane sheet with uniform surface charge density σ.
• Choose a Gaussian surface as a cylinder (pillbox) with its axis perpendicular to the sheet, crossing through it.
• By symmetry, electric field E is perpendicular to the sheet and constant over each flat face of the cylinder.
• Flux through curved surface is zero (E parallel to surface).
• Flux through each flat face = E × A (where A is area of face).
• Total flux = 2EA (for two faces).
• Charge enclosed = σA.
• Applying Gauss's law: 2EA = σA / ε₀
• Thus, E = σ / (2ε₀)

Expression: E = σ / (2ε₀) (directed away from sheet if σ positive, towards if negative)

For the given figure (electric flux through surface): (Assuming a closed surface with charge q inside) Electric flux = q / ε₀

हल / Solution

संधारित्र की परिभाषा (Definition of Capacitor)

संधारित्र एक ऐसा उपकरण है जो विद्युत आवेश और ऊर्जा को संचित करता है। इसमें दो चालक प्लेटें होती हैं जो एक विद्युतरोधी माध्यम (परावैद्युत) द्वारा पृथक की जाती हैं।

श्रेणी संयोजन में तुल्य धारिता (Equivalent Capacitance in Series)

जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं, तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है (Q), और कुल वोल्टता का विभाजन होता है:

V = V₁ + V₂ + V₃

चूँकि V = Q/C, इसलिए:

Q/C_eq = Q/C₁ + Q/C₂ + Q/C₃

1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂ + 1/C₃

दिए गए परिपथ में V₁ का मान:

C₁ = 2 μF, C₂ = 3 μF, C₃ = 5 μF, V = 10 V

तुल्य धारिता: 1/C_eq = 1/2 + 1/3 + 1/5 = (15 + 10 + 6)/30 = 31/30

C_eq = 30/31 μF

कुल आवेश: Q = C_eq × V = (30/31) × 10 = 300/31 μC

V₁ = Q/C₁ = (300/31) / 2 = 300/(31 × 2) = 150/31 ≈ 4.84 V

गॉस का नियम (Gauss' Law)

कथन: किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स, उस पृष्ठ द्वारा घिरे कुल आवेश का 1/ε₀ गुना होता है।

Φ_E = ∮ E·dA = Q_enclosed / ε₀

अनंत आवेशित समतल चादर के कारण विद्युत क्षेत्र

गॉसियन पृष्ठ: एक बेलनाकार पृष्ठ जिसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A है और जो चादर को समद्विभाजित करता है।

फ्लक्स = E × 2A (दोनों सिरों से)

घिरा आवेश = σA (σ = पृष्ठ आवेश घनत्व)

गॉस के नियम से: E × 2A = σA/ε₀

E = σ/(2ε₀)

यह क्षेत्र चादर के लंबवत और समीप बिंदु पर एकसमान होता है।

दिए गए पृष्ठ से विद्युत फ्लक्स:

कुल घिरा आवेश = q₁ + q₂ + q₃ + q₄ + q₅

= (+2) + (-1) + (+5) + (+3) + (-4) = +5 μC

Φ = Q_enclosed / ε₀ = (5 × 10^-6) / (8.85 × 10^-12)

Φ ≈ 5.65 × 10⁵ Nm²/C

हल / Solution

श्रेणी LCR परिपथ की प्रतिबाधा (Impedance of Series LCR Circuit)

फेजर चित्र: इसमें V_R (धारा I के समान फेज), V_L (I से 90° अग्र), और V_C (I से 90° पश्च) को दर्शाया जाता है। परिणामी वोल्टता V इनका सदिश योग होता है।

प्रतिबाधा का व्यंजक:

V_R = IR, V_L = IX_L, V_C = IX_C (जहाँ X_L = ωL, X_C = 1/ωC)

परिणामी वोल्टता: V = √[V_R² + (V_L - V_C)²]

V = I √[R² + (X_L - X_C)²]

प्रतिबाधा Z = V/I = √[R² + (X_L - X_C)²]

Z = √[R² + (ωL - 1/ωC)²]

कलांतर: tan φ = (X_L - X_C)/R

प्रत्यावर्ती धारा जनित्र (AC Generator) - वैकल्पिक

सिद्धांत: विद्युत चुम्बकीय प्रेरण (फैराडे का नियम)।

चित्र: एक आयताकार कुंडली (N फेरे, क्षेत्रफल A) जो एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र B में कोणीय वेग ω से घूमती है। सर्पी वलय और ब्रशों द्वारा बाह्य परिपथ से जुड़ी होती है।

प्रेरित विद्युत वाहक बल का तात्क्षणिक मान:

कुंडली का क्षेत्रफल सदिश और चुम्बकीय क्षेत्र के बीच कोण θ = ωt (t = 0 पर θ = 0)

चुम्बकीय फ्लक्स: Φ = NBA cos θ = NBA cos ωt

फैराडे के नियम से प्रेरित emf:

ε = -dΦ/dt = -d(NBA cos ωt)/dt

ε = NBAω sin ωt

ε = ε₀ sin ωt, जहाँ ε₀ = NBAω (अधिकतम मान)

यह एक प्रत्यावर्ती emf है जो समय के साथ ज्यावक्रीय रूप से बदलता है।

किरण चित्र

यंग द्वि-स्लिट प्रयोग में, एक एकवर्णी प्रकाश स्रोत S से प्रकाश दो संकीर्ण स्लिटों S₁ और S₂ पर पड़ता है। ये स्लिटें एक-दूसरे से d दूरी पर हैं। स्लिटों से निकलने वाली तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं और पर्दे पर व्यतिकरण फ्रिंज प्रतिरूप उत्पन्न करती हैं। केन्द्रीय बिन्दु O पर दोनों तरंगों का पथांतर शून्य होता है, जिससे वहाँ चमकीला फ्रिंज बनता है।

प्रदीप्त फ्रिंजों के लिए फ्रिंज चौड़ाई का व्यंजक

मान लीजिए कि स्लिटों S₁ और S₂ के बीच की दूरी d है, स्लिटों से पर्दे की दूरी D है, और प्रकाश की तरंगदैर्घ्य λ है। पर्दे पर किसी बिन्दु P पर पथांतर Δx = S₂P - S₁P = d sinθ ≈ dθ (जब θ छोटा हो)।

प्रदीप्त फ्रिंज के लिए, पथांतर λ का पूर्ण गुणज होना चाहिए: d sinθ = nλ, जहाँ n = 0, ±1, ±2, ...

यदि केन्द्रीय बिन्दु O से nवीं प्रदीप्त फ्रिंज की दूरी yₙ = D tanθ ≈ Dθ = D (nλ/d) = nλD/d

दो क्रमागत प्रदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी (फ्रिंज चौड़ाई) β = yₙ₊₁ - yₙ = (n+1)λD/d - nλD/d = λD/d

अतः प्रदीप्त फ्रिंजों के लिए फ्रिंज चौड़ाई β = λD/d

अदीप्त फ्रिंजों के लिए फ्रिंज चौड़ाई

यदि प्रदीप्त फ्रिंजों के लिए फ्रिंज चौड़ाई 2 mm है, तो अदीप्त फ्रिंजों के लिए भी फ्रिंज चौड़ाई समान होगी, अर्थात 2 mm। क्योंकि दोनों प्रकार के फ्रिंज एक-दूसरे के बीच समान अंतराल पर बनते हैं।

केन्द्रीय बिन्दु की प्रकृति

व्यतिकरण फ्रिंज प्रतिरूप का केन्द्रीय बिन्दु चमकीला (प्रदीप्त) होगा। कारण: केन्द्रीय बिन्दु पर दोनों स्लिटों से आने वाली तरंगों का पथांतर शून्य होता है, जिससे वे समान कला में मिलती हैं और रचनात्मक व्यतिकरण होता है।

किरण चित्र और फोकस दूरी का व्युत्पन्न

अवतल दर्पण के लिए, मुख्य अक्ष के समांतर आने वाली प्रकाश किरणें परावर्तन के बाद फोकस F से होकर गुजरती हैं। मान लीजिए दर्पण का ध्रुव P, वक्रता केंद्र C, और फोकस F है।

सिद्ध करने के लिए: मुख्य अक्ष के समांतर एक किरण दर्पण के बिन्दु M पर आपतित होती है। परावर्तन के बाद यह फोकस F से होकर जाती है। त्रिज्या CM अभिलंब है। आपतन कोण i = परावर्तन कोण r।

त्रिभुज C M F में, ∠CMF = i और ∠MCF = i (एकांतर कोण)। अतः CF = MF। छोटे कोणों के लिए, MF ≈ PF, इसलिए CF = PF।

चूँकि CP = R (वक्रता त्रिज्या) और CP = CF + FP = 2FP, अतः FP = R/2।

अतः फोकस दूरी f = R/2, अर्थात फोकस दूरी वक्रता त्रिज्या की आधी होती है।

दर्पण समीकरण

अवतल दर्पण के लिए दर्पण समीकरण: 1/f = 1/u + 1/v, जहाँ f = फोकस दूरी, u = वस्तु दूरी, v = प्रतिबिंब दूरी।

प्रकाश का विरल से सघन माध्यम में प्रवेश

जब प्रकाश विरल माध्यम (जैसे वायु) से सघन माध्यम (जैसे काँच) में प्रवेश करता है:

• आवृत्ति (ν): अपरिवर्तित रहती है। आवृत्ति प्रकाश स्रोत पर निर्भर करती है, माध्यम पर नहीं।
• तरंगदैर्घ्य (λ): घट जाती है। क्योंकि चाल v = νλ, और सघन माध्यम में प्रकाश की चाल कम हो जाती है, इसलिए तरंगदैर्घ्य भी कम हो जाती है।