RBSE Class 12th 2015 Mathematics-SS-15-2015 Previous Year Papers

हल: माना सदिशों a और b के बीच का कोण θ है।

सूत्र: a · b = |a| |b| cos θ

⇒ 1 = (1)(2) cos θ

⇒ cos θ = 1/2

⇒ θ = 60° या π/3

Solution: Let θ be the angle between vectors a and b.

Formula: a · b = |a| |b| cos θ

⇒ 1 = (1)(2) cos θ

⇒ cos θ = 1/2

⇒ θ = 60° or π/3

हल: x-अक्ष धनात्मक x-दिशा में है। इसके दिक्-कोजाइन (1, 0, 0) हैं।

Solution: The x-axis is along the positive x-direction. Its direction cosines are (1, 0, 0).

हल: समतल का समीकरण: r · n = d, जहाँ n = 2i + j + 2k और d = 6.

मूल बिन्दु से दूरी = |d| / |n| = 6 / √(2² + 1² + 2²) = 6 / √9 = 6/3 = 2 इकाई।

Solution: Plane equation: r · n = d, where n = 2i + j + 2k and d = 6.

Distance from origin = |d| / |n| = 6 / √(2² + 1² + 2²) = 6 / √9 = 6/3 = 2 units.

हल: असमिका 2x + y ≤ 6 को रेखा 2x + y = 6 द्वारा दर्शाया जाता है। यह रेखा x-अक्ष को (3, 0) पर और y-अक्ष को (0, 6) पर काटती है। x ≥ 0 और y ≥ 0 प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं। सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में रेखा 2x + y = 6 के नीचे का त्रिभुजाकार क्षेत्र है जिसके शीर्ष (0, 0), (3, 0) और (0, 6) हैं।

Solution: The inequality 2x + y ≤ 6 is represented by the line 2x + y = 6. This line meets the x-axis at (3, 0) and the y-axis at (0, 6). x ≥ 0 and y ≥ 0 represent the first quadrant. The feasible region is the triangular area in the first quadrant below the line 2x + y = 6, with vertices (0, 0), (3, 0), and (0, 6).

हल: कुल पत्ते = 52, लाल पत्ते = 26 (13 हुकुम + 13 पान)।

पहला पत्ता लाल होने की प्रायिकता = 26/52 = 1/2

दूसरा पत्ता (बिना प्रतिस्थापन) लाल होने की प्रायिकता = 25/51

अतः दोनों लाल होने की प्रायिकता = (1/2) × (25/51) = 25/102

Solution: Total cards = 52, Red cards = 26 (13 hearts + 13 diamonds).

Probability of first card being red = 26/52 = 1/2

Probability of second card being red (without replacement) = 25/51

Thus, probability that both are red = (1/2) × (25/51) = 25/102

हल: संबंध R को Z पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है: aRb यदि a - b, 3 से विभाज्य है।

स्वतुल्यता: किसी a ∈ Z के लिए, a - a = 0, जो 3 से विभाज्य है। अतः aRa, अतः R स्वतुल्य है।

सममितता: यदि aRb, तो a - b, 3 से विभाज्य है। तब b - a = -(a - b) भी 3 से विभाज्य है। अतः bRa, अतः R सममित है।

संक्रामकता: यदि aRb और bRc, तो a - b और b - c दोनों 3 से विभाज्य हैं। तब (a - b) + (b - c) = a - c भी 3 से विभाज्य है। अतः aRc, अतः R संक्रामक है।

चूँकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, अतः R एक तुल्यता संबंध है।

Solution: Relation R is defined on Z as: aRb if a - b is divisible by 3.

Reflexive: For any a ∈ Z, a - a = 0, which is divisible by 3. Hence aRa, so R is reflexive.

Symmetric: If aRb, then a - b is divisible by 3. Then b - a = -(a - b) is also divisible by 3. Hence bRa, so R is symmetric.

Transitive: If aRb and bRc, then a - b and b - c are both divisible by 3. Then (a - b) + (b - c) = a - c is also divisible by 3. Hence aRc, so R is transitive.

Since R is reflexive, symmetric, and transitive, R is an equivalence relation.

हल:

fog(x) = f(g(x)) = f(2x - 3) = (2x - 3)² + 4 = 4x² - 12x + 9 + 4 = 4x² - 12x + 13

gof(x) = g(f(x)) = g(x² + 4) = 2(x² + 4) - 3 = 2x² + 8 - 3 = 2x² + 5

gog(3) = g(g(3)) = g(2·3 - 3) = g(6 - 3) = g(3) = 2·3 - 3 = 6 - 3 = 3

Solution:

fog(x) = f(g(x)) = f(2x - 3) = (2x - 3)² + 4 = 4x² - 12x + 9 + 4 = 4x² - 12x + 13

gof(x) = g(f(x)) = g(x² + 4) = 2(x² + 4) - 3 = 2x² + 8 - 3 = 2x² + 5

gog(3) = g(g(3)) = g(2·3 - 3) = g(6 - 3) = g(3) = 2·3 - 3 = 6 - 3 = 3

हल (पहला भाग):

हम जानते हैं कि \( 2 \tan^{-1} a = \tan^{-1} \left( \frac{2a}{1-a^2} \right) \)

\( 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} = \tan^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{1}{5}}{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) \)

अब, \( 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7} = \tan^{-1} \frac{5}{12} + \tan^{-1} \frac{1}{7} \)

\( = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{5}{12} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{5}{12} \times \frac{1}{7}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{35 + 12}{84}}{1 - \frac{5}{84}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{47}{84}}{\frac{79}{84}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{47}{79} \right) \)

यहाँ परिणाम \( \tan^{-1} \frac{3}{7} \) नहीं आ रहा है। कृपया प्रश्न की जाँच करें। यदि प्रश्न \( 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7} = \tan^{-1} \frac{3}{7} \) है, तो यह सिद्ध नहीं होता। सही परिणाम \( \tan^{-1} \frac{47}{79} \) है।

हल (दूसरा भाग):

माना \( x = \cos \theta \), तब \( \theta = \cos^{-1} x \) और \( 0 < x < 1 \) के लिए \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \)

\( \sqrt{1+x} = \sqrt{1+\cos \theta} = \sqrt{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{2} \cos \frac{\theta}{2} \)

\( \sqrt{1-x} = \sqrt{1-\cos \theta} = \sqrt{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2} \)

अतः, \( \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}} = \frac{\sqrt{2} \cos \frac{\theta}{2} + \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}}{\sqrt{2} \cos \frac{\theta}{2} - \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} \)

अंश और हर को \( \cos \frac{\theta}{2} \) से भाग देने पर:

\( = \frac{1 + \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan \frac{\theta}{2}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \)

इसलिए, \( \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}} \right) = \tan^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right] = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1} x \)

यही सिद्ध करना था।

हल:

पहले \( A^2 \) ज्ञात करते हैं:

\( A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)

\( A^2 = \begin{bmatrix} 1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2 & 1\cdot2+2\cdot1+2\cdot2 & 1\cdot2+2\cdot2+2\cdot1 \\ 2\cdot1+1\cdot2+2\cdot2 & 2\cdot2+1\cdot1+2\cdot2 & 2\cdot2+1\cdot2+2\cdot1 \\ 2\cdot1+2\cdot2+1\cdot2 & 2\cdot2+2\cdot1+1\cdot2 & 2\cdot2+2\cdot2+1\cdot1 \end{bmatrix} \)

\( A^2 = \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2+4 & 2+4+2 \\ 2+2+4 & 4+1+4 & 4+2+2 \\ 2+4+2 & 4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)

अब, \( A^2 - 4A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix} \)

\( A^2 - 4A = \begin{bmatrix} 9-4 & 8-8 & 8-8 \\ 8-8 & 9-4 & 8-8 \\ 8-8 & 8-8 & 9-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 5I_3 \)

दिया है \( A^2 - 4A = kI_3 \), अतः \( k = 5 \)

हल:

किसी बिंदु पर फलन के संतत होने के लिए, उस बिंदु पर फलन की वाम सीमा, दक्षिण सीमा और फलन का मान बराबर होना चाहिए।

वाम सीमा (Left Hand Limit): जब \( x \to 1^- \), तब \( f(x) = 3 - x \)

\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (3 - x) = 3 - 1 = 2 \)

दक्षिण सीमा (Right Hand Limit): जब \( x \to 1^+ \), तब \( f(x) = 1 + x \)

\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (1 + x) = 1 + 1 = 2 \)

फलन का मान \( x = 1 \) पर: \( f(1) = 2 \)

चूँकि \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2 \), अतः फलन \( f(x) \), \( x = 1 \) पर संतत है।

हल (पहला भाग):

दिया है वक्र \( y = x^3 - x^4 \)

स्पर्श रेखा की प्रवणता (Slope of tangent) = \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x^3 \)

जब \( x = 0 \), तब प्रवणता \( m = 3(0)^2 - 4(0)^3 = 0 \)

जब \( x = 0 \), तब \( y = 0^3 - 0^4 = 0 \), अतः बिंदु (0, 0) है।

स्पर्श रेखा की प्रवणता 0 है, अतः स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है। स्पर्श रेखा का समीकरण: \( y = 0

हल (पहला विकल्प):

दिया गया वक्र: \( y = x^3 - x + 4 \)

प्रवणता (स्पर्श रेखा का ढाल) = \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1\)

x = 2 पर, प्रवणता \( m = 3(2)^2 - 1 = 12 - 1 = 11 \)

x = 2 पर y का मान: \( y = (2)^3 - 2 + 4 = 8 - 2 + 4 = 10 \)

बिंदु (2, 10) पर स्पर्श रेखा का समीकरण: \( y - 10 = 11(x - 2) \) ⇒ \( y = 11x - 12 \)

अभिलंब का ढाल = \( -\frac{1}{11} \)

अभिलंब का समीकरण: \( y - 10 = -\frac{1}{11}(x - 2) \) ⇒ \( 11y - 110 = -x + 2 \) ⇒ \( x + 11y = 112 \)

हल (दूसरा विकल्प):

गोले की त्रिज्या \( r = 9 \) cm, त्रुटि \( \Delta r = 0.02 \) cm

गोले का आयतन \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)

आयतन में परिवर्तन की दर: \( \frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 \)

लगभग त्रुटि: \( \Delta V \approx \frac{dV}{dr} \cdot \Delta r = 4\pi (9)^2 \times 0.02 = 4\pi \times 81 \times 0.02 = 6.48\pi \) cm³

अतः आयतन में लगभग त्रुटि \( 6.48\pi \) घन सेमी है।

हल:

दिया गया फलन: \( f(x) = x^3 - 4x + 8 \)

अवकलन करने पर: \( f'(x) = 3x^2 - 4 \)

क्रांतिक बिंदुओं के लिए \( f'(x) = 0 \) ⇒ \( 3x^2 - 4 = 0 \) ⇒ \( x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \)

अन्तराल [1, 5] में केवल \( x = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 \) है।

अब फलन के मान ज्ञात करते हैं:

• \( f(1) = 1 - 4 + 8 = 5 \)
• \( f\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 - 4\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 8 = \frac{8}{3\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}} + 8 = -\frac{16}{3\sqrt{3}} + 8 \) (लगभग 4.92)
• \( f(5) = 125 - 20 + 8 = 113 \)

अतः निरपेक्ष उच्चतम मान = 113 (x = 5 पर) और निरपेक्ष निम्नतम मान = 5 (x = 1 पर) है।

हल (पहला विकल्प):

\(\int \frac{dx}{e^x - 2}\)

माना \( e^x = t \) ⇒ \( e^x dx = dt \) ⇒ \( dx = \frac{dt}{t} \)

समाकल: \(\int \frac{dt}{t(t-2)}\)

आंशिक भिन्नों में: \(\frac{1}{t(t-2)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t-2}\)

हल करने पर: \( A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2} \)

समाकल: \(-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} + \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t-2} = -\frac{1}{2}\ln|t| + \frac{1}{2}\ln|t-2| + C\)

\( = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-2}{t}\right| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{e^x - 2}{e^x}\right| + C\)

हल (दूसरा विकल्प):

\(\int x \tan^{-1} x \, dx\)

खंडशः समाकलन द्वारा: पहला फलन = \(\tan^{-1} x\), दूसरा फलन = \(x\)

\( = \tan^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2} dx\)

\( = \frac{x^2}{2}\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2} dx\)

\( = \frac{x^2}{2}\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx\)

\( = \frac{x^2}{2}\tan^{-1} x - \frac{1}{2}(x - \tan^{-1} x) + C\)

\( = \frac{x^2}{2}\tan^{-1} x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C\)

\( = \frac{1}{2}(x^2 + 1)\tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C\)

हल:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 8x - x^2}}\)

वर्ग पूर्ण करने पर: \(4 + 8x - x^2 = -(x^2 - 8x - 4) = -[(x-4)^2 - 20] = 20 - (x-4)^2\)

समाकल: \(\int \frac{dx}{\sqrt{20 - (x-4)^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x-4}{\sqrt{20}}\right) + C\)

\( = \sin^{-1}\left(\frac{x-4}{2\sqrt{5}}\right) + C\)

हल:

दीर्घवृत्त का समीकरण: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

सममिति के कारण, कुल क्षेत्रफल = 4 × प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल

प्रथम चतुर्थांश में, \( y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \)

क्षेत्रफल = \( 4 \int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \)

\( = \frac{4b}{a} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} \right]_0^a \)

\( = \frac{4b}{a} \left[ 0 + \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - 0 \right] = \frac{4b}{a} \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \pi ab \)

अतः दीर्घवृत्त से घिरा क्षेत्रफल = \(\pi ab\) वर्ग इकाई।

हल:

परवलय: \(x^2 = 4y\) (ऊपर की ओर खुला) और \(y^2 = 4x\) (दाईं ओर खुला)

प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए: \(x^2 = 4y\) से \(y = \frac{x^2}{4}\) को \(y^2 = 4x\) में रखने पर:

\(\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x\) ⇒ \(\frac{x^4}{16} = 4x\) ⇒ \(x^4 = 64x\) ⇒ \(x(x^3 - 64) = 0\)

⇒ \(x = 0\) या \(x = 4\)

प्रतिच्छेद बिंदु: (0, 0) और (4, 4)

अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) \, dx\)

\( = \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) \, dx

हल / Solution:

दिया है: a + λb, c पर लंब है, अतः (a + λb) · c = 0

a + λb = (2i + 2j + 3k) + λ(-i + 2j + k) = (2 - λ)i + (2 + 2λ)j + (3 + λ)k

अब, (a + λb) · c = [(2 - λ)i + (2 + 2λ)j + (3 + λ)k] · (3i + j + 0k)

= (2 - λ)(3) + (2 + 2λ)(1) + (3 + λ)(0)

= 6 - 3λ + 2 + 2λ

= 8 - λ

चूँकि यह शून्य है: 8 - λ = 0 ⇒ λ = 8

अतः λ का मान 8 है।

हल / Solution:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ |AB × AC|

AB = (4-1)i + (2-4)j + (3-1)k = 3i - 2j + 2k

AC = (2-1)i + (3-4)j + (3-1)k = i - j + 2k

AB × AC = | i j k |

| 3 -2 2 |

| 1 -1 2 |

= i[(-2)(2) - (2)(-1)] - j[(3)(2) - (2)(1)] + k[(3)(-1) - (-2)(1)]

= i[-4 + 2] - j[6 - 2] + k[-3 + 2]

= -2i - 4j - k

|AB × AC| = √[(-2)² + (-4)² + (-1)²] = √(4 + 16 + 1) = √21

क्षेत्रफल = ½ × √21 = √21/2 वर्ग इकाई

हल / Solution:

व्यवरोधों को समीकरणों में बदलें:

(i) 3x + 5y = 5 ⇒ y = (5 - 3x)/5

(ii) 5x + 2y = 10 ⇒ y = (10 - 5x)/2

सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु ज्ञात करें:

बिंदु A: (0, 1) [3(0) + 5(1) = 5]

बिंदु B: (0, 5) [5(0) + 2(5) = 10]

बिंदु C: (2, 0) [5(2) + 2(0) = 10]

बिंदु D: (5/3, 0) [3(5/3) + 5(0) = 5]

प्रतिच्छेद बिंदु E: 3x + 5y = 5 और 5x + 2y = 10 को हल करें:

पहले को 2 से और दूसरे को 5 से गुणा करें:

6x + 10y = 10

25x + 10y = 50

घटाने पर: -19x = -40 ⇒ x = 40/19

y = (5 - 3(40/19))/5 = (95/19 - 120/19)/5 = (-25/19)/5 = -5/19 (अमान्य, क्योंकि y ≥ 0)

अतः सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु: A(0,1), D(5/3,0), B(0,5), C(2,0)

Z के मान:

Z(A) = 5(0) + 1 = 1

Z(D) = 5(5/3) + 0 = 25/3 ≈ 8.33

Z(B) = 5(0) + 5 = 5

Z(C) = 5(2) + 0 = 10

न्यूनतम मान Z = 1, बिंदु (0, 1) पर।

हल / Solution:

माना घटना A: योग 7 आना, घटना B: कम से कम एक बार 3 आना।

योग 7 आने की संभावनाएँ: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) ⇒ कुल 6 अनुकूल परिणाम।

इनमें से कम से कम एक 3 वाले: (3,4), (4,3) ⇒ 2 अनुकूल परिणाम।

अतः सप्रतिबंध प्रायिकता P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 2/6 = 1/3

हल / Solution:

यह द्विपद बंटन है: n = 10, p = 1/2 (पट आने की प्रायिकता), q = 1/2

P(X = r) = ⁿC_r p^r q^n-r

P(X = 4) = ¹⁰C₄ (1/2)⁴ (1/2)⁶

= ¹⁰C₄ (1/2)¹⁰

= (210) × (1/1024)

= 210/1024

= 105/512

हल / Solution:

माना Δ = | a+b+2c c c |

| a b+c+2a a |

| b b c+a+2b |

सारणिक में संक्रिया C₁ → C₁ + C₂ + C₃ करने पर:

Δ = | a+b+2c+c+c c c |

| a+b+c+2a+a b+c+2a a |

| b+b+c+a+2b b c+a+2b |

= | a+b+2c+2c c c |

| 2a+b+c+2a b+c+2a a |

| 2b+c+a+2b b c+a+2b |

= | a+3b+2c? पुनः जाँचें:

C₁ में: (a+b+2c) + c + c = a+b+4c

C₁ में: a + (b+c+2a) + a = 4a+b+c

C₁ में: b + b + (c+a+2b) = a+4b+c

अतः Δ = | a+b+4c c c |

| 4a+b+c b+c+2a a |

| a+4b+c b c+a+2b |

अब C₁ से (a+b+c) उभयनिष्ठ लें:

Δ = (a+b+c) | 1 c c |

| 1 b+c+2a a |

| 1 b c+a+2b |

R₂ → R₂ - R₁ और R₃ → R₃ - R₁ करने पर:

Δ = (a+b+c) | 1 c c |

| 0 b+c+2a-c a-c |

| 0 b-c c+a+2b-c |

= (a+b+c) | 1 c c |

| 0 b+2a a-c |

| 0 b-c a+2b |

अब सारणिक का प्रसार करें:

Δ = (a+b+c)[1 × ((b+2a)(a+2b) - (a-c)(b-c)) - 0 + 0]

= (a+b+c)[(b+2a)(a+2b) - (a-c)(b-c)]

= (a+b+c)[ab + 2b² + 2a² + 4ab - (ab - ac - bc + c²)]

= (a+b+c)[5ab + 2a² + 2b² - ab + ac + bc - c²]

= (a+b+c)[4ab + 2a² +

हल:

दिया है: \( y = x^{x^{x^{\ldots \infty}}} \)

इसलिए, \( y = x^y \)

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\( \log y = y \log x \)

अब \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \log x + y \cdot \frac{1}{x} \)

\( \Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \log x \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)

\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y} - \log x \right) = \frac{y}{x} \)

\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - y \log x}{y} \right) = \frac{y}{x} \)

\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x(1 - y \log x)} \)

अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x(1 - y \log x)} \).

हल:

माना \( I = \int_{0}^{\pi} \log(1 + \cos x) \, dx \) ...(i)

गुण \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:

\( I = \int_{0}^{\pi} \log(1 + \cos(\pi - x)) \, dx = \int_{0}^{\pi} \log(1 - \cos x) \, dx \) ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:

\( 2I = \int_{0}^{\pi} [\log(1 + \cos x) + \log(1 - \cos x)] \, dx \)

\( = \int_{0}^{\pi} \log(1 - \cos^2 x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) \, dx \)

\( = 2 \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx \)

\( \Rightarrow I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx \)

पुनः गुण का प्रयोग करने पर:

\( I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin(\pi - x)) \, dx = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx \)

इसलिए, \( 2I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx + \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx \)

\( \Rightarrow I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx \)

अब, \( \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx = -\pi \log 2 \) (ज्ञात मान)

\( \Rightarrow I = -\pi \log 2 \)

अतः, \( \int_{0}^{\pi} \log(1 + \cos x) \, dx = -\pi \log 2 \).

हल (पहला विकल्प):

दिया है: \( (x^2 + y^2) dx - 2xy \, dy = 0 \)

\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy} \)

यह एक समघात अवकल समीकरण है। \( y = vx \) रखने पर:

\( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)

\( \Rightarrow v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2 x^2}{2x(vx)} = \frac{1 + v^2}{2v} \)

\( \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 - v^2}{2v} \)

\( \Rightarrow \frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x} \)

समाकलन करने पर:

\( \int \frac{2v}{1 - v^2} dv = \int \frac{dx}{x} \)

\( \Rightarrow -\log|1 - v^2| = \log|x| + \log C \)

\( \Rightarrow \log\left|\frac{1}{1 - v^2}\right| = \log|Cx| \)

\( \Rightarrow \frac{1}{1 - v^2} = Cx \)

\( v = \frac{y}{x} \) रखने पर:

\( \frac{1}{1 - \frac{y^2}{x^2}} = Cx \Rightarrow \frac{x^2}{x^2 - y^2} = Cx \)

\( \Rightarrow x^2 = Cx(x^2 - y^2) \Rightarrow x = C(x^2 - y^2) \)

अतः, अभीष्ट हल: \( x = C(x^2 - y^2) \).

हल (दूसरा विकल्प):

दिया है: \( \frac{dy}{dx} + 2y \cot x = 4x \csc x \)

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ \( P = 2 \cot x \) और \( Q = 4x \csc x \).

समाकलन गुणांक (I.F.) = \( e^{\int P \, dx} = e^{\int 2 \cot x \, dx} = e^{2 \log|\sin x|} = \sin^2 x \).

अतः, व्यापक हल:

\( y \cdot \sin^2 x = \int (4x \csc x) \cdot \sin^2 x \, dx + C \)

\( = \int 4x \sin x \, dx + C \)

\( = 4 \left[ x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx \right] + C \) (खंडशः समाकलन द्वारा)

\( = -4x \cos x + 4 \sin x + C \)

\( \Rightarrow y \sin^2 x = -4x \cos x + 4 \sin x + C \)

दिया है: \( y = 0 \) जब \( x = \frac{\pi}{2} \).

\( \Rightarrow 0 \cdot \sin^2 \frac{\pi}{2} = -4 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2} + 4 \sin \frac{\pi}{2} + C \)

\( \Rightarrow 0 = 0 + 4 + C \Rightarrow C = -4 \)

अतः, विशिष्ट हल: \( y \sin^2 x = -4x \cos x + 4 \sin x - 4 \).

हल (पहला विकल्प):

पहली रेखा: \( \vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \), \( \vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)

दूसरी रेखा: \( \vec{a_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \), \( \vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \)

\( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \)

\( \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 1) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(1 + 2) = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k} \)

\( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

\( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k}) = -3 + 0 - 6 = -9 \)

न्यूनतम दूरी \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|-9|}{3\sqrt{2}} = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \)

अतः, न्यूनतम दूरी \( \frac{3}{\sqrt{2}} \) इकाई है।

हल (दूसरा विकल्प):

तलों \( x + y + z = 1 \) और \( 2x + 3y + 4z = 5 \) के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तल का समीकरण:

\( (x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + 4z