RBSE Class 12th 2015 Physics-SS-40-2015 Previous Year Papers

उत्तर: निरोधी विभव वह न्यूनतम विभवांतर है जिसे प्रकाश-विद्युत प्रभाव में उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए एनोड और कैथोड के बीच लगाया जाता है, ताकि कोई भी इलेक्ट्रॉन एनोड तक न पहुँच सके और फोटो-धारा शून्य हो जाए।

Answer: Stopping potential is the minimum potential difference applied between the anode and cathode in a photoelectric effect experiment to stop the most energetic photoelectrons from reaching the anode, thus reducing the photocurrent to zero.

हल: कार्य फलन (W) = 3.3 × 10^-19 J, प्लांक स्थिरांक (h) = 6.63 × 10^-34 Js

देहली आवृत्ति (f₀) = W / h = (3.3 × 10^-19) / (6.63 × 10^-34)

f₀ = 4.98 × 10¹⁴ Hz (लगभग)

उत्तर: देहली आवृत्ति ≈ 4.98 × 10¹⁴ हर्टज है।

उत्तर: नाभिक की त्रिज्या R और द्रव्यमान संख्या A में संबंध निम्नलिखित है:

R = R₀ A^1/3

जहाँ R₀ एक नियतांक है जिसका मान लगभग 1.2 × 10^-15 मीटर (1.2 फर्मी) होता है।

Answer: The relation between nuclear radius R and mass number A is given by:

R = R₀ A^1/3

where R₀ is a constant approximately equal to 1.2 × 10^-15 m (1.2 fermi).

उत्तर: दाता अशुद्धि आर्सेनिक (As) है।

Answer: The donor impurity is Arsenic (As).

व्याख्या: आर्सेनिक (As) में 5 संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं, जो सिलिकॉन या जर्मेनियम (4 संयोजी इलेक्ट्रॉन) में मिलाने पर एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है, जिससे n-प्रकार का अर्धचालक बनता है। बोरॉन और ऐलुमिनियम में 3 संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं, जो ग्राही (acceptor) अशुद्धियाँ हैं।

हल: संदेश सिग्नल का शिखर वोल्टता (V_m) = 20 V

वाहक तरंग का शिखर वोल्टता (V_c) = 30 V

माडुलन सूचकांक (m) = V_m / V_c = 20 / 30 = 2/3 ≈ 0.667

उत्तर: माडुलन सूचकांक 0.667 (या 66.7%) है।

उत्तर: यदि विकिरण की तरंगदैर्घ्य घटाई जाती है, तो ऐंटीना द्वारा प्रभावी विकिरित शक्ति बढ़ जाती है।

Answer: If the wavelength of radiation is decreased, the effective power radiated by an antenna increases.

व्याख्या: किसी ऐंटीना द्वारा विकिरित शक्ति तरंगदैर्घ्य के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है (P ∝ 1/λ²)। अतः तरंगदैर्घ्य घटने पर विकिरित शक्ति बढ़ती है।

विधि (Method):

1. मीटर सेतु एक लकड़ी के बोर्ड पर 1 मीटर लंबा मैंगनीन या कॉन्स्टेंटन का तार होता है, जो एक पैमाने के साथ लगा होता है।
2. तार के सिरों A और C पर दो ताँबे की पट्टियाँ होती हैं, जिनके बीच एक गैप होता है जिसमें अज्ञात प्रतिरोध (R) और ज्ञात प्रतिरोध (S) जोड़े जाते हैं।
3. एक गैल्वेनोमीटर और एक जॉकी की सहायता से तार पर वह बिंदु B ज्ञात किया जाता है जहाँ गैल्वेनोमीटर में कोई विक्षेप नहीं होता (शून्य बिंदु)।
4. इस स्थिति में, सेतु संतुलित होता है और तार के दो भागों AB और BC के प्रतिरोध उनकी लंबाइयों L और (100 - L) के समानुपाती होते हैं।

सूत्र की व्युत्पत्ति (Derivation of Formula):

माना AB भाग की लंबाई L सेमी है, तो BC भाग की लंबाई (100 - L) सेमी होगी।

सेतु संतुलन की स्थिति में, व्हीटस्टोन सेतु के सिद्धांत से:

R / S = (AB तार का प्रतिरोध) / (BC तार का प्रतिरोध)

चूँकि तार एकसमान है, प्रतिरोध लंबाई के समानुपाती होता है। अतः:

R / S = L / (100 - L)

अतः अज्ञात प्रतिरोध:

R = S × [L / (100 - L)]

परिपथ चित्र (Circuit Diagram):

[चित्र: एक सीधी रेखा AC (1 मीटर तार) जिसके सिरों पर बैटरी जुड़ी है। A और C के बीच में B पर जॉकी। A और B के बीच अज्ञात प्रतिरोध R, B और C के बीच ज्ञात प्रतिरोध S। गैल्वेनोमीटर B और जॉकी के बीच।]

दिकृपात कोण (Magnetic Declination): किसी स्थान पर चुम्बकीय याम्योत्तर (जिस दिशा में चुम्बकीय सुई संकेत करती है) और भौगोलिक याम्योत्तर (उत्तर-दक्षिण दिशा) के बीच के कोण को दिकृपात कोण कहते हैं।

हल (Solution):

दिया है:

• क्षैतिज घटक (H) = 0.25 गाउस
• नमन कोण (δ) = 60°

पृथ्वी के चुम्बकीय क्षेत्र का कुल मान (B_E) ज्ञात करना है।

हम जानते हैं: H = B_E cos δ

अतः B_E = H / cos δ

cos 60° = 1/2 = 0.5

B_E = 0.25 / 0.5 = 0.5 गाउस

अतः इस स्थान पर पृथ्वी का चुम्बकीय क्षेत्र 0.5 गाउस है।

Angle of Declination: It is the angle between the magnetic meridian (the vertical plane in which a freely suspended magnet aligns itself) and the geographic meridian (the true north-south direction) at a given place.

Solution:

Given: Horizontal component, B_H = 0.25 gauss; Dip angle, δ = 60°.

We know: B_H = B_E cos δ, where B_E is the earth's total magnetic field.

So, B_E = B_H / cos δ = 0.25 / cos 60° = 0.25 / 0.5 = 0.5 gauss.

Answer: Earth's magnetic field = 0.5 gauss.

Lenz's Law: The direction of induced emf (or induced current) in a circuit is always such that it opposes the change in magnetic flux that produces it.

Solution:

Given: Length of wire, l = 2 m; Speed, v = 5 m/s; Horizontal component of earth's magnetic field, B_H = 0.3 × 10⁻⁴ T.

The wire falls perpendicular to B_H, so induced emf, ε = B_H l v.

ε = (0.3 × 10⁻⁴) × 2 × 5 = 0.3 × 10⁻⁴ × 10 = 3 × 10⁻⁴ V = 0.3 mV.

Answer: Instantaneous induced emf = 3 × 10⁻⁴ V (or 0.3 mV).

Diagram: (A typical diagram showing electric field (E) and magnetic field (B) perpendicular to each other and to the direction of propagation, with sinusoidal variations in phase.)

Two properties of electromagnetic waves:

1. Electromagnetic waves do not require a medium for propagation; they can travel through vacuum.
2. They are transverse waves, with electric and magnetic field vectors perpendicular to each other and to the direction of wave propagation.

Solution:

Given: B₀ = 5.0 × 10⁻⁷ T.

In vacuum, the relation between electric field amplitude (E₀) and magnetic field amplitude (B₀) is: E₀ = c B₀, where c = 3 × 10⁸ m/s.

So, E₀ = (3 × 10⁸) × (5.0 × 10⁻⁷) = 15 × 10¹ = 150 V/m.

Answer: Electric field amplitude = 150 V/m.

हल:

(a) रेखीय ध्रुवित विद्युत चुम्बकीय तरंग का संचरण आरेख:

एक रेखीय ध्रुवित विद्युत चुम्बकीय तरंग में, विद्युत क्षेत्र (E) और चुम्बकीय क्षेत्र (B) एक-दूसरे के लंबवत होते हैं तथा दोनों तरंग के संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं। तरंग संचरण की दिशा x-अक्ष के अनुदिश मानी जा सकती है। विद्युत क्षेत्र y-अक्ष के अनुदिश तथा चुम्बकीय क्षेत्र z-अक्ष के अनुदिश दोलन करता है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों के दो अभिलक्षण:

1. ये अनुप्रस्थ तरंगें हैं, अर्थात् विद्युत एवं चुम्बकीय क्षेत्र तरंग संचरण की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।
2. ये निर्वात में प्रकाश की चाल (c = 3 × 10⁸ m/s) से गमन करती हैं।

(b) विद्युत क्षेत्र के आयाम की गणना:

निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए, विद्युत क्षेत्र का आयाम (E₀) और चुम्बकीय क्षेत्र का आयाम (B₀) निम्न संबंध द्वारा जुड़े होते हैं:

E₀ = c × B₀

जहाँ c = 3 × 10⁸ m/s (निर्वात में प्रकाश की चाल) है।

दिया गया है: B₀ = 50 × 10⁻⁸ T

अतः, E₀ = (3 × 10⁸) × (50 × 10⁻⁸) = 150 V/m

अतः विद्युत क्षेत्र का आयाम 150 V/m है।

हल:

जब प्रकाश की एक किरण किसी पारदर्शी माध्यम के पृष्ठ पर ब्रूस्टर कोण (i_B) पर आपतित होती है, तो परावर्तित किरण पूर्णतः ध्रुवित हो जाती है। इस स्थिति में, परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण परस्पर लंबवत होते हैं।

माना आपतन कोण = i_B (ब्रूस्टर कोण), अपवर्तन कोण = r

ब्रूस्टर कोण की शर्त के अनुसार: i_B + r = 90°

अतः, r = 90° − i_B

स्नैल के नियम से: μ = sin i / sin r

जहाँ μ दूसरे माध्यम का पहले माध्यम (वायु) के सापेक्ष अपवर्तनांक है।

i = i_B और r = 90° − i_B रखने पर:

μ = sin i_B / sin (90° − i_B)

चूँकि sin (90° − θ) = cos θ, अतः:

μ = sin i_B / cos i_B = tan i_B

अतः ब्रूस्टर का नियम: μ = tan i_B

अर्थात्, किसी पारदर्शी माध्यम का अपवर्तनांक, ब्रूस्टर कोण की स्पर्शज्या के बराबर होता है।

हल:

दे ब्रोग्ली की परिकल्पना: दे ब्रोग्ली ने परिकल्पना प्रस्तुत की कि गतिशील कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) तरंग जैसा व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। प्रत्येक गतिशील कण से एक तरंग संबद्ध होती है, जिसे दे ब्रोग्ली तरंग कहते हैं। इस तरंग की तरंगदैर्घ्य (λ) कण के संवेग (p) से निम्न प्रकार संबंधित होती है:

λ = h / p

जहाँ h प्लांक स्थिरांक है।

त्वरित इलेक्ट्रॉन की दे ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य का सूत्र:

माना एक इलेक्ट्रॉन (द्रव्यमान m, आवेश e) विरामावस्था से विभव V वोल्ट द्वारा त्वरित किया जाता है। इलेक्ट्रॉन द्वारा अर्जित गतिज ऊर्जा (K) = eV

गतिज ऊर्जा का सूत्र: K = (1/2) mv²

अतः, (1/2) mv² = eV

इससे इलेक्ट्रॉन का वेग: v = √(2eV/m)

इलेक्ट्रॉन का संवेग: p = mv = m × √(2eV/m) = √(2meV)

दे ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य: λ = h / p = h / √(2meV)

अतः त्वरित इलेक्ट्रॉन की दे ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य का सूत्र: λ = h / √(2meV)

यदि h, m और e के मान रखें, तो λ (एंग्स्ट्रॉम में) = 12.27 / √V (लगभग) प्राप्त होता है।

हल (प्रथम विकल्प):

अर्द्ध-आयु की परिभाषा: किसी रेडियोऐक्टिव तत्व की अर्द्ध-आयु (T_1/2) वह समय है जिसमें तत्व के नाभिकों की प्रारंभिक संख्या आधी रह जाती है।

अर्द्ध-आयु का संबंध:

(a) क्षय स्थिरांक (λ) के साथ: T_1/2 = ln 2 / λ = 0.693 / λ

(b) औसत आयु (τ) के साथ: τ = 1 / λ, अतः T_1/2 = 0.693 × τ

हल (द्वितीय विकल्प):

द्रव्यमान क्षति: किसी नाभिक के न्यूक्लिऑनों (प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों) के अलग-अलग द्रव्यमानों का योग, नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान से अधिक होता है। इस अंतर को द्रव्यमान क्षति (Δm) कहते हैं। यह द्रव्यमान नाभिक को बांधने वाली ऊर्जा (बंधन ऊर्जा) में बदल जाता है।

बंधन ऊर्जा प्रति न्यूक्लिऑन: ⁸O¹⁶ में न्यूक्लिऑनों की संख्या = 16 (8 प्रोटॉन + 8 न्यूट्रॉन)

बंधन ऊर्जा प्रति न्यूक्लिऑन = कुल बंधन ऊर्जा / न्यूक्लिऑनों की संख्या = 27.5 MeV / 16 = 1.71875 MeV

1 u का मान जूल में: 1 u = 931.5 MeV/c² = 931.5 × 1.6 × 10⁻¹³ J = 1.49 × 10⁻¹⁰ J (लगभग)

Solution (First option):

Half-life of a radioactive substance is the time in which the number of radioactive nuclei reduces to half of its initial value.

Relation with decay constant (λ): \( T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{\lambda} \)

Relation with mean life (τ): \( T_{1/2} = \tau \ln 2 = 0.693 \tau \)

Solution (Second option):

Mass defect is the difference between the sum of masses of individual nucleons (protons and neutrons) and the actual mass of the nucleus.

Binding energy per nucleon = \( \frac{27.5 \text{ MeV}}{16} = 1.71875 \text{ MeV} \)

1 eV = \( 1.6 \times 10^{-19} \) joule

Solution (Derivation of orbital velocity):

According to Bohr's postulates:

1. Electron revolves in stationary orbits without radiating energy.
2. Angular momentum is quantized: \( mvr = \frac{nh}{2\pi} \)
3. Coulomb force provides centripetal force: \( \frac{kZe^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \)

From Coulomb's law: \( \frac{kZe^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \) ⇒ \( v^2 = \frac{kZe^2}{mr} \) ...(i)

From quantization: \( v = \frac{nh}{2\pi mr} \) ⇒ \( r = \frac{nh}{2\pi mv} \) ...(ii)

Substituting (ii) in (i):

\( v^2 = \frac{kZe^2}{m} \times \frac{2\pi mv}{nh} \) ⇒ \( v = \frac{2\pi kZe^2}{nh} \)

For hydrogen (Z=1): \( v = \frac{2\pi ke^2}{nh} \)

Thus, orbital velocity in n^th orbit: \( v_n = \frac{2\pi ke^2}{nh} \)

Kinetic energy in ground state:

Total energy E = Kinetic energy (K) + Potential energy (U)

For hydrogen atom, U = -2K, so E = K - 2K = -K

Given ground state energy = -X eV, therefore Kinetic energy K = X eV

Answer: Kinetic energy = X eV

Answers:

(a) NAND gate is called universal gate because any other logic gate (AND, OR, NOT, NOR, XOR, XNOR) can be implemented using only NAND gates.

(b) OR gate symbol: A → ⊻ → Y (Standard symbol: curved input side, pointed output)

(c) Without the specific circuit diagram, assuming a simple NOT gate (inverter) from the description: If input A is 0, output Y = 1; if input A is 1, output Y = 0.

(d) Zener diode is used in voltage regulation.

(a) Total Internal Reflection: When a light ray travels from a denser medium to a rarer medium, and the angle of incidence exceeds the critical angle, the ray is completely reflected back into the denser medium. This phenomenon is called total internal reflection.

(b) Diffraction of Light: The bending of light waves around the edges of an obstacle or aperture, causing the wave to spread into the geometrical shadow region, is known as diffraction of light.

(c) Refraction of Light: The change in direction of a light ray when it passes obliquely from one transparent medium to another, due to a change in its speed, is called refraction of light.

Common Emitter Output Characteristics of a Transistor: These are the curves that show the relationship between the collector current (I_C) and the collector-emitter voltage (V_CE) for different fixed values of the base current (I_B). They are obtained by keeping I_B constant and varying V_CE, then plotting I_C versus V_CE.

Circuit Diagram for Common Emitter Configuration of n-p-n Transistor:

        +VCC
         |
         RC
         |
    +----+----+
    |         |
    |         C (Collector)
    |         |
    +----B (Base)----+
    |         |
    RB         E (Emitter)
    |         |
    +----+----+
         |
        GND

The circuit includes a base resistor (R_B) connected between the base and a variable DC source to control base current (I_B), and a collector resistor (R_C) connected between the collector and V_CC. The emitter is common to both input and output circuits.

Answer:

• (a) आकार की दृष्टि से सबसे बड़ा: संग्राहक (Collector) क्षेत्र सबसे बड़ा होता है, क्योंकि इसे अधिक ऊष्मा नष्ट करनी होती है।
• (b) सबसे अधिक अपमिश्रित: उत्सर्जक (Emitter) क्षेत्र सबसे अधिक अपमिश्रित (heavily doped) होता है, ताकि यह अधिक संख्या में आवेश वाहक उत्सर्जित कर सके।

पूर्ण तरंग दिष्टकारी में दो डायोड (D1 और D2) और एक केंद्र-टैप ट्रांसफॉर्मर का उपयोग होता है। परिपथ चित्र में:

• ट्रांसफॉर्मर की प्राथमिक कुंडली AC स्रोत से जुड़ी होती है।
• द्वितीयक कुंडली के दो सिरों पर डायोड D1 और D2 जुड़े होते हैं।
• दोनों डायोड के कैथोड एक साथ जुड़कर लोड प्रतिरोध (RL) से जुड़ते हैं।
• लोड प्रतिरोध का दूसरा सिरा द्वितीयक कुंडली के केंद्र-टैप से जुड़ता है।

AC इनपुट के प्रत्येक अर्ध-चक्र में एक डायोड अग्र-अभिनत होता है और दिष्ट आउटपुट उत्पन्न करता है।

दिए गए ऊर्जा बैंड चित्र में चालन बैंड और संयोजी बैंड के बीच अशुद्धि ऊर्जा स्तर (E_D) चालन बैंड के निकट दिखाया गया है। यह n-प्रकार का अर्द्धचालक है, क्योंकि इसमें दाता अशुद्धि (पंचसंयोजी) मिलाई गई है जो चालन बैंड में इलेक्ट्रॉन प्रदान करती है।

परिपथ चित्र में:

• n-p-n ट्रांजिस्टर का आधार (B) एक वेरिएबल बैटरी (V_BB) और प्रतिरोध (R_B) के माध्यम से जुड़ा होता है।
• एमिटर (E) भू-सम्पर्कित (ground) होता है।
• कलेक्टर (C) एक वेरिएबल बैटरी (V_CC) और लोड प्रतिरोध (R_C) के माध्यम से जुड़ा होता है।
• आधार धारा (I_B) मापने के लिए एमीटर (A) और कलेक्टर धारा (I_C) मापने के लिए एमीटर श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं।
• V_BE और V_CE मापने के लिए वोल्टमीटर समानांतर में जुड़े होते हैं।

(a) Collector region is the largest in size to dissipate heat generated due to high power.

(b) Emitter region is the most heavily doped to provide maximum number of charge carriers (electrons or holes) for current conduction.

पूर्ण तरंग दिष्टकारी में दो डायोड (D1 और D2) और एक केंद्र-टैप ट्रांसफॉर्मर का उपयोग होता है। परिपथ चित्र में:

• ट्रांसफॉर्मर की प्राथमिक कुंडली AC स्रोत से जुड़ी होती है।
• द्वितीयक कुंडली के दो सिरों पर डायोड D1 और D2 जुड़े होते हैं।
• दोनों डायोड के कैथोड एक साथ जुड़कर लोड प्रतिरोध (RL) से जुड़ते हैं।
• लोड प्रतिरोध का दूसरा सिरा द्वितीयक कुंडली के केंद्र-टैप से जुड़ता है।

AC इनपुट के प्रत्येक अर्ध-चक्र में एक डायोड अग्र-अभिनत होता है और दिष्ट आउटपुट उत्पन्न करता है।

In the given energy band diagram, the impurity energy level (E_D) is shown near the conduction band. This indicates an n-type semiconductor, where donor impurities (pentavalent) provide extra electrons to the conduction band.

हल:

भाग 1: आवेशित गोलीय कोश के अंदर विभव सर्वत्र स्थिर तथा पृष्ठ के विभव के बराबर होता है। अतः केंद्र से 5 cm दूरी पर विभव = 0 V.

भाग 2 (अथवा): श्रेणीक्रम में तुल्य धारिता के लिए:

माना दो संधारित्रों की धारिताएँ C₁ और C₂ हैं। श्रेणीक्रम में, प्रत्येक पर आवेश Q समान होता है। कुल विभवांतर V = V₁ + V₂ = Q/C₁ + Q/C₂ = Q(1/C₁ + 1/C₂).

तुल्य धारिता C_eq = Q/V = 1/(1/C₁ + 1/C₂). अतः 1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂.

दो संधारित्रों (प्रत्येक 0 μF) के लिए: श्रेणीक्रम में C_s = 0 μF (व्यावहारिक रूप में शून्य), समांतर क्रम में C_p = 0 + 0 = 0 μF. गुणनफल = 0 × 0 = 0.

भाग 3: परावैद्युत भरने पर धारिता C' = K × C = 2 × 4 μF = 8 μF.

हल:

एम्पियर का परिपथीय नियम: किसी बंद पथ के परितः चुम्बकीय क्षेत्र का रेखीय समाकलन, उस पथ से गुजरने वाली कुल धारा का μ₀ गुना होता है। गणितीय रूप: ∮ B·dl = μ₀ I_enclosed.

लम्बी परिनालिका के अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र: माना परिनालिका में प्रति मीटर फेरों की संख्या n है तथा धारा I प्रवाहित हो रही है। एक आयताकार एम्पियर पथ लेने पर, अक्ष के अनुदिश भुजा L पर क्षेत्र B, अन्य भुजाओं पर शून्य। अतः ∮ B·dl = B L. पथ से गुजरने वाली धारा = n L I. एम्पियर नियम से: B L = μ₀ n L I ⇒ B = μ₀ n I.

साइक्लोट्रॉन की क्रिया विधि: साइक्लोट्रॉन में दो खोखले अर्धवृत्ताकार D-आकार के इलेक्ट्रोड (डीज़) होते हैं, जो एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में रखे होते हैं। डीज़ों के बीच उच्च आवृत्ति का प्रत्यावर्ती विभव लगाया जाता है। आवेशित कण केंद्र से उत्सर्जित होता है और चुम्बकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर चलता है। प्रत्येक अर्धचक्र में डीज़ों के बीच विभव की दिशा बदलती है, जिससे कण त्वरित होता है और त्रिज्या बढ़ती जाती है।

(a) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति: आवेश q, द्रव्यमान m, चुम्बकीय क्षेत्र B में वृत्तीय गति के लिए: qvB = mv²/r ⇒ कोणीय वेग ω = v/r = qB/m. आवृत्ति f = ω/(2π) = qB/(2πm).

(b) आयनों की गतिज ऊर्जा: अधिकतम त्रिज्या R पर: v_max = qBR/m. गतिज ऊर्जा K = ½ m v_max² = ½ m (qBR/m)² = q²B²R²/(2m).

Diagram: A long solenoid with rectangular Amperian loop (abcd) around it. Inside the solenoid, parallel magnetic field lines are shown. The loop has side ab inside (parallel to field), bc and da perpendicular, and cd outside (field zero).

Schematic Sketch: Two Dees (D₁ and D₂) separated by a small gap. A uniform magnetic field (B) is perpendicular to the plane of Dees. An alternating voltage source is connected across the gap. The path of the accelerated particle is a spiral starting from the center and moving outward.

Derivation of the Relation for Refraction at a Spherical Surface

Let the object distance = u, image distance = v, radius of curvature = R, refractive indices of the two media = n₁ and n₂.

Using Snell's law and small angle approximations (paraxial rays), the relation is derived as:

n₂/v – n₁/u = (n₂ – n₁)/R

This is the formula for refraction at a single spherical surface.

Derivation of Fringe Width for Bright Fringes

Let the distance between the two slits = d, distance from slits to screen = D, and wavelength of light = λ.

For a bright fringe at a point P on the screen, the path difference between the two waves must be an integral multiple of λ:

Path difference = nλ (where n = 0, 1, 2, ...)

From geometry, path difference = d sinθ ≈ d (y/D) for small angles, where y is the distance of the bright fringe from the central maximum.

Thus, d (y_n/D) = nλ

So, y_n = nλD/d

The fringe width (β) is the distance between two consecutive bright fringes:

β = y_n+1 – y_n = λD/d

This is the expression for fringe width in Young's double slit experiment.