RBSE Class 12th 2016 Mathematics-SS-15-2016 Previous Year Papers

Solution (First part):

Given f(x) = x³ – 6x + 5

f'(x) = 3x² – 6 = 3(x² – 2)

Set f'(x) = 0 ⇒ 3(x² – 2) = 0 ⇒ x = ±√2

Intervals: (-∞, -√2), (-√2, √2), (√2, ∞)

• For x < -√2, f'(x) > 0 ⇒ strictly increasing
• For -√2 < x < √2, f'(x) < 0 ⇒ strictly decreasing
• For x > √2, f'(x) > 0 ⇒ strictly increasing

Answer: Strictly increasing in (-∞, -√2) ∪ (√2, ∞); strictly decreasing in (-√2, √2).

Solution:

Let r = radius, A = area of circle.

Given dr/dt = 5 cm/sec, r = 6 cm.

A = πr²

dA/dt = 2πr (dr/dt) = 2π × 6 × 5 = 60π cm²/sec

Answer: The area is increasing at the rate of 60π cm²/sec.

Solution (First part):

Let I = ∫ (x – 1)(x – log x)² / x dx

Put t = x – log x ⇒ dt = (1 – 1/x) dx = (x – 1)/x dx

So I = ∫ t² dt = t³/3 + C = (x – log x)³/3 + C

Answer: ∫ (x – 1)(x – log x)² / x dx = (x – log x)³/3 + C

Solution:

Let I = ∫ (3x² + 6x + 2) / (x² + 2x + 2) dx

Divide numerator by denominator:

3x² + 6x + 2 = 3(x² + 2x + 2) – 4

So I = ∫ [3 – 4/(x² + 2x + 2)] dx

= 3x – 4 ∫ dx/[(x + 1)² + 1]

= 3x – 4 tan⁻¹(x + 1) + C

Answer: ∫ (3x² + 6x + 2) / (x² + 2x + 2) dx = 3x – 4 tan⁻¹(x + 1) + C

हल:

परवलय \(y^2 = 4x\) और रेखा \(y = x\) के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, \(y = x\) को परवलय में रखने पर:

\(x^2 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0\)

अतः \(x = 0\) या \(x = 4\)। तब \(y = 0\) या \(y = 4\)। प्रतिच्छेदन बिंदु \((0,0)\) और \((4,4)\) हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - x) \, dx\)

= \(\int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx\)

= \(\left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}\)

= \(\left[ \frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{16}{2} \right] - 0\)

= \(\frac{4}{3} \times 8 - 8 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}\) वर्ग इकाई।

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल \(\frac{8}{3}\) वर्ग इकाई है।

हल:

रेखाओं \(y = x + 1\) और \(y = 2x + 1\) का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:

\(x + 1 = 2x + 1 \Rightarrow x = 0\)। तब \(y = 1\)। प्रतिच्छेदन बिंदु \((0,1)\) है।

रेखा \(y = x + 1\) और \(x = 2\) का प्रतिच्छेदन: \(x = 2\) पर \(y = 2 + 1 = 3\)। बिंदु \((2,3)\)।

रेखा \(y = 2x + 1\) और \(x = 2\) का प्रतिच्छेदन: \(x = 2\) पर \(y = 4 + 1 = 5\)। बिंदु \((2,5)\)।

त्रिभुज के शीर्ष \((0,1)\), \((2,3)\), और \((2,5)\) हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_{0}^{2} [(2x + 1) - (x + 1)] \, dx\)

= \(\int_{0}^{2} x \, dx\)

= \(\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{2} = 2\) वर्ग इकाई।

अतः त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल 2 वर्ग इकाई है।

हल:

दिया है: \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0\)

दोनों पक्षों का स्वयं से डॉट गुणन करने पर:

\((\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 0\)

\(\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0\)

चूँकि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) मात्रक सदिश हैं, \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1\), \(\vec{b} \cdot \vec{b} = 1\), \(\vec{c} \cdot \vec{c} = 1\)

\(\Rightarrow 1 + 1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0\)

\(\Rightarrow 3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0\)

\(\Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3\)

\(\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}\)

अतः अभीष्ट मान \(-\frac{3}{2}\) है।

Solution:

Given: \(\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\), \(\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\)

First, find \(2\vec{a} + \vec{b}\) and \(\vec{a} - 2\vec{b}\):

\(2\vec{a} + \vec{b} = 2(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 3\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}\)

\(\vec{a} - 2\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) - 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) - (2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k} = -\hat{i} - 3\hat{k}\)

Now, find a vector perpendicular to both: \((2\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - 2\vec{b})\)

\((2\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - 2\vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & -1 \\ -1 & 0 & -3 \end{vmatrix}\)

= \(\hat{i}(5 \times -3 - (-1) \times 0) - \hat{j}(3 \times -3 - (-1) \times -1) + \hat{k}(3 \times 0 - 5 \times -1)\)

= \(\hat{i}(-15 - 0) - \hat{j}(-9 - 1) + \hat{k}(0 + 5)\)

= \(-15\hat{i} - \hat{j}(-10) + 5\hat{k} = -15\hat{i} + 10\hat{j} + 5\hat{k}\)

Magnitude of this vector: \(\sqrt{(-15)^2 + 10^2 + 5^2} = \sqrt{225 + 100 + 25} = \sqrt{350} = 5\sqrt{14}\)

Unit vector perpendicular to both = \(\frac{-15\hat{i} + 10\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{14}} = \frac{-3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}}\)

Thus, the required unit vector is \(\frac{-3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}}\).

हल:

व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:

1. \(x + y = 200\)
2. \(4x - y = 0 \Rightarrow y = 4x\)
3. \(x = 20\)
4. \(x = 0\) (y-अक्ष)
5. \(y = 0\) (x-अक्ष)

सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए असमिकाओं पर विचार करें:

• \(x + y < 200\): रेखा \(x + y = 200\) के नीचे का क्षेत्र (मूल बिंदु संतुष्ट करता है)।
• \(4x - y < 0 \Rightarrow y > 4x\): रेखा \(y = 4x\) के ऊपर का क्षेत्र (मूल बिंदु संतुष्ट नहीं करता, परीक्षण बिंदु (1,5) संतुष्ट करता है)।
• \(x > 20\): रेखा \(x = 20\) के दाईं ओर का क्षेत्र।
• \(x > 0, y > 0\): प्रथम चतुर्थांश।

प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

• \(x = 20\) और \(y = 4x\) का प्रतिच्छेदन: \(x = 20\) पर \(y = 80\)। बिंदु A(20, 80)।
• \(x = 20\) और \(x + y = 200\) का प्रतिच्छेदन: \(20 + y = 200 \Rightarrow y = 180\)। बिंदु B(20, 180)।
• \(y = 4x\) और \(x + y = 200\) का प्रतिच्छेदन: \(x + 4x = 200 \Rightarrow 5x = 200 \Rightarrow x = 40\), तब \(y = 160\)। बिंदु C(40, 160)।

सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु: A(20, 80), B(20, 180), और C(40, 160) हैं।

इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \(Z = 1000x + 600y\) का मान ज्ञात करें:

• बिंदु A(20, 80): \(Z = 1000(20) + 600(80) = 20000 + 48000 = 68000\)
• बिंदु B(20, 180): \(Z = 1000(20) + 600(180) = 20000 + 108000 = 128000\)
• बिंदु C(40, 160): \(Z = 1000(40) + 600(160) = 40000 + 96000 = 136000\)

बिंदु C(40, 160) पर Z का मान अधिकतम 136000 है।

अतः अधिकतम मान 136000 है, जो \(x = 40\) और \(y = 160\) पर प्राप्त होता है।

हल:

माना घटनाएँ:

• E₁ = थैला A चुनना
• E₂ = थैला B चुनना
• R = लाल गेंद निकालना

चूँकि दोनों थैलों में से किसी एक को चुनने की प्रायिकता समान है:

P(E₁) = P(E₂) = 1/2

थैले A में कुल गेंदें = 2 + 3 = 5, लाल गेंदें = 2

P(R|E₁) = 2/5

थैले B में कुल गेंदें = 3 + 4 = 7, लाल गेंदें = 3

P(R|E₂) = 3/7

बेज़ प्रमेय से, अभीष्ट प्रायिकता:

P(E₂|R) = [P(E₂) × P(R|E₂)] / [P(E₁) × P(R|E₁) + P(E₂) × P(R|E₂)]

= [(1/2) × (3/7)] / [(1/2) × (2/5) + (1/2) × (3/7)]

= (3/14) / (1/5 + 3/14)

= (3/14) / (14/70 + 15/70)

= (3/14) / (29/70)

= (3/14) × (70/29)

= 15/29

उत्तर: अतः गेंद के थैले B से निकाले जाने की प्रायिकता = 15/29 है।

हल:

माना X = खराब बल्बों की संख्या। X के संभावित मान 0, 1, 2 हैं।

कुल बल्ब = 30, खराब बल्ब = 6, अच्छे बल्ब = 24

बिना प्रतिस्थापना के 2 बल्ब निकालने पर कुल संभावित परिणाम = ³⁰C₂

P(X = 0): दोनों बल्ब अच्छे हों

P(X=0) = ²⁴C₂ / ³⁰C₂ = (24×23/2) / (30×29/2) = (276) / (435) = 92/145

P(X = 1): एक खराब और एक अच्छा

P(X=1) = (⁶C₁ × ²⁴C₁) / ³⁰C₂ = (6 × 24) / 435 = 144/435 = 48/145

P(X = 2): दोनों खराब

P(X=2) = ⁶C₂ / ³⁰C₂ = (6×5/2) / 435 = 15/435 = 1/29

अतः प्रायिकता बंटन:

सत्यापन: 92/145 + 48/145 + 5/145 = 145/145 = 1

हल:

माना Δ = |a   b²   c+a|

|b   c²   a+b|

|c   a²   b+c|

चरण 1: संक्रिया C₃ → C₃ + C₁ करने पर:

Δ = |a   b²   a+b+c|

|b   c²   a+b+c|

|c   a²   a+b+c|

चरण 2: C₃ से (a+b+c) उभयनिष्ठ लेने पर:

Δ = (a+b+c) |a   b²   1|

|b   c²   1|

|c   a²   1|

चरण 3: संक्रियाएँ R₂ → R₂ − R₁ और R₃ → R₃ − R₁ करने पर:

Δ = (a+b+c) |a   b²   1|

|b−a   c²−b²   0|

|c−a   a²−b²   0|

चरण 4: प्रथम स्तम्भ (C₁) के अनुदिश प्रसार करने पर:

Δ = (a+b+c) × 1 × |b−a   c²−b²|

|c−a   a²−b²|

चरण 5: सरल करने पर:

= (a+b+c) [(b−a)(a²−b²) − (c−a)(c²−b²)]

= (a+b+c) [(b−a)(a−b)(a+b) − (c−a)(c−b)(c+b)]

= (a+b+c) [−(a−b)²(a+b) − (c−a)(c−b)(c+b)]

= (a+b+c)(a−b)(b−c)(c−a)

अतः सिद्ध हुआ: Δ = (a+b+c)(a−b)(b−c)(c−a)

हल:

दिया है: \( y = (\sin^{-1} x)^2 \)

पहला अवकलज: \(\frac{dy}{dx} = 2 \sin^{-1} x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)

या \(\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = 2 \sin^{-1} x\)

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:

\(\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}\)

दोनों पक्षों को \(\sqrt{1 - x^2}\) से गुणा करने पर:

\((1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = 2\)

अतः \((1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} - 2 = 0\) सिद्ध होता है।

हल:

माना \( I = \int \frac{x \sin x}{1 + \cos x} dx \)

हम जानते हैं: \(\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}\) और \(1 + \cos x = 2 \cos^2\frac{x}{2}\)

इसलिए: \(\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{2 \cos^2\frac{x}{2}} = \tan\frac{x}{2}\)

अतः \( I = \int x \cdot \tan\frac{x}{2} dx \)

खण्डशः समाकलन करने पर:

\( I = x \cdot \int \tan\frac{x}{2} dx - \int \left[ \frac{d}{dx}(x) \cdot \int \tan\frac{x}{2} dx \right] dx \)

\( = x \cdot (-2 \ln|\cos\frac{x}{2}|) - \int (-2 \ln|\cos\frac{x}{2}|) dx \)

\( = -2x \ln|\cos\frac{x}{2}| + 2 \int \ln|\cos\frac{x}{2}| dx \)

\( = -2x \ln|\cos\frac{x}{2}| + 2 \left[ x \ln|\cos\frac{x}{2}| - \int x \cdot \frac{-\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} dx \right] \)

\( = -2x \ln|\cos\frac{x}{2}| + 2x \ln|\cos\frac{x}{2}| + \int x \tan\frac{x}{2} dx \)

\( = 0 + I \)

यह विधि चक्रीय हो जाती है। अतः दूसरी विधि से:

\( I = \int \frac{x \sin x}{1 + \cos x} dx = \int x \tan\frac{x}{2} dx \)

माना \( t = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2t, dx = 2 dt \)

\( I = \int 2t \cdot \tan t \cdot 2 dt = 4 \int t \tan t dt \)

खण्डशः समाकलन से:

\( I = 4 \left[ t \cdot (-\ln|\cos t|) - \int (-\ln|\cos t|) dt \right] \)

\( = -4t \ln|\cos t| + 4 \int \ln|\cos t| dt \)

\( = -4t \ln|\cos t| + 4 \left[ t \ln|\cos t| - \int t \cdot (-\tan t) dt \right] \)

\( = -4t \ln|\cos t| + 4t \ln|\cos t| + 4 \int t \tan t dt \)

\( = 0 + I \) (पुनः चक्रीय)

सही विधि: \( I = \int x \tan\frac{x}{2} dx \) को खण्डशः लेने पर:

\( I = x \cdot (-2 \ln|\cos\frac{x}{2}|) - \int 1 \cdot (-2 \ln|\cos\frac{x}{2}|) dx \)

\( = -2x \ln|\cos\frac{x}{2}| + 2 \int \ln|\cos\frac{x}{2}| dx \)

अब \(\int \ln|\cos\frac{x}{2}| dx\) का मान ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का प्रयोग करें:

\(\int \ln(\cos u) du = -\frac{u^2}{2} + u \ln(\cos u) + \frac{1}{2} \text{Li}_2(-\tan^2 u) + C\) (यह उच्च स्तरीय है)

अतः सरल विधि: \( I = x \tan\frac{x}{2} dx \) को सीधे समाकलित नहीं किया जा सकता।

वैकल्पिक विधि: \( I = \int \frac{x \sin x}{1 + \cos x} dx = \int x \cdot \frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{2 \cos^2\frac{x}{2}} dx = \int x \tan\frac{x}{2} dx \)

माना \( u = x, dv = \tan\frac{x}{2} dx \)

\( du = dx, v = -2 \ln|\cos\frac{x}{2}| \)

\( I = -2x \ln|\cos\frac{x}{2}| + 2 \int \ln|\cos\frac{x}{2}| dx \)

अब \(\int \ln|\cos\frac{x}{2}| dx\) के लिए माना \( t = \frac{x}{2} \Rightarrow dx = 2 dt \)

\( \int \ln|\cos\frac{x}{2}| dx = 2 \int \ln|\cos t| dt \)

मानक परिणाम: \(\int \ln(\cos t) dt = \frac{1}{2} [ -t^2 + 2t \ln(\cos t) + \text{Li}_2(-e^{2it}) ] + C\) (सम्मिश्र)

अतः सरलतम रूप में उत्तर: \( I = -2x \ln|\cos\frac{x}{2}| + 2 \int \ln|\cos\frac{x}{2}| dx + C \)

या \( I = x \tan\frac{x}{2} - 2 \ln|\sec\frac{x}{2}| + C \) (यह सरलीकृत रूप है)

हल (पहला भाग):

दिया है: \(2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0\)

⇒ \(2x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + y^2\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^2}{2x^2} = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{2x^2}\)

यह एक समघात अवकल समीकरण है। माना \(y = vx\), तब \(\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\)

⇒ \(v + x\frac{dv}{dx} = v + \frac{v^2}{2}\)

⇒ \(x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{2}\)

⇒ \(\frac{2}{v^2} dv = \frac{dx}{x}\)

समाकलन करने पर:

\(\int \frac{2}{v^2} dv = \int \frac{dx}{x}\)

⇒ \(-\frac{2}{v} = \ln|x| + C\)

⇒ \(-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C\)

⇒ \(\frac{2x}{y} + \ln|x| + C = 0\)

अतः अभीष्ट हल: \(\frac{2x}{y} + \ln|x| = C\) (या \(-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C\))

हल (दूसरा भाग - अथवा):

दिया है: \(\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x\)

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जो \(\frac{dy}{dx} + P y = Q\) के रूप में है।

यहाँ \(P = \cot x\) और \(Q = 2x + x^2 \cot x\)

समाकलन गुणांक (I.F.) = \(e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x\)

अतः हल: \(y \cdot \sin x = \int (2x + x^2 \cot x) \cdot \sin x dx + C\)

⇒ \(y \sin x = \int (2x \sin x + x^2 \cot x \sin x) dx + C\)

⇒ \(y \sin x = \int (2x \sin x + x^2 \cos x) dx + C\)

अब \(\int (2x \sin x + x^2 \cos x) dx = \int \frac{d}{dx}(x^2 \sin x) dx\) (क्योंकि \(\frac{d}{dx}(x^2 \sin x) = 2x \sin x + x^2 \cos x\))

⇒ \(\int (2x \sin x + x^2 \cos x) dx = x^2 \sin x + C\)

अतः \(y \sin x = x^2 \sin x + C\)

⇒ \(y = x^2 + C \csc x\)

अतः अभीष्ट हल: \(y = x^2 + C \csc x\)

हल (पहला भाग):

पहली रेखा: \(\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-1}{1}\)

बिंदु \(A(2, -1, 1)\) और दिशा अनुपात \(\vec{b_1} = (1, -2, 1)\)

दूसरी रेखा: \(\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+1}{-1}\)

बिंदु \(B(2, -1, -1)\) और दिशा अनुपात \(\vec{b_2} = (2, 1, -1)\)

दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का सूत्र:

\(d = \frac{|(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{AB})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}\)

यहाँ \(\vec{AB} = B - A = (2-2, -1+1, -1-1) = (0, 0, -2)\)

\(\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}\)

\(= \hat{i}((-2)(-1) - (1)(1)) - \hat{j}((1)(-1) - (1)(2)) + \hat{k}((1)(1) - (-2)(2))\)

\(= \hat{i}(2 - 1) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(1 + 4)\)

\(= \hat{i}(1) - \hat{j}(-3) + \hat{k}(5) = (1, 3, 5)\)

\(|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}\)

\((\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot \vec{AB} = (1, 3, 5) \cdot (0, 0, -2) = 0 + 0 - 10 = -10\)

\(|(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot \vec{AB}| = 10\)

अतः न्यूनतम दूरी \(d = \frac{10}{\sqrt{35}} = \frac{10}{\sqrt{35}}\) इकाई

या \(d = \frac{2\sqrt{35}}{7}\) इकाई (सरल करने पर)

हल (दूसरा भाग - अथवा):

माना समतल के अंत:खण्ड a, b, c हैं। तब समतल का समीकरण:

\(\frac{x}{a} + \

Solution:

Step 1: Identify direction vectors and points on each line.

Line 1: Point A(1, 0, 1), direction vector \(\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}\)

Line 2: Point B(2, 1, -1), direction vector \(\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\)

Step 2: Find vector connecting points: \(\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}\)

Step 3: Compute cross product of direction vectors:

\[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+2) = 0\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \]

So, \(\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 3\hat{j} + 3\hat{k}\)

Step 4: Magnitude of cross product:

\[ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Step 5: Compute scalar triple product:

\[ (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot \vec{AB} = (0\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 0(1) + 3(1) + 3(-2) = 3 - 6 = -3 \]

Absolute value = 3

Step 6: Shortest distance formula:

\[ d = \frac{|(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot \vec{AB}|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ units} \]

Answer: The shortest distance between the lines is \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) units.

Solution:

Step 1: Equation of plane with intercepts a, b, c on x, y, z axes respectively is:

\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]

Step 2: Rewrite in standard form: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\)

Step 3: Distance of plane from origin (0, 0, 0) is given by:

\[ p = \frac{|0 + 0 + 0 - 1|}{\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} \]

Step 4: Square both sides:

\[ p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} \]

Step 5: Take reciprocal:

\[ \frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \]

Hence proved.