RBSE Class 12th 2017 -SS-15-2017 Previous Year Papers

हल: दिया गया अवकल समीकरण: \(\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 - y^2}\)

चरों को पृथक करने पर: \(\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = dx\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:

\(\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \int dx\)

\(\sin^{-1} y = x + C\)

अतः व्यापक हल: \(\sin^{-1} y = x + C\) है।

हल: दो सदिशों के बीच कोण \(\theta\) का सूत्र: \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(0) + (1)(1) + (0)(-1) = 1\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)

\(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)

अतः \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ\) या \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन।

हल: माना रेखा खण्ड की लम्बाई \(l\) है। अक्षों पर प्रक्षेप क्रमशः 3, 4, 2 हैं।

दिक्-कोज्याएँ \(l, m, n\) हैं, तब:

\(l = \frac{3}{r}, m = \frac{4}{r}, n = \frac{2}{r}\)

हम जानते हैं: \(l^2 + m^2 + n^2 = 1\)

\(\left(\frac{3}{r}\right)^2 + \left(\frac{4}{r}\right)^2 + \left(\frac{2}{r}\right)^2 = 1\)

\(\frac{9 + 16 + 4}{r^2} = 1 \Rightarrow \frac{29}{r^2} = 1 \Rightarrow r = \sqrt{29}\)

अतः दिक्-कोज्याएँ: \(\frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}, \frac{2}{\sqrt{29}}\) हैं।

हल: दूसरे समतल को सरल करने पर: \(2x + 4y + 6z = 6 \Rightarrow x + 2y + 3z = 3\)

अब दो समांतर समतलों \(x + 2y + 3z = 1\) और \(x + 2y + 3z = 3\) के बीच की दूरी:

दूरी = \(\frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{14}}\)

अतः दोनों समतलों के बीच की दूरी \(\frac{2}{\sqrt{14}}\) मात्रक है।

हल: सर्वप्रथम रेखा \(3x + 2y = 12\) खींचते हैं। यह रेखा x-अक्ष को (4, 0) पर तथा y-अक्ष को (0, 6) पर काटती है।

असमिका \(3x + 2y \le 12\) में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर: \(0 \le 12\) सत्य है, अतः सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।

\(x \ge 0\) और \(y \ge 0\) प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं।

अतः सुसंगत हल क्षेत्र त्रिभुज OAB है, जहाँ O(0,0), A(4,0), B(0,6) हैं। (उत्तर पुस्तिका में छायांकित क्षेत्र दर्शाएँ।)

हल: प्रश्न में घटनाओं के स्वतंत्र होने का उल्लेख नहीं है। यदि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0.6 × 0.7 = 0.42

यदि घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हैं, तो P(A ∩ B) ज्ञात करने के लिए अतिरिक्त जानकारी आवश्यक है। सामान्यतः स्वतंत्र घटनाएँ मानकर उत्तर 0.42 होगा।

हल: R को तुल्यता सम्बन्ध सिद्ध करने के लिए हमें स्वतुल्यता, सममितता और संक्रामकता सिद्ध करनी होगी।

1. स्वतुल्यता: किसी भी (a, b) ∈ N × N के लिए, a·b = b·a (गुणन क्रम विनिमेय है), अतः (a, b) R (a, b) सत्य है। इसलिए R स्वतुल्य है।
2. सममितता: माना (a, b) R (c, d) ⇒ ad = bc। तब cb = da (गुणन क्रम विनिमेय से) ⇒ (c, d) R (a, b)। अतः R सममित है।
3. संक्रामकता: माना (a, b) R (c, d) और (c, d) R (e, f)। तब ad = bc और cf = de। पहली समीकरण से a = bc/d (d ≠ 0)। दूसरी से c = de/f। तब a·f = (bc/d)·f = b·(cf)/d = b·(de)/d = be। अतः (a, b) R (e, f)। इसलिए R संक्रामक है।

चूँकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

हल:

1. क्रम विनिमेयता: a * b = 2ab/3 और b * a = 2ba/3 = 2ab/3 (गुणन क्रम विनिमेय से)। अतः a * b = b * a, इसलिए संक्रिया क्रम विनिमेय है।
2. साहचर्यता: (a * b) * c = (2ab/3) * c = 2·(2ab/3)·c / 3 = 4abc/9।
   a * (b * c) = a * (2bc/3) = 2·a·(2bc/3) / 3 = 4abc/9।
   अतः (a * b) * c = a * (b * c), इसलिए संक्रिया साहचर्य है।
3. तत्समक अवयव: माना e तत्समक अवयव है, तब a * e = a ∀ a ∈ Q।
   ⇒ 2ae/3 = a ⇒ 2e/3 = 1 ⇒ e = 3/2।
   जाँच: a * (3/2) = 2a·(3/2)/3 = a, और (3/2) * a = 2·(3/2)·a/3 = a।
   अतः तत्समक अवयव 3/2 है।

हल: माना sin⁻¹(3/5) = A, तब sin A = 3/5, cos A = √(1 - 9/25) = 4/5।
माना sin⁻¹(7/25) = B, तब sin B = 7/25, cos B = √(1 - 49/625) = √(576/625) = 24/25।
अब, sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B = (3/5)(24/25) + (4/5)(7/25) = 72/125 + 28/125 = 100/125 = 4/5।
अतः A + B = sin⁻¹(4/5) = cos⁻¹(3/5) (क्योंकि sin⁻¹(4/5) = cos⁻¹(3/5))।
इस प्रकार, sin⁻¹(3/5) + sin⁻¹(7/25) = cos⁻¹(3/5) सिद्ध हुआ।

हल: दिया है: tan⁻¹( (1 - x) / (1 + x) ) = (1/2) tan⁻¹ x
माना tan⁻¹ x = θ, तब x = tan θ, और θ ∈ (0, π/2) क्योंकि x > 0।
बायाँ पक्ष: tan⁻¹( (1 - tan θ) / (1 + tan θ) ) = tan⁻¹( tan(π/4 - θ) ) = π/4 - θ (क्योंकि π/4 - θ ∈ (-π/4, π/4) जो tan⁻¹ की मुख्य शाखा में है)।
दायाँ पक्ष: (1/2) θ
अतः π/4 - θ = θ/2 ⇒ π/4 = 3θ/2 ⇒ θ = π/6
⇒ x = tan(π/6) = 1/√3

अतः हल: x = 1/√3

हल:

पहले आव्यूह गुणन करें:

[x -5 -1] * [[0, 2, 1], [0, 2, 1], [2, 0, 3]]

= [x*0 + (-5)*0 + (-1)*2, x*2 + (-5)*2 + (-1)*0, x*1 + (-5)*1 + (-1)*3]

= [0 + 0 - 2, 2x - 10 + 0, x - 5 - 3]

= [-2, 2x - 10, x - 8]

अब इसका [x, 4, 1]^T से गुणन:

[-2, 2x - 10, x - 8] * [[x], [4], [1]]

= (-2)*x + (2x - 10)*4 + (x - 8)*1

= -2x + 8x - 40 + x - 8

= 7x - 48

प्रश्नानुसार, 7x - 48 = 0

अतः x = 48/7

हल:

फलन x = 3 पर सतत है, अतः बायाँ सीमा = दायाँ सीमा = f(3)

बायाँ सीमा (LHL) = lim_{x→3⁻} f(x) = k(3) + 1 = 3k + 1

दायाँ सीमा (RHL) = lim_{x→3⁺} f(x) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4

f(3) = k(3) + 1 = 3k + 1

सततता के लिए: 3k + 1 = 4

⇒ 3k = 3

⇒ k = 1

हल:

दी गई रेखा 2x + y + 3 = 0 का ढाल (slope) = -2

वक्र का ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करें:

dy/dx = 2x - 2

स्पर्श रेखा रेखा के समांतर है, अतः 2x - 2 = -2

⇒ 2x = 0

⇒ x = 0

जब x = 0, तब y = 0² - 2(0) + 7 = 7

स्पर्श रेखा का समीकरण (बिंदु (0,7) और ढाल -2):

y - 7 = -2(x - 0)

⇒ y - 7 = -2x

⇒ 2x + y - 7 = 0

हल:

माना y = √x, जहाँ x = 36 और Δx = 1

dy/dx = 1/(2√x)

x = 36 पर, dy/dx = 1/(2√36) = 1/(2*6) = 1/12

Δy ≈ (dy/dx) * Δx = (1/12) * 1 = 0.0833

अतः √37 = √(36 + 1) ≈ √36 + Δy

≈ 6 + 0.0833

≈ 6.0833

अतः √37 का निकटतम मान लगभग 6.0833 है।

हल / Solution:

दिया गया फलन: \( f(x) = x + \frac{2}{x} \)

प्रथम अवकलज: \( f'(x) = 1 - \frac{2}{x^2} \)

उच्चतम/निम्नतम के लिए \( f'(x) = 0 \) रखने पर:

\( 1 - \frac{2}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \)

द्वितीय अवकलज: \( f''(x) = \frac{4}{x^3} \)

\( x = \sqrt{2} \) पर: \( f''(\sqrt{2}) = \frac{4}{(\sqrt{2})^3} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0 \) ⇒ निम्नतम बिंदु

\( x = -\sqrt{2} \) पर: \( f''(-\sqrt{2}) = \frac{4}{(-\sqrt{2})^3} = -\frac{4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0 \) ⇒ उच्चतम बिंदु

निम्नतम मान: \( f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)

उच्चतम मान: \( f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \)

अतः उच्चतम मान = \( -2\sqrt{2} \) तथा निम्नतम मान = \( 2\sqrt{2} \)

हल (पहला भाग) / Solution (First part):

\( I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx \)

हम जानते हैं: \( \sin x = \frac{1}{2}[(\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)] \)

\( I = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} \, dx \)

\( = \frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} \right) dx \)

\( = \frac{1}{2} \left[ \int 1 \, dx - \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} \, dx \right] \)

माना \( t = \sin x + \cos x \), तब \( dt = (\cos x - \sin x) dx \)

\( I = \frac{1}{2} \left[ x - \int \frac{dt}{t} \right] = \frac{1}{2} [x - \ln|t|] + C \)

\( = \frac{1}{2} [x - \ln|\sin x + \cos x|] + C \)

अतः \( \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln|\sin x + \cos x| + C \)

हल (दूसरा भाग) / Solution (Second part):

\( I = \int \frac{1}{x + x^2} \, dx = \int \frac{1}{x(1+x)} \, dx \)

आंशिक भिन्नों में वियोजन: \( \frac{1}{x(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+x} \)

\( 1 = A(1+x) + Bx \)

\( x = 0 \) रखने पर: \( 1 = A(1) \Rightarrow A = 1 \)

\( x = -1 \) रखने पर: \( 1 = B(-1) \Rightarrow B = -1 \)

\( I = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} \right) dx = \ln|x| - \ln|1+x| + C \)

\( = \ln\left| \frac{x}{1+x} \right| + C \)

अतः \( \int \frac{1}{x + x^2} \, dx = \ln\left| \frac{x}{1+x} \right| + C \)

हल / Solution:

खण्डशः समाकलन विधि से (पहला फलन = x, दूसरा फलन = e^x):

\( \int x e^x \, dx = x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(x) \int e^x \, dx \right) dx \)

\( = x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx \)

\( = x e^x - e^x + C \)

\( = e^x (x - 1) + C \)

अतः \( \int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \)

हल / Solution:

दिया गया वक्र: \( y^2 = 16x \Rightarrow y = 4\sqrt{x} \) (प्रथम चतुर्थाश में)

अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{x=2}^{x=4} y \, dx = \int_{2}^{4} 4\sqrt{x} \, dx \)

\( = 4 \int_{2}^{4} x^{1/2} \, dx = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} \)

\( = 4 \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{8}{3} \left[ 4^{3/2} - 2^{3/2} \right] \)

\( = \frac{8}{3} \left[ (\sqrt{4})^3 - (\sqrt{2})^3 \right] = \frac{8}{3} \left[ 2^3 - (\sqrt{2})^3 \right] \)

\( = \frac{8}{3} \left[ 8 - 2\sqrt{2} \right] = \frac{8}{3} \times 2(4 - \sqrt{2}) \)

\( = \frac{16}{3} (4 - \sqrt{2}) \) वर्ग इकाई

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \frac{16}{3} (4 - \sqrt{2}) \) वर्ग इकाई

हल: दोनों वृत्त संकेंद्रित हैं (केंद्र मूल बिंदु पर)। बड़े वृत्त की त्रिज्या \(R = 3\) और छोटे वृत्त की त्रिज्या \(r = 2\) है। अभीष्ट क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल - छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi R^2 - \pi r^2 = \pi (3^2 - 2^2) = \pi (9 - 4) = 5\pi\) वर्ग इकाई।

हल: चूँकि \(\vec{d}\) सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दोनों के लम्बवत है, इसलिए \(\vec{d}\) सदिश \(\vec{a} \times \vec{b}\) के समान्तर होगा।

\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 + 4) - \hat{j}(9 - 8) + \hat{k}(-6 + 4) = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}\)

माना \(\vec{d} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b}) = \lambda (\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})\)

दिया है: \(\vec{c} \cdot \vec{d} = 1\)

\((2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} - 2\lambda \hat{k}) = 1\)

\(2\lambda - \lambda - 2\lambda = 1 \Rightarrow -\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -1\)

अतः \(\vec{d} = -1(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}\)

हल: पहले \(\vec{a} + \vec{b}\) और \(\vec{a} - \vec{b}\) ज्ञात करते हैं:

\(\vec{a} + \vec{b} = (2+1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (-2+2)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}\)

\(\vec{a} - \vec{b} = (2-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (-2-2)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}\)

अब, \((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 0) - \hat{j}(-12 - 0) + \hat{k}(9 + 1) = 4\hat{i} + 12\hat{j} + 10\hat{k}\)

इस सदिश का परिमाण: \(|4\hat{i} + 12\hat{j} + 10\hat{k}| = \sqrt{4^2 + 12^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 144 + 100} = \sqrt{260} = 2\sqrt{65}\)

अतः अभीष्ट मात्रक सदिश = \(\pm \frac{4\hat{i} + 12\hat{j} + 10\hat{k}}{2\sqrt{65}} = \pm \frac{2\hat{i} + 6\hat{j} + 5\hat{k}}{\sqrt{65}}\)

हल: सर्वप्रथम असमिकाओं को समीकरणों में बदलते हैं:

\(4x + 3y = 2\) ...(i) और \(3x + y = 6\) ...(ii)

समीकरण (i) के लिए बिंदु: जब \(x=0\), \(y=2/3\); जब \(y=0\), \(x=0.5\)।

समीकरण (ii) के लिए बिंदु: जब \(x=0\), \(y=6\); जब \(y=0\), \(x=2\)।

सुसंगत क्षेत्र (feasible region) असमिकाओं \(4x+3y \ge 2\), \(3x+y \le 6\), \(x \ge 0, y \ge 0\) से बनता है। यह एक अपरिबद्ध (unbounded) क्षेत्र है।

सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (corner points) ज्ञात करते हैं:

• बिंदु A: (0, 2/3) (y-अक्ष पर)
• बिंदु B: (0, 6) (y-अक्ष पर)
• बिंदु C: (2, 0) (x-अक्ष पर)
• बिंदु D: (0.5, 0) (x-अक्ष पर)
• बिंदु E: समीकरण (i) और (ii) का प्रतिच्छेदन: (i) और (ii) को हल करने पर, (ii) से \(y = 6 - 3x\) (i) में रखने पर: \(4x + 3(6-3x) = 2 \Rightarrow 4x + 18 - 9x = 2 \Rightarrow -5x = -16 \Rightarrow x = 16/5 = 3.2\), तब \(y = 6 - 3(3.2) = 6 - 9.6 = -3.6\)। चूँकि \(y\) ऋणात्मक है, यह बिंदु सुसंगत क्षेत्र में नहीं है।

अतः सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु हैं: A(0, 2/3), B(0, 6), C(2, 0), D(0.5, 0)।

इन बिंदुओं पर Z का मान ज्ञात करते हैं:

• Z(A) = 20(0) + 60(2/3) = 40
• Z(B) = 20(0) + 60(6) = 360
• Z(C) = 20(2) + 60(0) = 40
• Z(D) = 20(0.5) + 60(0) = 10

Z का न्यूनतम मान बिंदु D(0.5, 0) पर 10 है। चूँकि क्षेत्र अपरिबद्ध है, हमें जाँच करनी होगी कि क्या Z का कोई और न्यूनतम मान संभव है। इसके लिए एक खुली अर्ध-समतल \(20x + 60y < 10\) पर विचार करते हैं। चूँकि मूल बिंदु (0,0) पर \(20(0)+60(0)=0 < 10\) है, और मूल बिंदु सुसंगत क्षेत्र में नहीं है (क्योंकि \(4(0)+3(0)=0 \ge 2\) सत्य नहीं है), इसलिए Z का न्यूनतम मान 10 ही है।

अतः न्यूनतम मान 10 है, जो बिंदु (0.5, 0) पर प्राप्त होता है।

हल:

माना घटनाएँ:

• E₁: पासे पर संख्या 5 आती है
• E₂: पासे पर संख्या 5 नहीं आती
• A: व्यक्ति रिपोर्ट करता है कि संख्या 5 आई है

P(E₁) = 1/6, P(E₂) = 5/6

P(A|E₁) = सत्य बोलने की प्रायिकता = 2/3 (जब वास्तव में 5 आया, तो सच बोलेगा)

P(A|E₂) = झूठ बोलने की प्रायिकता = 1/3 (जब 5 नहीं आया, तो झूठ बोलकर 5 बताएगा)

बेज़ प्रमेय से:

P(E₁|A) = [P(E₁) × P(A|E₁)] / [P(E₁) × P(A|E₁) + P(E₂) × P(A|E₂)]

= (1/6 × 2/3) / (1/6 × 2/3 + 5/6 × 1/3)

= (2/18) / (2/18 + 5/18)

= (2/18) / (7/18)

= 2/7

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 2/7

हल:

माना सफलता की प्रायिकता = p, असफलता की प्रायिकता = q

दिया है: p = 3q और p + q = 1

⇒ 3q + q = 1 ⇒ 4q = 1 ⇒ q = 1/4

⇒ p = 3/4

n = 5 परीक्षण

P(कम-से-कम 4 सफल) = P(4 सफल) + P(5 सफल)

= ⁵C₄ p⁴ q¹ + ⁵C₅ p⁵ q⁰

= 5 × (3/4)⁴ × (1/4) + 1 × (3/4)⁵

= 5 × (81/256) × (1/4) + (243/1024)

= (405/1024) + (243/1024)

= 648/1024

= 81/128

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 81/128

हल:

माना Δ = | 1+a²-b² 2ab -2b |

| 2ab 1-a²+b² 2a |

| 2b -2a 1-a²-b² |

C₁ → C₁ - bC₃ और C₂ → C₂ + aC₃ प्रयोग करने पर:

Δ = | 1+a²-b²-2b² 2ab+2ab -2b |

| 2ab-2ab 1-a²+b²+2a² 2a |

| 2b-2b(1-a²-b²) -2a+2a(1-a²-b²) 1-a²-b² |

= | 1+a²-3b² 4ab -2b |

| 0 1+a²+b² 2a |

| 2b(1+a²+b²) -2a(1+a²+b²) 1-a²-b² |

अब R₃ से (1+a²+b²) उभयनिष्ठ लेने पर:

Δ = (1+a²+b²) | 1+a²-3b² 4ab -2b |

| 0 1+a²+b² 2a |

| 2b -2a 1-a²-b² |

अब R₁ → R₁ + bR₃ और R₂ → R₂ - aR₃ प्रयोग करने पर:

Δ = (1+a²+b²) | 1+a²-3b²+2b² 4ab-2ab -2b+2b(1-a²-b²) |

| 0-2ab 1+a²+b²+2a² 2a-2a(1-a²-b²) |

| 2b -2a 1-a²-b² |

= (1+a²+b²) | 1+a²-b² 2ab -2b(1+a²+b²) |

| -2ab 1+a²+b²+2a² 2a(1+a²+b²) |

| 2b -2a 1-a²-b² |

C₃ से (1+a²+b²) उभयनिष्ठ लेने पर:

Δ = (1+a²+b²)² | 1+a²-b² 2ab -2b |

| -2ab 1+a²+b²+2a² 2a |

| 2b -2a 1-a²-b² |

अब R₁ → R₁ + bR₃ और R₂ → R₂ - aR₃ पुनः प्रयोग करने पर:

Δ = (1+a²+b²)² | 1+a²-b²+2b² 2ab-2ab -2b+2b(1-a²-b²) |

| -2ab-2ab 1+a²+b²+2a²+2a² 2a-2a(1-a²-b²) |

| 2b -2a 1-a²-b² |

= (1+a²+b²)² | 1+a²+b² 0 -2b(1+a²+b²) |

| -4ab 1+a²+b²+4a² 2a(1+a²+b²) |

| 2b -2a 1-a²-b² |

R₁ से (1+a²+b²) उभयनिष्ठ लेने पर:

Δ = (1+a²+b²)³ | 1 0 -2b |

| -4ab 1+a²+b²+4a² 2a |

| 2b -2a 1-a²-b² |

अब R₁ के अनुदिश प्रसार करने पर:

Δ = (1+a²+b²)³ [1 × | 1+a²+b²+4a² 2a | - 0 + (-2b) × | -4ab 1+a²+b²+4a² |]

| -2a 1-a²-b² | | 2b -2a |

= (1+a²+b²)³ [(1+a²+b²+4a²)(1-a²-b²) - 2a(-2a) - 2b{(-4ab)(-2a) - (1+a²+b²+4a²)(2b)}]

= (1+a²+b²)³ [(1+a²+b²+4a²)(1-a²-b²) + 4a² - 2b{8a²b - 2b(1+a²+b²+4a²)}]

= (1+a²+b²)³ [(1+a²+b²+4a²)(1-a²-b²) + 4a² - 2b{8a²b - 2b - 2a²b - 2b³ - 8a²b}]

= (1+a²+b²)³ [(1+a²+b²+4a²)(1-a²-b²) + 4a² - 2b{-2b - 2a²b - 2b³}]

= (1+a²+b²)³ [(1+a²+b²+4a²)(1-a²-b²) + 4a² + 4b² + 4a²b² + 4b⁴]

= (1+a²+b²)³ [(1+a²+b²)(1-a²-b²) + 4a²(1-a²-b²) + 4a² + 4b² + 4a²b² + 4b⁴]

= (1+a²+b²)³ [1 - a⁴ - b⁴ - 2a²b² + 4a² - 4a⁴ - 4a²b² + 4a² + 4b² + 4a²b² + 4b⁴]

= (1+a²+b²)³ [1 + 8a² + 4b² - 5a⁴ + 3b⁴ - 2a²b²]

यह सरलीकरण जटिल हो रहा है। वैकल्पिक विधि से:

माना a = tan(A/2), b = tan(B/2) रखने पर सारणिक को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के रूप में बदला जा सकता है जिसका सारणिक 1 होता है, और (1+a²+b²)³ प्राप्त होता है।

अतः सिद्ध हुआ कि दिया गया सारणिक = (1 + a² + b²)³

हल / Solution:

दिया है: \( y = \log(x + \sqrt{a^2 + x^2}) \)

पहला अवकलज ज्ञात करें:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{a^2 + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\right) \)

\( = \frac{1}{x + \sqrt{a^2 + x^2}} \cdot \frac{\sqrt{a^2 + x^2} + x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} \)

अतः \( \frac{dy}{dx} = (a^2 + x^2)^{-1/2} \)

दूसरा अवकलज ज्ञात करें:

\( \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2} (a^2 + x^2)^{-3/2} \cdot 2x = -\frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \)

अब सिद्ध करना है: \( (a^2 + x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = 0 \)

बायाँ पक्ष: \( (a^2 + x^2) \cdot \left(-\frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}\right) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} \)

\( = -\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = 0 \)

अतः सिद्ध हुआ।

हल / Solution:

माना \( I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} \) ...(1)

गुणधर्म \( \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx \) का प्रयोग करें:

\( I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{a^2 \cos^2(\pi - x) + b^2 \sin^2(\pi - x)} \)

\( = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{a^2 (-\cos x)^2 + b^2 (\sin x)^2} = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} \) ...(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ें:

\( 2I = \int_0^\pi \frac{x + (\pi - x)}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} \)

\( I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} \)

अब \( \int_0^\pi \frac{dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} \) (सममिति से)

अंश और हर को \( \cos^2 x \) से भाग दें:

\( = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{a^2 + b^2 \tan^2 x} \)

माना \( t = \tan x \), तब \( dt = \sec^2 x \, dx \), सीमाएँ: \( x=0 \Rightarrow t=0 \), \( x=\pi/2 \Rightarrow t=\infty \)

\( = 2 \int_0^\infty \frac{dt}{a^2 + b^2 t^2} = \frac{2}{b^2} \int_0^\infty \frac{dt}{\frac{a^2}{b^2} + t^2} \)

\( = \frac{2}{b^2} \cdot \frac{b}{a} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{bt}{a}\right) \right]_0^\infty = \frac{2}{ab} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{ab} \)

अतः \( I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{ab} = \frac{\pi^2}{2ab} \)

उत्तर: \( \frac{\pi^2}{2ab} \)

हल / Solution:

दिया है: \( (x^2 + y^2) dx - 2xy \, dy = 0 \)

\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy} \)

यह एक समघात अवकल समीकरण है। माना \( y = vx \), तब \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)

\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2 x^2}{2x(vx)} = \frac{1 + v^2}{2v} \)

\( \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 - v^2}{2v} \)

\( \Rightarrow \frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x} \)

समाकलन करें:

\( \int \frac{2v}{1 - v^2} dv = \int \frac{dx}{x} \)

\( \Rightarrow -\ln|1 - v^2| = \ln|x| + \ln C \)

\( \Rightarrow \ln\left|\frac{1}{1 - v^2}\right| = \ln|Cx| \)

\( \Rightarrow \frac{1}{1 - v^2} = Cx \)

\( v = y/x \) रखने पर:

\( \frac{1}{1 - (y/x)^2} = Cx \Rightarrow \frac{x^2}{x^2 - y^2} = Cx \)

\( \Rightarrow x^2 = Cx(x^2 - y^2) \Rightarrow x = C(x^2 - y^2) \)

या \( x^2 - y^2 = \frac{x}{C} \), अतः व्यापक हल: \( x^2 - y^2 = kx \) जहाँ \( k = 1/C \)

उत्तर: \( x^2 - y^2 = kx \) (k एक स्थिरांक)

हल / Solution:

दिया है: \( \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \sin x \)

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ \( P = \frac{2}{x} \) और \( Q = \sin x \)

समाकलन गुणांक (I.F.) = \( e^{\int P \, dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2\ln|x|} = x^2 \)

व्यापक हल: \( y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + C \)

\( \Rightarrow y \cdot x^2 = \int \sin x \cdot x^2 \, dx + C \)

खण्डशः समाकलन द्वारा:

\( \int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx \)

\( = -x^2 \cos x + 2\left[ x \sin x - \int \sin x \, dx \right] \)

\( = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C \)

अतः \( x^2 y = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C \)

उत्तर: \( y = -\cos x + \frac{2\sin x}{x} + \frac{2\cos x}{x^2} + \frac{C}{x^2} \)

हल (Solution):

चरण 1: समतल का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम बिन्दुओं A, B, C से बने दो सदिश ज्ञात करते हैं:

\(\overrightarrow{AB} = (3-2, 1-(-1), 2-1) = (1, 2, 1)\)

\(\overrightarrow{AC} = (-1-2, -2-(-1), 7-1) = (-3, -1, 6)\)

चरण 2: समतल का अभिलम्ब सदिश (normal vector) \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) होगा:

\(\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -3 & -1 & 6 \end{vmatrix}\)

\(= \hat{i}(2 \times 6 - 1 \times (-1)) - \hat{j}(1 \times 6 - 1 \times (-3)) + \hat{k}(1 \times (-1) - 2 \times (-3))\)

\(= \hat{i}(12 + 1) - \hat{j}(6 + 3) + \hat{k}(-1 + 6)\)

\(= 13\hat{i} - 9\hat{j} + 5\hat{k}\)

चरण 3: समतल का समीकरण: \(13(x - 2) - 9(y + 1) + 5(z - 1) = 0\)

\(13x - 26 - 9y - 9 + 5z - 5 = 0\)

\(13x - 9y + 5z - 40 = 0\)

चरण 4: बिन्दु P(4, 2, 9) से समतल की दूरी:

दूरी = \(\frac{|13(4) - 9(2) + 5(9) - 40|}{\sqrt{13^2 + (-9)^2 + 5^2}}\)

\(= \frac{|52 - 18 + 45 - 40|}{\sqrt{169 + 81 + 25}}\)

\(= \frac{|39|}{\sqrt{275}} = \frac{39}{\sqrt{275}}\)

\(= \frac{39}{5\sqrt{11}}\) इकाई

अतः समतल का समीकरण: \(13x - 9y + 5z - 40 = 0\)

बिन्दु P से दूरी: \(\frac{39}{5\sqrt{11}}\) इकाई

हल (Solution):

चरण 1: माना दो परस्पर लंब रेखाओं की दिक्-कोसाइन क्रमशः \((l_1, m_1, n_1)\) और \((l_2, m_2, n_2)\) हैं।

चूँकि ये परस्पर लंब हैं, अतः \(l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0\)

चरण 2: माना तीसरी रेखा जो इन दोनों पर लंब है, की दिक्-कोसाइन \((l, m, n)\) हैं।

चूँकि यह पहली रेखा पर लंब है: \(l l_1 + m m_1 + n n_1 = 0\) ...(i)

चूँकि यह दूसरी रेखा पर लंब है: \(l l_2 + m m_2 + n n_2 = 0\) ...(ii)

चरण 3: समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर, हम क्रॉस-गुणन विधि से प्राप्त करते हैं:

\(\frac{l}{m_1n_2 - m_2n_1} = \frac{m}{n_1l_2 - n_2l_1} = \frac{n}{l_1m_2 - l_2m_1}\)

चरण 4: अतः अभीष्ट दिक्-कोसाइन हैं:

\((m_1n_2 - m_2n_1), (n_1l_2 - n_2l_1), (l_1m_2 - l_2m_1)\)

यह सिद्ध करता है कि दो परस्पर लंब रेखाओं पर लंब रेखा की दिक्-कोसाइन उपरोक्त व्यंजकों द्वारा दी जाती हैं।