RBSE Class 12th 2017 -SS-40-1-2017 Previous Year Papers

उत्तर / Answer: क्षेत्र का सीमांत प्रभाव (Fringing of the Field) वह घटना है जिसमें संधारित्र की प्लेटों के किनारों पर विद्युत क्षेत्र रेखाएँ बाहर की ओर मुड़ जाती हैं, जिससे क्षेत्र एकसमान नहीं रहता। यह प्रभाव प्लेटों के आकार और दूरी पर निर्भर करता है।

उत्तर / Answer: व्यापारिक रूप से बनाए जाने वाले प्रतिरोधकों के दो प्रकार हैं:

1. कार्बन प्रतिरोधक (Carbon Resistors) – ये सस्ते होते हैं और सामान्य घरेलू उपकरणों में उपयोग होते हैं।
2. तार-कुंडलित प्रतिरोधक (Wire-wound Resistors) – ये उच्च शक्ति और सटीकता के लिए प्रयोगशालाओं में उपयोग होते हैं।

उत्तर: एक पूरे चक्र में प्रेरक को आपूर्त माध्य शक्ति का मान शून्य (0) होता है।

Answer: The average power supplied to an inductor over one complete cycle is zero (0).

उत्तर: \(\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}\) का मान \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\) है। इसका मात्रक मीटर प्रति सेकंड (m/s) है। यह निर्वात में प्रकाश की चाल को दर्शाता है।

Answer: The value of \(\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}\) is \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\). Its unit is meter per second (m/s). It represents the speed of light in vacuum.

उत्तर: मेलस के नियम के अनुसार, जब एक ध्रुवित प्रकाश किसी विश्लेषक से गुजरता है, तो उसकी तीव्रता \(I = I_0 \cos^2 \theta\) होती है, जहाँ \(I_0\) आपतित ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है और \(\theta\) ध्रुवक तथा विश्लेषक के ध्रुवण अक्षों के बीच का कोण है।

Answer: According to Malus' law, when polarized light passes through an analyzer, its intensity is given by \(I = I_0 \cos^2 \theta\), where \(I_0\) is the intensity of the incident polarized light and \(\theta\) is the angle between the transmission axes of the polarizer and analyzer.

उत्तर: फ्रेनल दूरी (\(Z_F\)) का सूत्र है: \(Z_F = \frac{a^2}{\lambda}\), जहाँ \(a\) द्वारक का आकार (या स्लिट की चौड़ाई) है और \(\lambda\) प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।

Answer: The formula for Fresnel distance (\(Z_F\)) is: \(Z_F = \frac{a^2}{\lambda}\), where \(a\) is the size of the aperture (or slit width) and \(\lambda\) is the wavelength of light.

उत्तर: देहली आवृत्ति (Threshold frequency) वह न्यूनतम आवृत्ति है जिसके प्रकाश से धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होने लगते हैं। इससे कम आवृत्ति के प्रकाश से प्रकाश-विद्युत प्रभाव नहीं होता है, चाहे प्रकाश की तीव्रता कितनी भी अधिक क्यों न हो।

Answer: Threshold frequency is the minimum frequency of light that can cause emission of electrons from a metal surface. Below this frequency, no photoelectric effect occurs, regardless of the intensity of light.

उत्तर: अन्तक वोल्टता (Cut-off voltage) \(V_0 = 1.5 \, \text{V}\) है। उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम गतिज ऊर्जा \(K_{\text{max}} = eV_0\) होती है, जहाँ \(e\) इलेक्ट्रॉन का आवेश (\(1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\)) है।

\(K_{\text{max}} = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 = 2.4 \times 10^{-19} \, \text{J}\)

या, \(K_{\text{max}} = 1.5 \, \text{eV}\) (चूँकि \(1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}\))

Answer: The cut-off voltage \(V_0 = 1.5 \, \text{V}\). The maximum kinetic energy of photoelectrons is given by \(K_{\text{max}} = eV_0\), where \(e\) is the electron charge (\(1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\)).

\(K_{\text{max}} = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 = 2.4 \times 10^{-19} \, \text{J}\)

Or, \(K_{\text{max}} = 1.5 \, \text{eV}\) (since \(1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}\)).

सम्बन्ध (Relation):

अर्धायु (Half-life) \( T_{1/2} \) और माध्य आयु (Average life) \( \tau \) में निम्नलिखित सम्बन्ध है:

\[ T_{1/2} = \tau \ln 2 = 0.693 \, \tau \]

या

\[ \tau = \frac{T_{1/2}}{0.693} = 1.44 \, T_{1/2} \]

जहाँ \( T_{1/2} \) अर्धायु है और \( \tau \) माध्य आयु है।

दाता अशुद्धि के उदाहरण (Examples of donor impurity):

1. फॉस्फोरस (Phosphorus - P) – जब सिलिकॉन (Si) में फॉस्फोरस मिलाया जाता है, तो यह एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है।
2. आर्सेनिक (Arsenic - As) – जर्मेनियम (Ge) या सिलिकॉन में आर्सेनिक मिलाने पर यह दाता अशुद्धि के रूप में कार्य करता है।

नोट: दाता अशुद्धियाँ (n-प्रकार की अशुद्धियाँ) वे होती हैं जिनमें संयोजकता 5 होती है (जैसे P, As, Sb) और ये अर्धचालक को अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करती हैं।

पहचान (Identification):

दी गई सत्यमान सारणी के अनुसार:

• जब A = 0 और B = 0, तो Y = 1
• जब A = 1 और B = 0, तो Y = 0
• जब A = 0 और B = 1, तो Y = 0
• जब A = 1 और B = 1, तो Y = 0

यह सारणी NOR गेट (NOT OR gate) की सत्यमान सारणी है। NOR गेट का निर्गत केवल तब 1 होता है जब दोनों निवेश 0 हों, अन्यथा निर्गत 0 होता है।

उत्तर: यह NOR गेट है।

उपयोग: पुनरावर्तक स्टेशन का उपयोग संचार प्रणाली में क्षीण हो चुके सिग्नलों को पुनः प्रवर्धित (amplify) करके उन्हें आगे प्रेषित करने के लिए किया जाता है, जिससे सिग्नल लंबी दूरी तक बिना गुणवत्ता खोए पहुँच सके।

Use: A repeater station is used to amplify weakened signals in a communication system and retransmit them, allowing signals to travel long distances without loss of quality.

उत्तर: विरूपण से बचाव के लिए आयाम मॉडुलन में मॉडुलन सूचकांक (m) का मान 0 और 1 के बीच (0 ≤ m ≤ 1) होना चाहिए। यदि m > 1 होता है, तो ओवरमॉड्यूलेशन के कारण विरूपण उत्पन्न होता है।

Answer: To avoid distortion in amplitude modulation, the value of modulation index (m) should be between 0 and 1 (0 ≤ m ≤ 1). If m > 1, overmodulation causes distortion.

a) व्याख्या: स्थिरवैद्युत स्थिति में, चालक के अंदर कोई नेट आवेश नहीं होता (आवेश केवल सतह पर रहता है)। गॉस के नियम के अनुसार, यदि चालक के अंदर किसी बंद पृष्ठ पर नेट आवेश शून्य है, तो उस पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स शून्य होगा, अतः विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

b) व्याख्या: चूँकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है, इसलिए किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर (V = -∫E·dr) शून्य होगा। अतः चालक के समस्त आयतन में विभव नियत रहता है।

Explanation:
a) In electrostatic equilibrium, there is no net charge inside a conductor (charge resides only on the surface). By Gauss's law, if the net charge inside a closed surface is zero, the electric flux through it is zero, so the electric field inside is zero.
b) Since the electric field inside the conductor is zero, the potential difference between any two points (V = -∫E·dr) is zero. Hence, the electrostatic potential is constant throughout the volume of the conductor.

R का प्रतिरोध ज्ञात करना:

मीटर सेतु के सिद्धांत के अनुसार, संतुलन की स्थिति में:

R / S = l₁ / l₂

जहाँ l₁ = 63 सेमी (सिरे A से संतुलन बिंदु तक की लंबाई), l₂ = 100 - 63 = 37 सेमी (संतुलन बिंदु से सिरे B तक की लंबाई), और S = 3.7 Ω

R / 3.7 = 63 / 37

R = (63 / 37) × 3.7 = (63 × 3.7) / 37 = 63 × 0.1 = 6.3 Ω

अतः R का प्रतिरोध 6.3 Ω है।

मोटी कॉपर की पत्तियों का उपयोग: मीटर सेतु में प्रतिरोधकों के संयोजन के लिए मोटी कॉपर की पत्तियाँ इसलिए प्रयोग की जाती हैं क्योंकि कॉपर का प्रतिरोध बहुत कम होता है और मोटी पत्तियाँ होने से उनका प्रतिरोध नगण्य हो जाता है, जिससे संयोजनों के कारण कोई अतिरिक्त प्रतिरोध नहीं जुड़ता और मापन अधिक सटीक होता है।

Determination of R:

According to the principle of the metre bridge, at balance:

R / S = l₁ / l₂

where l₁ = 63 cm (length from end A to balance point), l₂ = 100 - 63 = 37 cm (length from balance point to end B), and S = 3.7 Ω

R / 3.7 = 63 / 37

R = (63 / 37) × 3.7 = (63 × 3.7) / 37 = 63 × 0.1 = 6.3 Ω

Hence, the resistance of R is 6.3 Ω.

Why thick copper strips are used: Thick copper strips are used for connections in a metre bridge because copper has very low resistance, and thick strips make their resistance negligible. This prevents any additional resistance from the connections, ensuring more accurate measurements.

हल:

विभवमापी में सेल का आंतरिक प्रतिरोध (r) ज्ञात करने का सूत्र:

r = R × (l₁ - l₂) / l₂

जहाँ R = बाह्य प्रतिरोध, l₁ = पहली स्थिति में संतुलन लंबाई, l₂ = दूसरी स्थिति में संतुलन लंबाई

पहली स्थिति: R₁ = 2 Ω, l₁ = 3.5 m

दूसरी स्थिति: R₂ = 4 Ω, l₂ = 4.2 m

सूत्र का उपयोग करने पर:

r = 2 × (3.5 - 4.2) / 4.2 = 2 × (-0.7) / 4.2 = -1.4 / 4.2 = -0.333... Ω

चूँकि आंतरिक प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता, हम सूत्र को सही रूप में लागू करते हैं। वास्तव में, सूत्र है:

r = R × (l₁ - l₂) / l₂, जहाँ l₁ बड़ी लंबाई है (जब बाह्य प्रतिरोध छोटा होता है, तो संतुलन लंबाई बड़ी होती है)। यहाँ l₁ = 4.2 m (R₂ = 4 Ω के लिए) और l₂ = 3.5 m (R₁ = 2 Ω के लिए) लेना चाहिए।

अतः r = 4 × (4.2 - 3.5) / 3.5 = 4 × 0.7 / 3.5 = 2.8 / 3.5 = 0.8 Ω

सेल का आंतरिक प्रतिरोध 0.8 Ω है।

Solution:

The formula for internal resistance (r) of a cell using a potentiometer is:

r = R × (l₁ - l₂) / l₂

where R = external resistance, l₁ = balance length for one case, l₂ = balance length for the other case.

First case: R₁ = 2 Ω, l₁ = 3.5 m

Second case: R₂ = 4 Ω, l₂ = 4.2 m

Since a smaller external resistance gives a larger balance length, we take l₁ = 4.2 m (for R = 4 Ω) and l₂ = 3.5 m (for R = 2 Ω).

r = 4 × (4.2 - 3.5) / 3.5 = 4 × 0.7 / 3.5 = 2.8 / 3.5 = 0.8 Ω

The internal resistance of the cell is 0.8 Ω.

हल / Solution:

दिया गया है: चुम्बकीय आघूर्ण M = 0.48 JT, दूरी r = 20 cm = 0.20 m

i) अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र:

सूत्र: B_अक्ष = (μ₀ / 4π) × (2M / r³)

जहाँ μ₀ / 4π = 10⁻⁷ T m A⁻¹

B_अक्ष = 10⁻⁷ × (2 × 0.48) / (0.20)³

= 10⁻⁷ × 0.96 / 0.008

= 10⁻⁷ × 120

= 1.2 × 10⁻⁵ T

ii) अभिलम्ब समद्विभाजक (भूमध्य रेखा) पर चुम्बकीय क्षेत्र:

सूत्र: B_{भूमध्य} = (μ₀ / 4π) × (M / r³)

B_{भूमध्य} = 10⁻⁷ × 0.48 / (0.20)³

= 10⁻⁷ × 0.48 / 0.008

= 10⁻⁷ × 60

= 6.0 × 10⁻⁶ T

उत्तर: अक्ष पर B = 1.2 × 10⁻⁵ T, भूमध्य रेखा पर B = 6.0 × 10⁻⁶ T

उत्तर / Answer:

भंवर धाराओं (eddy currents) के दो प्रमुख अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं:

1. प्रेरण तापन (Induction Heating): भंवर धाराओं का उपयोग धातुओं को बिना सीधे संपर्क के गर्म करने में किया जाता है। प्रत्यावर्ती चुंबकीय क्षेत्र में रखी धातु की वस्तु में भंवर धाराएँ उत्पन्न होती हैं, जो ऊष्मा उत्पन्न करती हैं। इसका उपयोग धातु गलाने, सख्त करने और खाना पकाने के उपकरणों में होता है।
2. गतिरोधक ब्रेक (Eddy Current Brakes): भंवर धाराओं का उपयोग रेलगाड़ियों, रोलर कोस्टर और भारी वाहनों में ब्रेक के रूप में किया जाता है। जब एक चालक पहिया चुंबकीय क्षेत्र में घूमता है, तो उसमें भंवर धाराएँ उत्पन्न होती हैं जो गति का विरोध करती हैं और धीरे-धीरे वाहन को रोकती हैं। यह ब्रेक घर्षण रहित और अत्यधिक प्रभावी होते हैं।

उत्तर / Answer:

1. पराबैंगनी किरणें (Ultraviolet rays) – ये ओजोन परत द्वारा अवशोषित कर ली जाती हैं।
2. अवरक्त किरणें (Infrared rays) – इनकी तरंगदैर्ध्य लगभग 1 nm से 10⁷ nm (या 700 nm से 1 mm) तक होती है।
3. अवरक्त किरणें (Infrared rays) – ये वीडियो रिकॉर्डर और हाई-फाई प्रणाली में रिमोट कंट्रोल के लिए उपयोग होती हैं।
4. माइक्रोवेव (Microwaves) – ये माइक्रोवेव ओवन में भोजन गर्म करने के लिए उपयोग होती हैं।

हल:

संयोजन की कुल शक्ति, P = P₁ + P₂ = +5D + (–3D) = +2D

फोकस दूरी, f = 1/P = 1/2 = 0.5 मीटर = 50 सेमी

चूँकि कुल शक्ति धनात्मक है, परिणामी लेन्स अभिसारी (उत्तल) प्रकार का होगा।

उत्तर: फोकस दूरी = 0.5 मीटर (50 सेमी), परिणामी लेन्स अभिसारी (उत्तल) है।

हल:

दिया है: विभवान्तर V = 49 V, इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान m = 9.1 × 10⁻³¹ kg, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C, h = 6.63 × 10⁻³⁴ Js

i) दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य:

λ = h / √(2meV) = 6.63 × 10⁻³⁴ / √(2 × 9.1 × 10⁻³¹ × 1.6 × 10⁻¹⁹ × 49)

λ = 6.63 × 10⁻³⁴ / √(2 × 9.1 × 1.6 × 49 × 10⁻⁵⁰)

λ = 6.63 × 10⁻³⁴ / √(1426.88 × 10⁻⁵⁰) = 6.63 × 10⁻³⁴ / (37.77 × 10⁻²⁵)

λ ≈ 1.755 × 10⁻¹⁰ मीटर = 1.755 Å

ii) संवेग:

p = √(2meV) = √(2 × 9.1 × 10⁻³¹ × 1.6 × 10⁻¹⁹ × 49)

p = √(1426.88 × 10⁻⁵⁰) = 37.77 × 10⁻²⁵ kg m/s

p ≈ 3.777 × 10⁻²⁴ kg m/s

उत्तर: i) तरंगदैर्ध्य ≈ 1.755 × 10⁻¹⁰ मीटर, ii) संवेग ≈ 3.777 × 10⁻²⁴ kg m/s

हल:

दिया है: आपतित प्रकाश की आवृत्ति ν = 7.21 × 10¹⁴ Hz, इलेक्ट्रॉन की अधिकतम चाल v = 6 × 10⁵ m/s, इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान m = 9.1 × 10⁻³¹ kg, h = 6.63 × 10⁻³⁴ Js

आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण से: hν = hν₀ + ½ mv²

देहली आवृत्ति ν₀ = ν – (mv²)/(2h)

ν₀ = 7.21 × 10¹⁴ – (9.1 × 10⁻³¹ × (6 × 10⁵)²) / (2 × 6.63 × 10⁻³⁴)

ν₀ = 7.21 × 10¹⁴ – (9.1 × 10⁻³¹ × 36 × 10¹⁰) / (13.26 × 10⁻³⁴)

ν₀ = 7.21 × 10¹⁴ – (327.6 × 10⁻²¹) / (13.26 × 10⁻³⁴)

ν₀ = 7.21 × 10¹⁴ – 24.71 × 10¹³

ν₀ = 7.21 × 10¹⁴ – 2.471 × 10¹⁴ = 4.739 × 10¹⁴ Hz

उत्तर: देहली आवृत्ति ≈ 4.74 × 10¹⁴ Hz

उत्तर: बोर के परमाणु मॉडल के दो प्रमुख अभिगृहीत निम्नलिखित हैं:

1. स्थायी कक्षाओं का अभिगृहीत: इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल कुछ निश्चित त्रिज्याओं वाली वृत्तीय कक्षाओं में ही घूम सकते हैं, जिन्हें स्थायी कक्षाएँ कहते हैं। इन कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन ऊर्जा का विकिरण नहीं करते।
2. क्वाण्टीकरण का अभिगृहीत: इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनमें उसका कोणीय संवेग h/2π का पूर्ण गुणज होता है, अर्थात् mvr = nh/2π, जहाँ n = 1, 2, 3,... (मुख्य क्वाण्टम संख्या) है।

नियन्त्रक छड़ (Control Rods) के कार्य: नियन्त्रक छड़ें (जैसे बोरॉन या कैडमियम) न्यूट्रॉनों को अवशोषित करके विखंडन अभिक्रिया की दर को नियंत्रित करती हैं। इन्हें रिएक्टर कोर में डालने या बाहर निकालने से श्रृंखला अभिक्रिया की गति को बढ़ाया या घटाया जा सकता है, जिससे रिएक्टर सुरक्षित रहता है।

शीतलक (Coolant) के कार्य: शीतलक (जैसे पानी, भारी जल, या गैस) विखंडन अभिक्रिया से उत्पन्न ऊष्मा को अवशोषित करके रिएक्टर कोर से बाहर ले जाता है। यह ऊष्मा भाप बनाने के लिए उपयोग की जाती है, जो टरबाइन को घुमाकर विद्युत उत्पन्न करती है। साथ ही, यह रिएक्टर को अत्यधिक गर्म होने से बचाता है।

i) ट्रान्सड्यूसर (Transducer): यह एक ऐसा उपकरण है जो ऊर्जा के एक रूप को दूसरे रूप में परिवर्तित करता है। संचार में, यह ध्वनि या प्रकाश जैसी भौतिक मात्राओं को विद्युत संकेतों में बदलता है (जैसे माइक्रोफोन) या विद्युत संकेतों को भौतिक मात्राओं में (जैसे लाउडस्पीकर)।

ii) मॉडुलन में प्रयुक्त वाहक तरंग के दो प्रकार:

• साइन तरंग (Sine Wave): उच्च आवृत्ति की सतत तरंग, जिसका आयाम या आवृत्ति बदलकर मॉडुलन किया जाता है।
• स्पंद तरंग (Pulse Wave): आयताकार स्पंदों की श्रृंखला, जिसका उपयोग स्पंद कोड मॉडुलन (PCM) जैसी डिजिटल मॉडुलन तकनीकों में होता है।

संधारित्र (Capacitor) की परिभाषा: संधारित्र एक विद्युत उपकरण है जो दो चालक प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा संचित करता है। इसकी धारिता (C) प्लेटों पर आवेश (Q) और उनके बीच विभवांतर (V) के अनुपात के बराबर होती है: C = Q/V।

श्रेणी क्रम संयोजन में तुल्य धारिता का सम्बन्ध:

मान लीजिए तीन संधारित्र C₁, C₂, C₃ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। श्रेणीक्रम में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश (Q) समान होता है, जबकि कुल विभवांतर (V) व्यक्तिगत विभवांतरों का योग होता है:

V = V₁ + V₂ + V₃

चूँकि V = Q/C, इसलिए:

Q/C_eq = Q/C₁ + Q/C₂ + Q/C₃

Q को समाप्त करने पर:

1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂ + 1/C₃

सामान्यतः, n संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन के लिए: 1/C_eq = Σ (1/C_i)। तुल्य धारिता सबसे छोटी व्यक्तिगत धारिता से भी कम होती है।

सही सुमेलन:

• i) गतिक विद्युत वाहक बल → a) Bℓv (चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल)
• ii) LCR परिपथ की प्रतिबाधा → b) √[R² + (ωL – 1/ωC)²]
• iii) कुण्डली का स्वप्रेरकत्व → c) L
• iv) अनुनादी आवृत्ति (ω₀) → d) 1/√(LC)
• v) गुणवत्ता गुणांक → e) ω₀L/R
• vi) औसत शक्ति → f) V_rmsI_rmscosφ

Correct Matching:

• i) Motional electromotive force → b) Blv
• ii) Impedance of LCR Circuit → a) √[R² + (X_L – X_C)²]
• iii) Self induction of coil → f) μ₀ n² A l
• iv) Resonant Frequency (ω_r) → c) 1/√(LC)
• v) Quality Factor → d) (ω_rL)/R
• vi) Average Power → e) V_rms I_rms cos φ

Explanation: At the polarizing angle, the reflected and refracted rays are perpendicular to each other. This is a direct consequence of combining Brewster's law (tan i_p = μ) with Snell's law (μ = sin i_p/sin r), which leads to i_p + r = 90°.

Explanation: Using Huygens wave theory, Snell's law is derived by considering the time taken for the wavefront to travel in both media. The ratio of sine of angle of incidence to sine of angle of refraction equals the ratio of velocities in the two media, which is a constant (refractive index).

व्युत्पत्ति:

मान लीजिए एक R त्रिज्या की वृत्ताकार कुण्डली में I धारा प्रवाहित हो रही है। हमें कुण्डली के केंद्र O से x दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु P पर चुम्बकीय क्षेत्र ज्ञात करना है।

1. कुण्डली के एक अल्पांश dl पर विचार करें। यह अल्पांश बिंदु P से r दूरी पर है, जहाँ r = √(R² + x²)।
2. बायो-सावर्ट नियम से, इस अल्पांश के कारण P पर चुम्बकीय क्षेत्र dB = (μ₀ / 4π) * (I dl) / r² (क्योंकि dl ⊥ r, अतः sin 90° = 1)।
3. dB की दिशा dl और r के लंबवत होती है। dB के दो घटक होते हैं:
   • अक्ष के अनुदिश घटक: dB cos φ
   • अक्ष के लंबवत घटक: dB sin φ
4. सममिति के कारण, अक्ष के लंबवत घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। अतः कुल चुम्बकीय क्षेत्र केवल अक्ष के अनुदिश होगा।
5. अतः dB_अक्ष = dB cos φ = (μ₀ / 4π) * (I dl) / r² * (R/r) = (μ₀ I R dl) / (4π r³)
6. पूरी कुण्डली के लिए समाकलन करने पर:
   B = ∫ dB_अक्ष = (μ₀ I R) / (4π r³) ∫ dl = (μ₀ I R) / (4π r³) * (2πR)
7. चूँकि r = √(R² + x²), अतः r³ = (R² + x²)^(3/2)
8. अतः अभीष्ट व्यंजक: B = (μ₀ I R²) / [2 (R² + x²)^(3/2)]

चित्र: (एक वृत्ताकार कुण्डली जिसमें धारा I प्रवाहित हो रही है, केंद्र O पर, अक्ष पर बिंदु P पर चुम्बकीय क्षेत्र B दर्शाया गया है।)

चित्र: (एक लंबी परिनालिका दर्शाई गई है जिसमें धारा I प्रवाहित हो रही है। परिनालिका के अंदर चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएँ समानांतर और एकसमान हैं, जबकि बाहर क्षेत्र लगभग शून्य है।)

अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र का व्यंजक:

1. मान लीजिए एक लंबी परिनालिका में प्रति एकांक लंबाई में n फेरे हैं और इसमें I धारा प्रवाहित हो रही है।
2. एक आयताकार एम्पियर पाश ABCD लें, जहाँ AB परिनालिका के अंदर अक्ष के अनुदिश है और CD बाहर है।
3. एम्पियर के नियम से: ∮ B · dl = μ₀ × (पाश से गुजरने वाली कुल धारा)
4. पाश के विभिन्न भागों पर समाकलन:
   • AB: ∫ B · dl = B L (जहाँ L = AB की लंबाई)
   • BC और DA: B ⊥ dl, अतः समाकलन शून्य
   • CD: बाहर क्षेत्र शून्य, अतः समाकलन शून्य
5. पाश से गुजरने वाली कुल धारा = (nL) × I
6. अतः B L = μ₀ (nL I) ⇒ B = μ₀ n I

यह परिनालिका के अंदर अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र का व्यंजक है।

किरण चित्र: (एक अवतल दर्पण दर्शाया गया है जिसमें बिम्ब को फोकस और वक्रता केंद्र के बीच रखा गया है। प्रतिबिम्ब वक्रता केंद्र से परे वास्तविक, उल्टा और बड़ा बनता है।)

दर्पण सूत्र (1/f = 1/v + 1/u) की व्युत्पत्ति:

1. मान लीजिए अवतल दर्पण का ध्रुव P, फोकस F तथा वक्रता केंद्र C है। बिम्ब AB को दर्पण के सामने रखा गया है।
2. बिम्ब के शीर्ष B से मुख्य अक्ष के समांतर किरण दर्पण से परावर्तित होकर फोकस F से गुजरती है।
3. बिम्ब के शीर्ष B से वक्रता केंद्र C की ओर जाने वाली किरण दर्पण से परावर्तित होकर उसी मार्ग से वापस लौटती है।
4. ये दोनों परावर्तित किरणें बिंदु B' पर मिलती हैं, जहाँ प्रतिबिम्ब A'B' बनता है।
5. समरूप त्रिभुजों ABC और A'B'C से: AB/A'B' = AC/A'C = (u - R)/(R - v) ...(i)
6. समरूप त्रिभुजों ABP और A'B'P से: AB/A'B' = AP/A'P = u/v ...(ii)
7. (i) और (ii) से: u/v = (u - R)/(R - v)
8. क्रॉस गुणा करने पर: u(R - v) = v(u - R) ⇒ uR - uv = uv - vR
9. ⇒ uR + vR = 2uv ⇒ R(u + v) = 2uv
10. ⇒ 1/u + 1/v = 2/R
11. चूँकि R = 2f, अतः 1/f = 1/v + 1/u

यही अभीष्ट दर्पण सूत्र है, जहाँ u = बिम्ब दूरी, v = प्रतिबिम्ब दूरी, f = फोकस दूरी।

ग्राफ: (एक ग्राफ दर्शाया गया है जिसमें x-अक्ष पर आपतन कोण (i) और y-अक्ष पर विचलन कोण (δ) है। ग्राफ एक सममित वक्र है जो न्यूनतम विचलन कोण (δm) पर न्यूनतम मान दर्शाता है।)

प्रिज्म सूत्र का निगमन (n = sin[(A+δm)/2] / sin(A/2)):

1. प्रिज्म कोण A है। न्यूनतम विचलन की स्थिति में, प्रकाश किरण प्रिज्म के अंदर आधार के समांतर चलती है।
2. इस स्थिति में: i₁ = i₂ = i (आपतन कोण = निर्गत कोण) और r₁ = r₂ = r (अपवर्तन कोण बराबर)
3. प्रिज्म कोण: A = r₁ + r₂ = 2r ⇒ r = A/2
4. विचलन कोण: δ = i₁ + i₂ - A = 2i - A
5. न्यूनतम विचलन की स्थिति में: δm = 2i - A ⇒ i = (A + δm)/2
6. स्नेल के नियम से: n = sin i / sin r
7. मान रखने पर: n = sin[(A + δm)/2] / sin(A/2)

यही अभीष्ट प्रिज्म सूत्र है।

\[ \mu = \frac{\sin\left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} \]

व्युत्पत्ति: प्रिज्म से गुजरने वाली प्रकाश किरण के लिए, न्यूनतम विचलन की स्थिति में आपतन कोण (i) और निर्गत कोण (e) बराबर होते हैं। प्रिज्म के अंदर अपवर्तन कोण r₁ और r₂ बराबर होते हैं। प्रिज्म कोण A = r₁ + r₂ = 2r (जहाँ r = r₁ = r₂), अतः r = A/2। विचलन कोण δ = i + e - A = 2i - A, अतः न्यूनतम विचलन δ_m = 2i - A, इसलिए i = (A + δ_m)/2। स्नेल के नियम से, μ = sin i / sin r = sin((A + δ_m)/2) / sin(A/2)।

वोल्टता लब्धि (A_V): A_V = V_o / V_i = -β × (R_C / r_be)

जहाँ r_be आधार-उत्सर्जक का गतिक प्रतिरोध (dynamic resistance) है। ऋणात्मक चिह्न 180° फेज विपर्यय को दर्शाता है।

शक्ति लब्धि (A_P): A_P = (आउटपुट शक्ति) / (इनपुट शक्ति) = A_V × A_I

जहाँ A_I धारा लब्धि (current gain) है, जो लगभग β के बराबर होती है। अतः A_P = β² × (R_C / r_be)

• ON स्थिति (संतृप्ति क्षेत्र): जब आधार धारा I_B पर्याप्त रूप से अधिक होती है, तो ट्रांजिस्टर संतृप्ति (saturation) में चला जाता है। V_CE लगभग 0.2V (शून्य के करीब) हो जाता है, और संग्राहक धारा अधिकतम होती है। यह बंद स्विच (closed switch) की तरह कार्य करता है।
• OFF स्थिति (कट-ऑफ क्षेत्र): जब आधार धारा I_B = 0 (या V_BE कट-इन वोल्टता से कम), तो ट्रांजिस्टर कट-ऑफ (cut-off) में होता है। I_C = 0, और V_CE = V_CC। यह खुले स्विच (open switch) की तरह कार्य करता है।

इस प्रकार, आधार पर उपयुक्त वोल्टता (या धारा) लगाकर ट्रांजिस्टर को स्विच के रूप में चालू या बंद किया जा सकता है।