RBSE Class 12th 2018 -SS-15-2018 Previous Year Papers

हल / Solution:

दिया है: \( |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| \)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

\( |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 \)

\( \Rightarrow (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \)

\( \Rightarrow |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} \)

\( \Rightarrow 2\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\vec{a} \cdot \vec{b} \)

\( \Rightarrow 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)

\( \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)

अतः \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण \(90^\circ\) है।

Therefore, the angle between \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) is \(90^\circ\).

हल / Solution:

दी गई रेखा के दिक्-अनुपात (3, 5, 6) हैं।

अतः अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात भी (3, 5, 6) होंगे।

बिन्दु (-2, 4, -5) से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण:

\(\vec{r} = (-2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda (3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})\)

जहाँ \(\lambda\) एक वास्तविक संख्या है।

The direction ratios of the given line are (3, 5, 6).

Hence, the required line also has direction ratios (3, 5, 6).

The vector equation of the line passing through (-2, 4, -5) is:

\(\vec{r} = (-2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda (3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})\), where \(\lambda\) is a real number.

हल / Solution:

व्यवरोधों को आलेखित करने पर:

• \(x \ge 0\) और \(y \ge 0\) प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं।
• \(x \ge 5\) रेखा \(x = 5\) के दाईं ओर का क्षेत्र है।
• \(x + y \le 8\) रेखा \(x + y = 8\) के नीचे का क्षेत्र है।

सुसंगत हल क्षेत्र वह भाग है जो सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है। यह एक त्रिभुजाकार क्षेत्र है जिसके शीर्ष (5, 0), (5, 3) और (8, 0) हैं।

Plotting the constraints:

• \(x \ge 0\) and \(y \ge 0\) represent the first quadrant.
• \(x \ge 5\) is the region to the right of the line \(x = 5\).
• \(x + y \le 8\) is the region below the line \(x + y = 8\).

The feasible region is the area satisfying all constraints. It is a triangular region with vertices (5, 0), (5, 3), and (8, 0).

हल / Solution:

चूँकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

P(A ∩ B) = 0.3 × 0.6 = 0.18

Since A and B are independent events:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

P(A ∩ B) = 0.3 × 0.6 = 0.18

हल / Solution:

तत्समक अवयव (Identity element):

माना e तत्समक अवयव है, तब \(a * e = a\) और \(e * a = a\)

\(a * e = a + e - ae = a\)

\( \Rightarrow e - ae = 0 \Rightarrow e(1 - a) = 0\)

चूँकि \(a \neq 1\), अतः \(e = 0\)

इसी प्रकार \(e * a = e + a - ea = a \Rightarrow e = 0\)

अतः तत्समक अवयव 0 है।

प्रतिलोम अवयव (Inverse element):

माना a का प्रतिलोम b है, तब \(a * b = e = 0\)

\(a * b = a + b - ab = 0\)

\( \Rightarrow b - ab = -a \Rightarrow b(1 - a) = -a\)

\( \Rightarrow b = \frac{-a}{1 - a} = \frac{a}{a - 1}\)

चूँकि \(a \neq 1\), अतः \(b = \frac{a}{a - 1}\) परिभाषित है।

अतः a का प्रतिलोम \(\frac{a}{a - 1}\) है।

Identity element:

Let e be the identity element, then \(a * e = a\) and \(e * a = a\)

\(a * e = a + e - ae = a\)

\( \Rightarrow e - ae = 0 \Rightarrow e(1 - a) = 0\)

Since \(a \neq 1\), therefore \(e = 0\)

Similarly, \(e * a = e + a - ea = a \Rightarrow e = 0\)

Hence, the identity element is 0.

Inverse element:

Let b be the inverse of a, then \(a * b = e = 0\)

\(a * b = a + b - ab = 0\)

\( \Rightarrow b - ab = -a \Rightarrow b(1 - a) = -a\)

\( \Rightarrow b = \frac{-a}{1 - a} = \frac{a}{a - 1}\)

Since \(a \neq 1\), \(b = \frac{a}{a - 1}\) is defined.

Hence, the inverse of a is \(\frac{a}{a - 1}\).

हल: दिए गए समीकरण को सारणिक के रूप में लिखने पर:

| x 4 |
| 0 2 | = 0

सारणिक का मान: x × 2 - 4 × 0 = 2x = 0

अतः x = 0.

Solution: Writing the given equation as a determinant:

| x 4 |
| 0 2 | = 0

Determinant value: x × 2 - 4 × 0 = 2x = 0

Hence, x = 0.

हल: रोल प्रमेय के अनुसार, f(0) = f(π) = 0, अतः c ∈ (0, π) इस प्रकार होगा कि f'(c) = 0.

f'(x) = e^x cos x + e^x sin x = e^x (cos x + sin x)

f'(c) = 0 ⇒ e^c (cos c + sin c) = 0

चूँकि e^c ≠ 0, अतः cos c + sin c = 0 ⇒ tan c = -1

c ∈ (0, π) में, c = 3π/4.

Solution: By Rolle's theorem, f(0) = f(π) = 0, so there exists c ∈ (0, π) such that f'(c) = 0.

f'(x) = e^x cos x + e^x sin x = e^x (cos x + sin x)

f'(c) = 0 ⇒ e^c (cos c + sin c) = 0

Since e^c ≠ 0, cos c + sin c = 0 ⇒ tan c = -1

In (0, π), c = 3π/4.

हल: आंशिक भिन्नों में वियोजन:

1 / [x(x² + 1)] = A/x + (Bx + C)/(x² + 1)

⇒ 1 = A(x² + 1) + (Bx + C)x

⇒ 1 = (A + B)x² + Cx + A

तुलना करने पर: A = 1, C = 0, A + B = 0 ⇒ B = -1

अतः समाकलन: ∫ (1/x) dx - ∫ [x/(x² + 1)] dx

= ln|x| - (1/2) ln|x² + 1| + C

= ln| x / √(x² + 1) | + C

Solution: Using partial fractions:

1 / [x(x² + 1)] = A/x + (Bx + C)/(x² + 1)

⇒ 1 = A(x² + 1) + (Bx + C)x

⇒ 1 = (A + B)x² + Cx + A

Comparing: A = 1, C = 0, A + B = 0 ⇒ B = -1

Thus integral: ∫ (1/x) dx - ∫ [x/(x² + 1)] dx

= ln|x| - (1/2) ln|x² + 1| + C

= ln| x / √(x² + 1) | + C

हल: सदिश b का a की दिशा में घटक = (b·a / |a|²) a

b·a = (3)(4) + (6)(-2) + (-2)(1) = 12 - 12 - 2 = -2

|a|² = 4² + (-2)² + 1² = 16 + 4 + 1 = 21

अतः घटक = (-2/21) (4i - 2j + k) = (-8/21)i + (4/21)j - (2/21)k

Solution: Component of b along a = (b·a / |a|²) a

b·a = (3)(4) + (6)(-2) + (-2)(1) = 12 - 12 - 2 = -2

|a|² = 4² + (-2)² + 1² = 16 + 4 + 1 = 21

Thus component = (-2/21) (4i - 2j + k) = (-8/21)i + (4/21)j - (2/21)k

हल (Solution):

हम जानते हैं कि:

cos⁻¹ \(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\) = 2 tan⁻¹ x, जहाँ x ≥ 0

और tan⁻¹ \(\frac{2x}{x^2 - 1}\) = 2 tan⁻¹ x, जहाँ x > 1

अतः दिया गया समीकरण बनता है:

2 tan⁻¹ x + 2 tan⁻¹ x = \(\frac{2\pi}{3}\)

⇒ 4 tan⁻¹ x = \(\frac{2\pi}{3}\)

⇒ tan⁻¹ x = \(\frac{\pi}{6}\)

⇒ x = tan \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

चूँकि \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) > 0 और < 1, अतः यह मान मान्य है।

अतः x = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

हल (Solution):

दिया है: sin⁻¹ [cos⁻¹ {cot (2 tan⁻¹ x)}] = 0

⇒ cos⁻¹ {cot (2 tan⁻¹ x)} = sin 0 = 0

⇒ cot (2 tan⁻¹ x) = cos 0 = 1

⇒ 2 tan⁻¹ x = cot⁻¹ 1 = \(\frac{\pi}{4}\)

⇒ tan⁻¹ x = \(\frac{\pi}{8}\)

⇒ x = tan \(\frac{\pi}{8}\)

हम जानते हैं: tan \(\frac{\pi}{8}\) = \(\sqrt{2} - 1\)

अतः x = \(\sqrt{2} - 1\)

हल (Solution):

माना Δ = \(\begin{vmatrix} a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}\)

R₁ → R₁ + R₂ + R₃ का प्रयोग करने पर:

R₁ = (a-b-c) + 2b + 2c = a + b + c

R₁ = 2a + (b-c-a) + 2c = a + b + c

R₁ = 2a + 2b + (c-a-b) = a + b + c

अतः Δ = \(\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}\)

R₁ से (a+b+c) उभयनिष्ठ लेने पर:

Δ = (a+b+c) \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}\)

अब C₂ → C₂ - C₁ और C₃ → C₃ - C₁ का प्रयोग करने पर:

Δ = (a+b+c) \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2b & -a-b-c & 0 \\ 2c & 0 & -a-b-c \end{vmatrix}\)

अब सारणिक का प्रसार करने पर:

Δ = (a+b+c) × 1 × [(-a-b-c)(-a-b-c) - 0]

Δ = (a+b+c) × (a+b+c)²

Δ = (a+b+c)³

इति सिद्धम्।

हल: आव्यूह विधि से हल करने के लिए, समीकरणों को AX = B के रूप में लिखते हैं:

A = [[1, -1, 1], [2, 1, -3], [1, 1, 1]], X = [[x], [y], [z]], B = [[4], [0], [2]]

|A| = 1(1×1 - (-3)×1) - (-1)(2×1 - (-3)×1) + 1(2×1 - 1×1) = 1(1+3) + 1(2+3) + 1(2-1) = 4 + 5 + 1 = 10

|A| ≠ 0, अतः आव्यूह व्युत्क्रमणीय है।

A⁻¹ = (1/|A|) adj(A)

सहखंडज आव्यूह ज्ञात करने पर:

adj(A) = [[4, 2, 2], [-5, 0, 5], [1, -2, 3]]

अतः A⁻¹ = (1/10) [[4, 2, 2], [-5, 0, 5], [1, -2, 3]]

X = A⁻¹B = (1/10) [[4, 2, 2], [-5, 0, 5], [1, -2, 3]] × [[4], [0], [2]]

= (1/10) [[4×4 + 2×0 + 2×2], [-5×4 + 0×0 + 5×2], [1×4 + (-2)×0 + 3×2]]

= (1/10) [[16+0+4], [-20+0+10], [4+0+6]] = (1/10) [[20], [-10], [10]]

= [[2], [-1], [1]]

अतः x = 2, y = -1, z = 1

हल: f(x) = 2x³ - 3x² - 36x + 7

f'(x) = 6x² - 6x - 36 = 6(x² - x - 6) = 6(x - 3)(x + 2)

क्रांतिक बिंदु: f'(x) = 0 ⇒ x = 3 या x = -2

अंतरालों की जाँच:

• (-∞, -2): f'(-3) = 6(-3-3)(-3+2) = 6(-6)(-1) = 36 > 0 ⇒ फलन वर्धमान
• (-2, 3): f'(0) = 6(0-3)(0+2) = 6(-3)(2) = -36 < 0 ⇒ फलन हासमान
• (3, ∞): f'(4) = 6(4-3)(4+2) = 6(1)(6) = 36 > 0 ⇒ फलन वर्धमान

अतः फलन वर्धमान है: (-∞, -2) ∪ (3, ∞) में, और हासमान है: (-2, 3) में।

हल: माना शंकु की त्रिज्या r और ऊँचाई h है।

दिया है: h = r/6 ⇒ r = 6h

शंकु का आयतन V = (1/3)πr²h = (1/3)π(6h)²h = (1/3)π(36h²)h = 12πh³

दर: dV/dt = 12 cm³/sec

dV/dt = d(12πh³)/dt = 36πh² dh/dt

⇒ 12 = 36πh² dh/dt

⇒ dh/dt = 12/(36πh²) = 1/(3πh²)

जब h = 4 cm: dh/dt = 1/(3π × 16) = 1/(48π) cm/sec

अतः ऊँचाई की वृद्धि दर = 1/(48π) cm/sec

विकल्प 1 का हल: ∫ eˣ (tan x + log sec x) dx

हम जानते हैं कि ∫ eˣ [f(x) + f'(x)] dx = eˣ f(x) + C

यहाँ, f(x) = log sec x, तो f'(x) = (1/sec x) × sec x tan x = tan x

अतः ∫ eˣ (tan x + log sec x) dx = eˣ log sec x + C

अतः मान = eˣ log |sec x| + C

विकल्प 2 का हल: ∫ [1 + x log x] / x dx = ∫ (1/x + log x) dx

= ∫ (1/x) dx + ∫ log x dx

= log |x| + (x log x - x) + C

= log |x| + x log x - x + C

अतः मान = x log x - x + log |x| + C

हल: दिए गए वक्र \(x^2 = 4y\) और रेखा \(x = 4y - 2\) के प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करते हैं।

रेखा से \(y = \frac{x+2}{4}\) को परवलय में रखने पर:

\(x^2 = 4\left(\frac{x+2}{4}\right) \Rightarrow x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0\)

\(\Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, 2\)

प्रतिच्छेद बिंदु: \(x = -1\) पर \(y = \frac{1}{4}\), \(x = 2\) पर \(y = 1\)

अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_{x=-1}^{2} \left[ \text{रेखा का } y - \text{परवलय का } y \right] dx\)

\(= \int_{-1}^{2} \left( \frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx\)

\(= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}\)

\(= \frac{1}{4} \left[ \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) \right]\)

\(= \frac{1}{4} \left[ \left(6 - \frac{8}{3}\right) - \left(-\frac{3}{2} + \frac{1}{3}\right) \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} + \frac{7}{6} \right] = \frac{1}{4} \times \frac{27}{6} = \frac{9}{8}\) वर्ग इकाई

अतः क्षेत्रफल = \(\frac{9}{8}\) वर्ग इकाई है।

हल: वृत्त \(x^2 + y^2 = a^2\) और रेखा \(x = \frac{a}{\sqrt{2}}\) के प्रतिच्छेद बिंदु:

\(x = \frac{a}{\sqrt{2}}\) रखने पर: \(\frac{a^2}{2} + y^2 = a^2 \Rightarrow y^2 = \frac{a^2}{2} \Rightarrow y = \pm \frac{a}{\sqrt{2}}\)

प्रतिच्छेद बिंदु: \(\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right)\) और \(\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right)\)

छोटा भाग रेखा के दाईं ओर है। क्षेत्रफल = \(2 \times \int_{x=a/\sqrt{2}}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx\)

\(= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} \right]_{a/\sqrt{2}}^{a}\)

\(= 2 \left[ \left(0 + \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right]\)

\(= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{4} - \left( \frac{a^2}{4} + \frac{a^2\pi}{8} \right) \right] = 2 \left[ \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2\pi}{8} \right]\)

\(= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{8} - \frac{a^2}{4} \right] = \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}(\pi - 2)\) वर्ग इकाई

अतः छोटे भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{a^2}{4}(\pi - 2)\) वर्ग इकाई है।

हल: माना \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समतलीय हैं। तब इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:

\([\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0\)

अब \(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}\) का अदिश त्रिक गुणनफल:

\([(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{b} \times \vec{c}) \ (\vec{c} \times \vec{a})] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot [(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a})]\)

सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र से: \((\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \ \vec{c} \ \vec{a}] \vec{c} - [\vec{b} \ \vec{c} \ \vec{c}] \vec{a} = [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] \vec{c}\) (क्योंकि \([\vec{b} \ \vec{c} \ \vec{c}] = 0\))

अतः \([(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{b} \times \vec{c}) \ (\vec{c} \times \vec{a})] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot ([\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] \vec{c}) = [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] \cdot (\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}) = [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]^2\)

यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समतलीय हैं, तो \([\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0\), अतः \([(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{b} \times \vec{c}) \ (\vec{c} \times \vec{a})] = 0\), अतः ये भी समतलीय हैं।

इसके विपरीत, यदि \(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}\) समतलीय हैं, तो \([(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{b} \times \vec{c}) \ (\vec{c} \times \vec{a})] = 0 \Rightarrow [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]^2 = 0 \Rightarrow [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0\), अतः \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समतलीय हैं।

अतः कथन सिद्ध होता है।

हल: माना \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k\) (समान परिमाण) और \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0\) (परस्पर लंबवत)।

माना \(\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\)

\(\vec{d}\) का \(\vec{a}\) से कोण \(\theta_a\) है, तब:

\(\cos \theta_a = \frac{\vec{d} \cdot \vec{a}}{|\vec{d}| |\vec{a}|} = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{d}| \cdot k} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a}}{k|\vec{d}|} = \frac{k^2 + 0 + 0}{k|\vec{d}|} = \frac{k}{|\vec{d}|}\)

इसी प्रकार, \(\vec{d}\) का \(\vec{b}\) से कोण \(\theta_b\): \(\cos \theta_b = \frac{\vec{d} \cdot \vec{b}}{|\vec{d}| |\vec{b}|} = \frac{k}{|\vec{d}|}\)

और \(\vec{d}\) का \(\vec{c}\) से कोण \(\theta_c\): \(\cos \theta_c = \frac{\vec{d} \cdot \vec{c}}{|\vec{d}| |\vec{c}|} = \frac{k}{|\vec{d}|}\)

चूँकि \(\cos \theta_a = \cos \theta_b = \cos \theta_c\), अतः \(\theta_a = \theta_b = \theta_c\) (कोण 0 से \(\pi\) के बीच में हैं)।

अतः सदिश \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) सदिशों \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) के साथ बराबर कोण बनाता है।

हल / Solution:

चरण 1: व्यवरोधों को समीकरणों में बदलें और आलेख बनाएं।

• x + 2y = 2 ⇒ y = (2 - x)/2
• 2x + y = 2 ⇒ y = 2 - 2x

चरण 2: सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करें। असमिकाओं x ≥ 0, y ≥ 0 के साथ, सुसंगत क्षेत्र चतुर्भुज OABC है, जहाँ:

• O = (0, 0)
• A = (1, 0) (जब y = 0, 2x = 2 ⇒ x = 1)
• B = (2/3, 2/3) (दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन: x + 2y = 2 और 2x + y = 2 को हल करने पर)
• C = (0, 1) (जब x = 0, 2y = 2 ⇒ y = 1)

चरण 3: प्रत्येक कोने बिंदु पर Z का मान ज्ञात करें:

• O (0, 0): Z = 600(0) + 400(0) = 0
• A (1, 0): Z = 600(1) + 400(0) = 600
• B (2/3, 2/3): Z = 600(2/3) + 400(2/3) = 400 + 266.67 = 666.67
• C (0, 1): Z = 600(0) + 400(1) = 400

चरण 4: अधिकतम मान ज्ञात करें। Z का अधिकतम मान 666.67 है, जो बिंदु B (2/3, 2/3) पर प्राप्त होता है।

अतः, अधिकतम Z = 666.67, x = 2/3, y = 2/3 पर।

हल / Solution:

चरण 1: x और y को सरल करें।

माना t = sin θ, तब √(1 - t²) = √(1 - sin²θ) = cos θ (θ ∈ [0, π/2] के लिए)

x = cos⁻¹(cos θ) = θ

y = tan⁻¹(cos θ / sin θ) = tan⁻¹(cot θ) = tan⁻¹(tan(π/2 - θ)) = π/2 - θ

चरण 2: अब y को x के पदों में लिखें:

y = π/2 - x

चरण 3: x के सापेक्ष अवकलन करें:

dy/dx = d(π/2 - x)/dx = -1

अतः, dy/dx = -1

हल:

दिया गया समाकलन: ∫ (2x+5) / (x²+3x+4) dx

हम अंश को हर के अवकलज के रूप में लिखने का प्रयास करते हैं।

हर का अवकलज: d/dx (x²+3x+4) = 2x+3

अंश 2x+5 को (2x+3) + 2 के रूप में लिख सकते हैं।

इसलिए, समाकलन = ∫ (2x+3)/(x²+3x+4) dx + ∫ 2/(x²+3x+4) dx

पहला समाकलन: ∫ (2x+3)/(x²+3x+4) dx = log|x²+3x+4| + C₁

दूसरे समाकलन के लिए, हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:

x²+3x+4 = (x + 3/2)² + 4 - 9/4 = (x + 3/2)² + 7/4

अतः ∫ 2/(x²+3x+4) dx = 2 ∫ dx/[(x+3/2)² + (√7/2)²]

यह ∫ dx/(x²+a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) के रूप में है।

यहाँ a = √7/2, तो समाकलन = 2 * (1/(√7/2)) tan⁻¹[(x+3/2)/(√7/2)] = (4/√7) tan⁻¹[(2x+3)/√7] + C₂

अतः अभीष्ट मान:

∫ (2x+5)/(x²+3x+4) dx = log|x²+3x+4| + (4/√7) tan⁻¹[(2x+3)/√7] + C

हल:

दिया गया अवकल समीकरण: x dy - y dx = eˣ(y² + x²) dx

दोनों पक्षों को x² से भाग देने पर:

(x dy - y dx)/x² = eˣ (y²/x² + 1) dx

बायाँ पक्ष d(y/x) है, क्योंकि d(y/x) = (x dy - y dx)/x²

अतः d(y/x) = eˣ ( (y/x)² + 1 ) dx

माना v = y/x, तो dv = eˣ (v² + 1) dx

या dv/(v²+1) = eˣ dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:

∫ dv/(v²+1) = ∫ eˣ dx

tan⁻¹(v) = eˣ + C

v = y/x रखने पर:

tan⁻¹(y/x) = eˣ + C

यह अभीष्ट हल है।

हल:

दिया गया अवकल समीकरण: (1 - x²) dy/dx + 2xy = x√(1-x²)

इसे dy/dx + P(x)y = Q(x) के रूप में लिखने के लिए (1-x²) से भाग देते हैं:

dy/dx + [2x/(1-x²)] y = x/√(1-x²)

यहाँ P(x) = 2x/(1-x²) और Q(x) = x/√(1-x²)

समाकलन गुणांक (I.F.) = e^(∫ P dx) = e^(∫ 2x/(1-x²) dx)

माना 1-x² = t, तो -2x dx = dt, अतः ∫ 2x/(1-x²) dx = -∫ dt/t = -log|t| = -log|1-x²|

इसलिए I.F. = e^(-log|1-x²|) = 1/(1-x²)

अवकल समीकरण का हल: y * I.F. = ∫ Q * I.F. dx + C

y/(1-x²) = ∫ [x/√(1-x²)] * [1/(1-x²)] dx = ∫ x/(1-x²)^(3/2) dx

माना 1-x² = t, तो -2x dx = dt, x dx = -dt/2

समाकलन = ∫ (-dt/2) / t^(3/2) = -1/2 ∫ t^(-3/2) dt = -1/2 * [t^(-1/2)/(-1/2)] + C = t^(-1/2) + C = 1/√(1-x²) + C

अतः y/(1-x²) = 1/√(1-x²) + C

या y = (1-x²)/√(1-x²) + C(1-x²) = √(1-x²) + C(1-x²)

यह अभीष्ट हल है।

हल:

दी गई रेखाओं के दिक्-अनुपात (direction ratios) क्रमशः:

पहली रेखा: a₁ = 3, b₁ = -6, c₁ = 7

दूसरी रेखा: a₂ = 3, b₂ = 8, c₂ = -5

माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात a, b, c हैं।

चूँकि अभीष्ट रेखा दोनों दी गई रेखाओं पर लम्बवत है, इसलिए:

3a - 6b + 7c = 0 ...(i)

3a + 8b - 5c = 0 ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर (वज्र गुणन विधि से):

a / [(-6)(-5) - (7)(8)] = b / [(7)(3) - (3)(-5)] = c / [(3)(8) - (-6)(3)]

a / [30 - 56] = b / [21 + 15] = c / [24 + 18]

a / (-26) = b / 36 = c / 42

सरल करने पर: a / (-13) = b / 18 = c / 21

अतः अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात -13, 18, 21 हैं।

यह रेखा बिन्दु (1, 2, -4) से होकर जाती है, अतः इसका समीकरण:

(x - 1)/(-13) = (y - 2)/18 = (z + 4)/21

यह अभीष्ट रेखा का समीकरण है।

हल:

माना घटनाएँ:

• E₁: विद्यार्थी उत्तर जानता है
• E₂: विद्यार्थी अनुमान लगाता है
• A: विद्यार्थी सही उत्तर देता है

दिया है:

• P(E₁) = 3/4
• P(E₂) = 1/4
• P(A|E₁) = 1 (यदि उत्तर जानता है तो सही उत्तर देगा)
• P(A|E₂) = 1/4 (अनुमान लगाने पर सही उत्तर की प्रायिकता)

हमें ज्ञात करना है: P(E₁|A)

बेज़ प्रमेय से:

P(E₁|A) = [P(E₁) × P(A|E₁)] / [P(E₁) × P(A|E₁) + P(E₂) × P(A|E₂)]

= (3/4 × 1) / (3/4 × 1 + 1/4 × 1/4)

= (3/4) / (3/4 + 1/16)

= (3/4) / (12/16 + 1/16)

= (3/4) / (13/16)

= (3/4) × (16/13)

= 12/13

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 12/13

हल:

दो पासों को उछालने पर, X = 6 आने की संख्या। X के संभावित मान: 0, 1, 2

प्रत्येक पासे पर 6 आने की प्रायिकता = 1/6, न आने की = 5/6

यह द्विपद बंटन है जहाँ n = 2, p = 1/6, q = 5/6

प्रायिकता बंटन:

• P(X=0) = (5/6)² = 25/36
• P(X=1) = 2 × (1/6) × (5/6) = 10/36
• P(X=2) = (1/6)² = 1/36

माध्य (Expectation):

E(X) = np = 2 × (1/6) = 2/6 = 1/3

प्रसरण (Variance):

Var(X) = npq = 2 × (1/6) × (5/6) = 10/36 = 5/18

अतः:

• प्रायिकता बंटन: P(X=0)=25/36, P(X=1)=10/36, P(X=2)=1/36
• माध्य = 1/3
• प्रसरण = 5/18