RBSE Class 12th 2020 -SS-15-2020 Previous Year Papers

हल:

\(\int \frac{x^2 - 7}{x} \, dx = \int \left( x - \frac{7}{x} \right) dx = \frac{x^2}{2} - 7 \ln|x| + C\)

Solution:

Magnitude of \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}\).

Unit vector along \(\vec{a}\): \(\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})\).

Required vector of magnitude 6: \(6\hat{a} = \frac{6}{\sqrt{6}}(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \sqrt{6}(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})\).

Solution:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (2)(2) + (1)(3) = 1 + 4 + 3 = 8\).

Solution:

Direction ratios: \((1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)\).

Magnitude: \(\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Direction cosines: \(\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\).

Solution:

The feasible region is the triangle bounded by the axes and the line \(x + 2y = 8\). The vertices are \((0,0)\), \((8,0)\), and \((0,4)\). The region is below the line and in the first quadrant.

Solution:

For independent events, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2\).

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7\).

हल (पहला भाग):

हम जानते हैं कि \(\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}\) (सभी \(x \in [-1,1]\) के लिए)।

दिया है: \(4 \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \pi\)

इसे लिख सकते हैं: \(3 \sin^{-1} x + (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) = \pi\)

\(\Rightarrow 3 \sin^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi\)

\(\Rightarrow 3 \sin^{-1} x = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow \sin^{-1} x = \frac{\pi}{6}\)

\(\Rightarrow x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)

अतः \(x = \frac{1}{2}\)

हल (दूसरा भाग / OR):

\(\sin^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}\)

\(\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}\)

अतः \(\sin^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} + 2 \times \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\)

अतः अभीष्ट मान = \(\frac{\pi}{6}\)

हल:

माना \(D = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \end{vmatrix}\)

संक्रिया \(R_2 \rightarrow R_2 - R_1\) और \(R_3 \rightarrow R_3 - R_1\) करने पर:

\(D = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & a-x & a^2 - x^2 \\ 0 & b-x & b^2 - x^2 \end{vmatrix}\)

\(= \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & a-x & (a-x)(a+x) \\ 0 & b-x & (b-x)(b+x) \end{vmatrix}\)

\(R_2\) और \(R_3\) से \((a-x)\) और \((b-x)\) उभयनिष्ठ लेने पर:

\(D = (a-x)(b-x) \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & 1 & a+x \\ 0 & 1 & b+x \end{vmatrix}\)

अब प्रथम स्तम्भ के अनुदिश प्रसार करने पर:

\(D = (a-x)(b-x) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a+x \\ 1 & b+x \end{vmatrix}\)

\(= (a-x)(b-x) [(b+x) - (a+x)]\)

\(= (a-x)(b-x)(b-a)\)

\(= (x-a)(x-b)(b-a)\) (चूँकि \(a-x = -(x-a)\) और \(b-x = -(x-b)\), गुणनफल धनात्मक होगा)

इति सिद्धम्।

हल:

तीन बिन्दु संरेखीय होते हैं यदि उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो।

बिन्दु (3, -2), (5, x) और (8, 8) के लिए सारणिक:

\(\begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 5 & x & 1 \\ 8 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 0\)

प्रसार करने पर:

\(3(x \cdot 1 - 1 \cdot 8) - (-2)(5 \cdot 1 - 1 \cdot 8) + 1(5 \cdot 8 - x \cdot 8) = 0\)

\(\Rightarrow 3(x - 8) + 2(5 - 8) + (40 - 8x) = 0\)

\(\Rightarrow 3x - 24 + 2(-3) + 40 - 8x = 0\)

\(\Rightarrow 3x - 24 - 6 + 40 - 8x = 0\)

\(\Rightarrow -5x + 10 = 0\)

\(\Rightarrow 5x = 10\)

\(\Rightarrow x = 2\)

अतः \(x = 2\)

हल: फलन f(x) = sin x – cos x के लिए,

f'(x) = cos x + sin x

वर्धमान फलन के लिए f'(x) > 0

⇒ cos x + sin x > 0

⇒ √2 sin(x + π/4) > 0

⇒ sin(x + π/4) > 0

⇒ 0 < x + π/4 < π, 2π < x + π/4 < 3π, ...

⇒ -π/4 < x < 3π/4, 7π/4 < x < 11π/4, ...

अतः फलन अन्तराल (-π/4, 3π/4), (7π/4, 11π/4), ... में वर्धमान है।

Solution: For function f(x) = sin x – cos x,

f'(x) = cos x + sin x

For increasing function, f'(x) > 0

⇒ cos x + sin x > 0

⇒ √2 sin(x + π/4) > 0

⇒ sin(x + π/4) > 0

⇒ 0 < x + π/4 < π, 2π < x + π/4 < 3π, ...

⇒ -π/4 < x < 3π/4, 7π/4 < x < 11π/4, ...

Hence, the function is increasing in intervals (-π/4, 3π/4), (7π/4, 11π/4), ...

हल: माना f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6

f'(x) = 3x² – 12x + 11

उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिए f'(x) = 0

⇒ 3x² – 12x + 11 = 0

⇒ x = [12 ± √(144 – 132)] / 6 = [12 ± √12] / 6 = [12 ± 2√3] / 6 = 2 ± √3/3

अतः x = 2 + √3/3 और x = 2 – √3/3 पर क्रांतिक बिंदु हैं।

f''(x) = 6x – 12

x = 2 पर, f''(2) = 6(2) – 12 = 0

चूँकि f''(2) = 0, हम उच्च अवकलज परीक्षण करते हैं।

f'''(x) = 6, जो x = 2 पर शून्य नहीं है।

चूँकि पहला अशून्य उच्च अवकलज विषम कोटि का है, x = 2 पर न तो उच्चिष्ठ और न ही निम्निष्ठ है, बल्कि यह एक नति बिंदु है।

प्रश्न में दिए गए x = 2 पर उच्चिष्ठ होने का कथन सही नहीं है। वास्तविक उच्चिष्ठ x = 2 – √3/3 पर होता है।

Solution: Let f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6

f'(x) = 3x² – 12x + 11

For maxima or minima, f'(x) = 0

⇒ 3x² – 12x + 11 = 0

⇒ x = [12 ± √(144 – 132)] / 6 = [12 ± √12] / 6 = [12 ± 2√3] / 6 = 2 ± √3/3

Thus critical points are x = 2 + √3/3 and x = 2 – √3/3.

f''(x) = 6x – 12

At x = 2, f''(2) = 6(2) – 12 = 0

Since f''(2) = 0, we use higher derivative test.

f'''(x) = 6, which is non-zero at x = 2.

Since the first non-zero higher derivative is of odd order, x = 2 is neither a maximum nor a minimum, but a point of inflection.

The statement that the function has maximum at x = 2 is incorrect. The actual maximum occurs at x = 2 – √3/3.

हल: ∫ dx / √(x² – 3x + 2)

x² – 3x + 2 = x² – 3x + (9/4) – (9/4) + 2 = (x – 3/2)² – 1/4

अतः समाकल = ∫ dx / √[(x – 3/2)² – (1/2)²]

= log | (x – 3/2) + √[(x – 3/2)² – (1/2)²] | + C

= log | x – 3/2 + √(x² – 3x + 2) | + C

Solution: ∫ dx / √(x² – 3x + 2)

x² – 3x + 2 = x² – 3x + (9/4) – (9/4) + 2 = (x – 3/2)² – 1/4

Thus integral = ∫ dx / √[(x – 3/2)² – (1/2)²]

= log | (x – 3/2) + √[(x – 3/2)² – (1/2)²] | + C

= log | x – 3/2 + √(x² – 3x + 2) | + C

हल: ∫ dx / (x² + 6x + 8)

x² + 6x + 8 = x² + 6x + 9 – 1 = (x + 3)² – 1²

अतः समाकल = ∫ dx / [(x + 3)² – 1²]

= (1/2) log | (x + 3 – 1) / (x + 3 + 1) | + C

= (1/2) log | (x + 2) / (x + 4) | + C

Solution: ∫ dx / (x² + 6x + 8)

x² + 6x + 8 = x² + 6x + 9 – 1 = (x + 3)² – 1²

Thus integral = ∫ dx / [(x + 3)² – 1²]

= (1/2) log | (x + 3 – 1) / (x + 3 + 1) | + C

= (1/2) log | (x + 2) / (x + 4) | + C

हल: प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए, y = x² और y = x को हल करते हैं:

x² = x ⇒ x² – x = 0 ⇒ x(x – 1) = 0 ⇒ x = 0, 1

प्रतिच्छेद बिंदु (0, 0) और (1, 1) हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल = ∫₀¹ (x – x²) dx

= [x²/2 – x³/3]₀¹

= (1/2 – 1/3) – (0 – 0)

= (3 – 2)/6 = 1/6 वर्ग इकाई

Solution: To find intersection points, solve y = x² and y = x:

x² = x ⇒ x² – x = 0 ⇒ x(x – 1) = 0 ⇒ x = 0, 1

Intersection points are (0, 0) and (1, 1).

Required area = ∫₀¹ (x – x²) dx

= [x²/2 – x³/3]₀¹

= (1/2 – 1/3) – (0 – 0)

= (3 – 2)/6 = 1/6 square units

Solution:

The curve \(y = |x|\) consists of two lines: \(y = x\) for \(x \ge 0\) and \(y = -x\) for \(x < 0\). The circle \(x^2 + y^2 = 1\) has radius 1 centered at origin.

Due to symmetry, the area bounded by the circle and the curve is the same in all four quadrants. Consider the region in the first quadrant: bounded by \(y = x\), the circle, and the x-axis from \(x = 0\) to \(x = 1/\sqrt{2}\) (intersection point of \(y = x\) and circle: \(x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow x = 1/\sqrt{2}\)).

Area in first quadrant = \(\int_{0}^{1/\sqrt{2}} x \, dx + \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx\).

First integral: \(\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{4}\).

Second integral: \(\int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x\sqrt{1 - x^2} + \sin^{-1} x \right)\). Evaluate from \(1/\sqrt{2}\) to 1:

At \(x = 1\): \(\frac{1}{2}(0 + \pi/2) = \pi/4\).

At \(x = 1/\sqrt{2}\): \(\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin^{-1}(1/\sqrt{2}) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \pi/4 \right) = \frac{1}{4} + \pi/8\).

So second integral = \(\pi/4 - (1/4 + \pi/8) = \pi/8 - 1/4\).

Total area in first quadrant = \(1/4 + (\pi/8 - 1/4) = \pi/8\).

Since there are 4 such symmetric regions (one in each quadrant), total area = \(4 \times \pi/8 = \pi/2\) square units.

Correct Answer: \(\frac{\pi}{2}\) square units.

Solution:

A vector perpendicular to both \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) is given by their cross product \(\vec{a} \times \vec{b}\).

\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & 2 \end{vmatrix}\)

\(= \hat{i}(2 \cdot 2 - 3 \cdot (-2)) - \hat{j}(1 \cdot 2 - 3 \cdot 2) + \hat{k}(1 \cdot (-2) - 2 \cdot 2)\)

\(= \hat{i}(4 + 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(-2 - 4)\)

\(= 10\hat{i} + 4\hat{j} - 6\hat{k}\)

Magnitude: \(|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{10^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 16 + 36} = \sqrt{152} = 2\sqrt{38}\)

Unit vector \(\hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{10\hat{i} + 4\hat{j} - 6\hat{k}}{2\sqrt{38}} = \frac{5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{38}}\)

Correct Answer: \(\hat{n} = \frac{5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{38}}\)

Solution:

Given: \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 3\), \(|\vec{c}| = 4\).

Condition: \(\vec{a} \perp (\vec{b} + \vec{c})\), \(\vec{b} \perp (\vec{a} + \vec{c})\), \(\vec{c} \perp (\vec{a} + \vec{b})\).

This implies:

\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0\) ...(1)

\(\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\) ...(2)

\(\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\) ...(3)

From (1) and (2): \(\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}\). From (2) and (3): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}\). So all dot products are equal. Let \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} = k\).

From (1): \(k + k = 0 \Rightarrow 2k = 0 \Rightarrow k = 0\).

Thus all dot products are zero, meaning the vectors are mutually perpendicular.

Now, \(|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\)

\(= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{c})\)

\(= 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0 + 0 + 0) = 4 + 9 + 16 = 29\)

Therefore, \(|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{29}\).

Correct Answer: \(\sqrt{29}\)

हल:

चरण 1: असमिकाओं को समीकरणों में बदलें और सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करें।

• x + 3y = 60 ⇒ y = (60 - x)/3
• x + y = 20 ⇒ y = 20 - x
• x = 0, y = 0 (अक्ष)

चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें:

• x + 3y = 60 और x + y = 20 को हल करने पर: (x, y) = (0, 20) और (30, 10) (सटीक हल: x=0, y=20; x=30, y=10)
• x + 3y = 60 और x-अक्ष (y=0) पर: (60, 0)
• x + y = 20 और y-अक्ष (x=0) पर: (0, 20)
• x + y = 20 और x-अक्ष (y=0) पर: (20, 0)

चरण 3: सुसंगत क्षेत्र के कोने बिंदु: (0, 20), (20, 0), (30, 10), (60, 0) (x+3y=60 और x+y=20 का प्रतिच्छेद (0,20) और (30,10) है; x+3y=60 और x-अक्ष (60,0); x+y=20 और x-अक्ष (20,0); x+y=20 और y-अक्ष (0,20); x+3y=60 और y-अक्ष (0,20) पर नहीं क्योंकि 0+60=60, लेकिन x+y≥20 के कारण (0,20) मान्य है। वास्तविक कोने: (0,20), (20,0), (30,10), (60,0) — लेकिन (0,20) और (20,0) x+y=20 पर हैं। सही कोने: (0,20), (20,0), (30,10), (60,0) (x+3y=60 और x+y=20 का प्रतिच्छेद (0,20) नहीं, बल्कि (0,20) x+y=20 पर है; x+3y=60 और x+y=20 का हल: x=30, y=10; x+3y=60 और x-अक्ष: (60,0); x+y=20 और x-अक्ष: (20,0); x+y=20 और y-अक्ष: (0,20); x+3y=60 और y-अक्ष: (0,20) पर नहीं। अतः कोने: (0,20), (20,0), (30,10), (60,0))

चरण 4: प्रत्येक कोने पर z का मान ज्ञात करें:

• (0, 20): z = 3(0) + 9(20) = 180
• (20, 0): z = 3(20) + 9(0) = 60
• (30, 10): z = 3(30) + 9(10) = 90 + 90 = 180
• (60, 0): z = 3(60) + 9(0) = 180

चरण 5: निष्कर्ष:

• न्यूनतम मान (Minimum value): z = 60, बिंदु (20, 0) पर।
• अधिकतम मान (Maximum value): z = 180, बिंदुओं (0, 20), (30, 10), और (60, 0) पर (अनंत हल)।

अतः रैखिक प्रोग्रामन समस्या का न्यूनतम मान 60 और अधिकतम मान 180 है।

हल:

दिया है: y = (e^x - e^{-x}) / [(x-4)(x-5)(x-6)]

माना u = e^x - e^{-x} और v = (x-4)(x-5)(x-6)

भागफल नियम (Quotient Rule) का प्रयोग करें: dy/dx = (u'v - uv') / v²

चरण 1: u' ज्ञात करें:

u' = d/dx (e^x - e^{-x}) = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}

चरण 2: v' ज्ञात करें:

v = (x-4)(x-5)(x-6)

पहले दो गुणनखंडों का गुणनफल: (x-4)(x-5) = x² - 9x + 20

v = (x² - 9x + 20)(x-6)

v' = (2x - 9)(x-6) + (x² - 9x + 20)(1) [गुणनफल नियम से]

= (2x - 9)(x-6) + x² - 9x + 20

= 2x² - 12x - 9x + 54 + x² - 9x + 20

= 3x² - 30x + 74

चरण 3: dy/dx = [(e^x + e^{-x})(x-4)(x-5)(x-6) - (e^x - e^{-x})(3x² - 30x + 74)] / [(x-4)²(x-5)²(x-6)²]

यह अभीष्ट अवकलन है।

हल:

दिया है: I = ∫ (1 / (1 + √(cot x))) dx

हम जानते हैं कि cot x = cos x / sin x, अतः √(cot x) = √(cos x / sin x)

लेकिन एक सामान्य विधि: गुणनखंड करने के लिए अंश और हर को √(sin x) से गुणा करें:

I = ∫ (√(sin x) / (√(sin x) + √(cos x))) dx

अब, एक गुणधर्म का प्रयोग करें: ∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx, जहाँ a और b सीमाएँ हैं। यहाँ सीमाएँ नहीं दी गई हैं, अतः हम एक निश्चित समाकल के लिए सिद्ध करेंगे। मान लीजिए समाकल 0 से π/2 तक है।

I = ∫₀^{π/2} (√(sin x) / (√(sin x) + √(cos x))) dx

गुणधर्म से: I = ∫₀^{π/2} (√(sin(π/2 - x)) / (√(sin(π/2 - x)) + √(cos(π/2 - x)))) dx

= ∫₀^{π/2} (√(cos x) / (√(cos x) + √(sin x))) dx

दोनों समाकलों को जोड़ें:

2I = ∫₀^{π/2} (√(sin x) + √(cos x)) / (√(sin x) + √(cos x)) dx = ∫₀^{π/2} 1 dx = π/2

अतः I = π/4

इस प्रकार सिद्ध होता है कि ∫₀^{π/2} (1 / (1 + √(cot x))) dx = π/4

दिया गया अवकलन समीकरण है:

3x² dy - (3xy + y²) dx = 0

इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर:

3x² dy = (3xy + y²) dx

या dy/dx = (3xy + y²) / (3x²)

यह एक समघात अवकलन समीकरण है। इसे हल करने के लिए y = vx रखने पर, dy/dx = v + x dv/dx:

v + x dv/dx = (3x(vx) + (vx)²) / (3x²)

v + x dv/dx = (3vx² + v²x²) / (3x²)

v + x dv/dx = (3v + v²) / 3

x dv/dx = (3v + v²)/3 - v = (3v + v² - 3v)/3 = v²/3

चर पृथक्करण करने पर:

3 dv / v² = dx / x

समाकलन करने पर:

∫ 3v⁻² dv = ∫ dx/x

-3/v = ln|x| + C

v = y/x पुनः रखने पर:

-3x/y = ln|x| + C

या y = -3x / (ln|x| + C)

यह अभीष्ट हल है।

दिया गया अवकलन समीकरण:

dy/dx = (x + y)/x = 1 + y/x

यह एक समघात अवकलन समीकरण है। y = vx रखने पर, dy/dx = v + x dv/dx:

v + x dv/dx = 1 + v

x dv/dx = 1

चर पृथक्करण करने पर:

dv = dx/x

समाकलन करने पर:

∫ dv = ∫ dx/x

v = ln|x| + C

v = y/x पुनः रखने पर:

y/x = ln|x| + C

या y = x ln|x| + Cx

यह अभीष्ट हल है।

पहली रेखा के लिए: बिंदु A(1, -1, 1) और दिशा अनुपात (3, 2, 5)

दूसरी रेखा के लिए: बिंदु B(2, 1, -1) और दिशा अनुपात (4, 3, -2)

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि वे समतलीय हों। समतलीयता की शर्त:

| (x₂ - x₁) (y₂ - y₁) (z₂ - z₁) |

| a₁ b₁ c₁ | = 0

| a₂ b₂ c₂ |

जहाँ (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) दोनों रेखाओं पर स्थित बिंदु हैं, तथा (a₁, b₁, c₁) और (a₂, b₂, c₂) दिशा अनुपात हैं।

यहाँ:

x₂ - x₁ = 2 - 1 = 1

y₂ - y₁ = 1 - (-1) = 2

z₂ - z₁ = -1 - 1 = -2

अब सारणिक:

| 1 2 -2 |

| 3 2 5 |

| 4 3 -2 |

सारणिक का मान ज्ञात करने पर:

= 1(2×(-2) - 5×3) - 2(3×(-2) - 5×4) + (-2)(3×3 - 2×4)

= 1(-4 - 15) - 2(-6 - 20) - 2(9 - 8)

= 1(-19) - 2(-26) - 2(1)

= -19 + 52 - 2

= 31

चूँकि सारणिक का मान शून्य नहीं है (31 ≠ 0), अतः रेखाएँ समतलीय नहीं हैं और इसलिए वे परस्पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

Variance of X = 5/18.

Variance of X = 14/9.