RBSE Class 12th 2020 -SS-40-2020 Previous Year Papers

हल: समरूप आवेशित अचालक गोले के लिए, केन्द्र पर विद्युत विभव पृष्ठ पर विद्युत विभव का 1.5 गुना होता है।

V_{केन्द्र} = (3/2) × V_{पृष्ठ} = 1.5 × 40 V = 60 V

Solution: For a uniformly charged non-conducting sphere, the electric potential at the center is 1.5 times the potential at the surface.

V_center = (3/2) × V_surface = 1.5 × 40 V = 60 V

उत्तर: धारा घनत्व (J) को किसी चालक के एकांक अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक सदिश राशि है।

J = I / A, जहाँ I = धारा, A = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल। इसका SI मात्रक A/m² है।

Answer: Current density (J) is defined as the electric current flowing per unit cross-sectional area of a conductor. It is a vector quantity.

J = I / A, where I = current, A = cross-sectional area. Its SI unit is A/m².

उत्तर: चुम्बकीय क्षेत्र उत्पन्न करने के दो स्रोत निम्नलिखित हैं:

1. स्थायी चुम्बक (Permanent magnet)
2. विद्युत धारावाही चालक (Current-carrying conductor)

Answer: Two sources to produce magnetic field are:

1. Permanent magnet
2. Current-carrying conductor

उत्तर: चुम्बकत्व सम्बन्धी गाउस का नियम: किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल चुम्बकीय फ्लक्स शून्य होता है।

∮ B · dA = 0

इस नियम के अनुसार, प्रकृति में पृथक चुम्बकीय एकध्रुव (magnetic monopole) का अस्तित्व नहीं होता।

Answer: Gauss’ law for magnetism: The total magnetic flux through any closed surface is zero.

∮ B · dA = 0

According to this law, isolated magnetic monopoles do not exist in nature.

हल: शक्ति गुणांक (cos φ) = 0.5

cos φ = 0.5

φ = cos⁻¹(0.5) = 60°

अतः वोल्टता एवं धारा के मध्य कलांतर 60° (या π/3 रेडियन) है।

Solution: Power factor (cos φ) = 0.5

cos φ = 0.5

φ = cos⁻¹(0.5) = 60°

Therefore, the phase difference between voltage and current is 60° (or π/3 radians).

Explanation: When a conductor is placed in a changing magnetic field, induced currents flow in closed loops within the conductor. These are called eddy currents. They oppose the change in magnetic flux (Lenz's law) and can cause heating and energy loss.

Explanation: The critical angle is the angle of incidence in the denser medium for which the angle of refraction in the rarer medium is 90°. Using Snell's law: n₁ sin i = n₂ sin r. For critical angle, i = C, r = 90°, n₁ = n (denser), n₂ = 1 (air). So, n sin C = 1 × sin 90° = 1, hence n = 1/sin C.

Explanation: According to the photoelectric effect, the number of photoelectrons emitted per second is directly proportional to the intensity of incident light (for a fixed frequency above threshold). Hence, the photoelectric current increases linearly with intensity.

Explanation: De-Broglie proposed that moving particles have wave-like properties. The wavelength associated with a particle is inversely proportional to its momentum. This hypothesis was later confirmed by electron diffraction experiments.

Explanation: Excitation energy is the energy required to raise an electron from its ground state to a higher energy level. For example, in a hydrogen atom, the excitation energy from n=1 to n=2 is 10.2 eV.

Explanation: A NOR gate gives output 1 only when all inputs are 0. For three inputs, the output Y = (A + B + C)'. The symbol shows an OR gate followed by a small circle (inverter).

ब्लॉक आरेख (Block Diagram):

1. एंटीना (Antenna) – आयाम मॉडुलित तरंगों को ग्रहण करता है।
2. RF एम्प्लीफायर (RF Amplifier) – कमजोर संकेत को प्रवर्धित करता है।
3. मिक्सर/डिटेक्टर (Mixer/Detector) – मॉडुलित तरंग से ऑडियो संकेत निकालता है।
4. ऑडियो एम्प्लीफायर (Audio Amplifier) – ऑडियो संकेत को प्रवर्धित करता है।
5. स्पीकर (Speaker) – ध्वनि उत्पन्न करता है।

Block Diagram:

एंटीना → RF एम्प्लीफायर → मिक्सर/डिटेक्टर → ऑडियो एम्प्लीफायर → स्पीकर

उत्तर:

1. स्कैनिंग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप (Scanning Electron Microscope - SEM)
2. ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप (Transmission Electron Microscope - TEM)

अन्य विकल्प: परमाणु बल माइक्रोस्कोप (AFM), स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप (STM)

हल:

दिया गया है:

• व्यास (d) = 0.20 m, अतः त्रिज्या (r) = 0.10 m
• प्लेटों के बीच दूरी (D) = 0.0 m (यहाँ संभवतः 0.001 m या 1 mm होना चाहिए, परंतु प्रश्न में 0.0 m दिया है; यदि D = 0 हो तो धारिता अनंत होगी। सामान्यतः D = 0.001 m मानते हैं।)
• माध्यम वायु, अतः ε_r = 1
• ε₀ = 8.85 × 10^-12 F/m

प्लेट का क्षेत्रफल (A) = πr² = π × (0.10)² = 0.0314 m²

धारिता (C) = (ε₀ × ε_r × A) / D

यदि D = 0.001 m (मान लें):

C = (8.85 × 10^-12 × 1 × 0.0314) / 0.001 = 2.78 × 10^-10 F = 278 pF

उत्तर: धारिता लगभग 278 pF होगी (यदि दूरी 1 mm हो)।

हल:

दिया गया है:

• लम्बाई (L) = 1.5 m
• अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल (A) = 6 × 10^-7 m²
• विभवान्तर (V) = 0.9 V
• प्रतिरोधकता (ρ) = 5.6 × 10^-8 Ω m

प्रतिरोध (R) = ρ × (L / A)

R = (5.6 × 10^-8) × (1.5 / (6 × 10^-7))

R = (5.6 × 10^-8) × (2.5 × 10⁶)

R = 0.14 Ω

ओम के नियम से, धारा (I) = V / R

I = 0.9 / 0.14 = 6.43 A

उत्तर: तार में प्रवाहित विद्युत धारा लगभग 6.43 A है।

उत्तर: विभवमापी एक श्रेष्ठ उपकरण है क्योंकि:

• यह मापन के समय परिपथ से कोई धारा नहीं लेता है, जिससे वास्तविक विभवांतर मापा जाता है।
• वोल्टमीटर में आंतरिक प्रतिरोध के कारण कुछ धारा प्रवाहित होती है, जिससे मापन में त्रुटि आती है।
• विभवमापी अत्यधिक सुग्राही होता है और अल्प विभवांतर को भी माप सकता है।

उत्तर: मीटर सेतु की दो सीमाएँ निम्नलिखित हैं:

1. यह केवल मध्यम प्रतिरोधों (लगभग 1 Ω से 1000 Ω) के मापन के लिए उपयुक्त है, अत्यधिक निम्न या उच्च प्रतिरोधों के मापन में सटीकता कम हो जाती है।
2. तार की एकसमानता और संपर्क प्रतिरोधों के कारण त्रुटियाँ उत्पन्न हो सकती हैं, जिससे परिणाम प्रभावित होते हैं।

उत्तर: भू-चुम्बकत्व के दो अवयव हैं:

1. दिक्पात (Declination): भौगोलिक उत्तर और चुम्बकीय उत्तर के बीच का कोण।
2. नति (Dip or Inclination): चुम्बकीय सुई द्वारा क्षैतिज तल से बनाया गया कोण।

उत्तर: चुम्बकीय प्रवृत्ति (Magnetic susceptibility) किसी पदार्थ की चुम्बकित होने की क्षमता का माप है। इसे χ (ची) से दर्शाया जाता है और यह चुम्बकन तीव्रता (M) तथा चुम्बकीय क्षेत्र तीव्रता (H) के अनुपात के बराबर होता है: χ = M/H।

अतिचालक पदार्थों की चुम्बकीय प्रवृत्ति का मान χ = -1 होता है (पूर्ण प्रतिचुम्बकीय)।

हल: दिया गया है:

• R₁ = +10 cm (पहला पृष्ठ उत्तल)
• R₂ = -5 cm (दूसरा पृष्ठ अवतल, चिह्न परिपाटी के अनुसार)
• f = +12 cm (अभिसारी लेंस)

लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:

1/f = (μ - 1) [1/R₁ - 1/R₂]

⇒ 1/12 = (μ - 1) [1/10 - 1/(-5)]

⇒ 1/12 = (μ - 1) [1/10 + 1/5]

⇒ 1/12 = (μ - 1) [1/10 + 2/10]

⇒ 1/12 = (μ - 1) × (3/10)

⇒ μ - 1 = (1/12) × (10/3) = 10/36 = 5/18

⇒ μ = 1 + 5/18 = 23/18 ≈ 1.2778

अतः लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक लगभग 1.28 है।

उत्तर: विवर्तन (Diffraction) वह घटना है जिसमें तरंगें किसी बाधा या स्लिट के किनारों से मुड़कर ज्यामितीय छाया क्षेत्र में प्रवेश करती हैं। प्रकाश के विवर्तन का अर्थ है प्रकाश तरंगों का बाधा के कोर पर मुड़ना।

ध्वनि की तरंगदैर्ध्य (लगभग 1 मीटर से 10 मीटर) दैनिक जीवन की बाधाओं (दरवाजे, खिड़कियाँ) के आकार के समान होती है, इसलिए ध्वनि का विवर्तन आसानी से देखा जा सकता है (जैसे दीवार के पीछे से आवाज सुनाई देना)।

प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बहुत छोटी (लगभग 400-700 nm) होती है, जो दैनिक बाधाओं के आकार की तुलना में अत्यंत सूक्ष्म है। इसलिए प्रकाश के विवर्तन को देखने के लिए अत्यधिक सूक्ष्म स्लिट या बाधाओं की आवश्यकता होती है, जो सामान्य जीवन में उपलब्ध नहीं हैं।

प्रकाश-विद्युत प्रभाव (Photo-electric effect): जब किसी धातु की सतह पर उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश आपतित होता है, तो धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। इस घटना को प्रकाश-विद्युत प्रभाव कहते हैं।

निरोधी विभव (Stopping potential): वह न्यूनतम विभवांतर जिसे प्रकाश-विद्युत सेल के एनोड और कैथोड के बीच लगाने पर उत्सर्जित सबसे तीव्र गति वाले इलेक्ट्रॉन भी एनोड तक पहुँचने से रुक जाते हैं, निरोधी विभव कहलाता है। इसे V₀ से प्रदर्शित करते हैं।

हल: दिया है: शिखर धारा I₀ = 6 A

(i) प्रत्यावर्ती धारा अमीटर (AC Ammeter): यह धारा का वर्ग माध्य मूल (rms) मान मापता है।

I_rms = I₀ / √2 = 6 / √2 = 3√2 A ≈ 4.24 A

(ii) दिष्ट धारा अमीटर (DC Ammeter): यह धारा का औसत मान मापता है। प्रत्यावर्ती धारा के पूर्ण चक्र का औसत मान शून्य होता है, अतः DC अमीटर शून्य पाठ्यांक देगा।

I_dc = 0 A

हल: माना प्रत्यावर्ती धारा का समीकरण: I = I₀ sin ωt है।

प्रश्नानुसार: I = I₀ / √2

अतः I₀ / √2 = I₀ sin ωt

⇒ sin ωt = 1/√2

⇒ ωt = π/4 (या 45°)

⇒ t = π / (4ω)

चूँकि ω = 2πf, जहाँ f आवृत्ति है।

अतः t = π / (4 × 2πf) = 1/(8f) सेकंड

यदि आवृत्ति f = 50 Hz है, तो t = 1/(8×50) = 1/400 = 0.0025 सेकंड = 2.5 ms

नाभिकीय विखण्डन (Nuclear Fission): किसी भारी नाभिक (जैसे यूरेनियम-235) का एक न्यूट्रॉन द्वारा टकराने पर दो लगभग बराबर द्रव्यमान के हल्के नाभिकों में टूटने की प्रक्रिया को नाभिकीय विखण्डन कहते हैं। इस प्रक्रिया में अपार ऊर्जा निकलती है।

नाभिकीय संलयन (Nuclear Fusion): दो या दो से अधिक हल्के नाभिकों (जैसे हाइड्रोजन समस्थानिक) के आपस में जुड़कर एक भारी नाभिक बनाने की प्रक्रिया को नाभिकीय संलयन कहते हैं। यह प्रक्रिया अत्यधिक उच्च तापमान पर होती है और इसमें भी अपार ऊर्जा निकलती है।

अवक्षय परत (Depletion Layer): PN सन्धि में, जंक्शन के निकट वह क्षेत्र जहाँ मुक्त आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) अनुपस्थित होते हैं, अवक्षय परत कहलाता है। यह परत स्थिर आयनों (धनात्मक और ऋणात्मक) से बनी होती है और विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती है।

अवरोधिका (Potential Barrier): अवक्षय परत के दोनों ओर उत्पन्न विभवांतर को अवरोधिका कहते हैं। यह N-क्षेत्र से P-क्षेत्र की ओर इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह को रोकता है। सिलिकॉन के लिए यह लगभग 0.7 V और जर्मेनियम के लिए 0.3 V होता है।

1. विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं, जिनमें विद्युत क्षेत्र (E) और चुम्बकीय क्षेत्र (B) एक-दूसरे के लंबवत तथा तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं।
2. ये तरंगें निर्वात में प्रकाश की चाल (c = 3 × 10⁸ m/s) से चलती हैं।
3. इन तरंगों के संचरण के लिए किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती; ये निर्वात में भी संचरित हो सकती हैं।
4. ये तरंगें ऊर्जा और संवेग का वहन करती हैं तथा इनमें विवर्तन, व्यतिकरण और ध्रुवण जैसे गुण पाए जाते हैं।

स्वप्रेरकत्व की परिभाषा: किसी कुण्डली का स्वप्रेरकत्व वह गुण है जिसके कारण उसमें बहने वाली धारा में परिवर्तन होने पर उसमें विद्युत वाहक बल (emf) प्रेरित होता है। इसे L से प्रदर्शित करते हैं। यदि कुण्डली में धारा I प्रवाहित होने पर चुम्बकीय फ्लक्स Φ हो, तो L = Φ/I होता है। इसका SI मात्रक हेनरी (H) है।

समतल वृत्ताकार कुण्डली के स्वप्रेरकत्व का व्यंजक:

माना एक समतल वृत्ताकार कुण्डली में N फेरे हैं, इसकी त्रिज्या R है तथा इसमें धारा I प्रवाहित हो रही है।

कुण्डली के केंद्र पर चुम्बकीय क्षेत्र: B = μ₀NI / (2R)

कुण्डली से संबद्ध कुल चुम्बकीय फ्लक्स: Φ = N × B × A = N × (μ₀NI / 2R) × πR² = μ₀N²IπR / 2

स्वप्रेरकत्व: L = Φ/I = μ₀N²πR / 2

अतः समतल वृत्ताकार कुण्डली का स्वप्रेरकत्व L = μ₀N²πR / 2 होता है।

हाइड्रोजन परमाणु की nवीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का व्यंजक:

बोर मॉडल के अनुसार, इलेक्ट्रॉन की nवीं कक्षा में त्रिज्या: rₙ = n²h²ε₀ / (πme²)

इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा: K = (1/2)mv² = (1/2) × (e² / 4πε₀rₙ) = e² / (8πε₀rₙ)

इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा: U = -e² / (4πε₀rₙ)

कुल ऊर्जा: E = K + U = e² / (8πε₀rₙ) - e² / (4πε₀rₙ) = -e² / (8πε₀rₙ)

rₙ का मान रखने पर: Eₙ = -me⁴ / (8ε₀²h²n²)

यह हाइड्रोजन परमाणु की nवीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का व्यंजक है।

ऋणात्मक ऊर्जा से अभिप्राय: ऋणात्मक ऊर्जा का अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से बंधा हुआ है। इलेक्ट्रॉन को अनंत तक ले जाने के लिए उतनी ही ऊर्जा देनी पड़ती है। n = ∞ पर ऊर्जा शून्य होती है, जो मुक्त इलेक्ट्रॉन की स्थिति को दर्शाती है।

पूर्ण तरंग सेतु दिष्टकारी का परिपथ चित्र:

परिपथ में चार डायोड (D₁, D₂, D₃, D₄) एक सेतु के रूप में जुड़े होते हैं। प्रत्यावर्ती वोल्टता स्रोत (AC) को सेतु के दो विकर्ण सिरों पर जोड़ा जाता है, तथा भार प्रतिरोध (R_L) को अन्य दो विकर्ण सिरों पर जोड़ा जाता है।

कार्यविधि:

• धनात्मक अर्धचक्र में: D₁ और D₂ अग्र-अभिनत होते हैं, जबकि D₃ और D₄ उत्क्रम-अभिनत होते हैं। धारा D₁ → R_L → D₂ से होकर प्रवाहित होती है।
• ऋणात्मक अर्धचक्र में: D₃ और D₄ अग्र-अभिनत होते हैं, जबकि D₁ और D₂ उत्क्रम-अभिनत होते हैं। धारा D₃ → R_L → D₄ से होकर प्रवाहित होती है।
• दोनों अर्धचक्रों में भार प्रतिरोध R_L में धारा एक ही दिशा में प्रवाहित होती है, जिससे पूर्ण तरंग दिष्टीकरण प्राप्त होता है।

अथवा

ट्रांजिस्टर का आधार बहुत बारीक एवं पतला क्यों होता है?

ट्रांजिस्टर में आधार को बहुत पतला रखा जाता है ताकि उत्सर्जक से उत्सर्जित अल्पसंख्यक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन या होल) बिना पुनर्संयोजन के संग्राहक तक पहुँच सकें। यदि आधार मोटा होता, तो अधिकांश वाहक पुनर्संयोजित हो जाते और धारा प्रवर्धन क्षमता कम हो जाती।

ट्रांजिस्टर प्रवर्धक का ब्लॉक आरेख:

ब्लॉक आरेख में तीन मुख्य भाग होते हैं: इनपुट परिपथ (उत्सर्जक-आधार जंक्शन), ट्रांजिस्टर (उत्सर्जक, आधार, संग्राहक), और आउटपुट परिपथ (संग्राहक-आधार जंक्शन)। इनपुट सिग्नल को उत्सर्जक-आधार परिपथ में दिया जाता है और प्रवर्धित आउटपुट संग्राहक-आधार परिपथ से लिया जाता है।

धारा प्रवर्धन गुणांक α व β में सम्बन्ध:

α = I_C / I_E (उभयनिष्ठ आधार विन्यास में धारा प्रवर्धन गुणांक)

β = I_C / I_B (उभयनिष्ठ उत्सर्जक विन्यास में धारा प्रवर्धन गुणांक)

चूँकि I_E = I_B + I_C, इसलिए:

α = I_C / (I_B + I_C) = (I_C/I_B) / (1 + I_C/I_B) = β / (1 + β)

अतः α = β / (1 + β) तथा β = α / (1 - α)

Circuit Diagram:

[Diagram: Four diodes D1, D2, D3, D4 connected in a bridge configuration. AC input is applied across the bridge. Load resistor R_L is connected across the output. During positive half-cycle, D1 and D3 conduct; during negative half-cycle, D2 and D4 conduct.]

Procedure:

1. Four PN junction diodes are connected in a bridge configuration.
2. The AC input voltage is applied across two opposite junctions of the bridge.
3. The load resistor R_L is connected across the other two opposite junctions.
4. During the positive half-cycle of AC input, diodes D1 and D3 are forward biased and conduct, allowing current through R_L in one direction.
5. During the negative half-cycle, diodes D2 and D4 are forward biased and conduct, allowing current through R_L in the same direction as before.
6. Thus, both half-cycles of AC are converted to DC (pulsating DC) across the load.

Why base is thin and lightly doped:

• The base region is made very thin so that most of the charge carriers (electrons or holes) injected from the emitter can reach the collector without recombining in the base.
• It is lightly doped to minimize recombination of carriers in the base, ensuring high current gain.

Block diagram of transistor amplifier (common emitter):

[Diagram: Input signal → Base-Emitter junction (forward biased) → Transistor (NPN or PNP) → Collector-Emitter junction (reverse biased) → Output signal across load resistor R_L]

Relation between α and β:

α (alpha) = I_C / I_E (common base current gain)
β (beta) = I_C / I_B (common emitter current gain)

Since I_E = I_B + I_C, we have:

β = I_C / I_B = I_C / (I_E - I_C) = (I_C/I_E) / (1 - I_C/I_E) = α / (1 - α)

Thus, β = α / (1 - α).

विद्युत द्विध्रुव की परिभाषा: जब दो समान परिमाण के विपरीत आवेश (+q और -q) एक-दूसरे से अल्प दूरी (2a) पर स्थित होते हैं, तो इस निकाय को विद्युत द्विध्रुव कहते हैं।

अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र का व्यंजक:

[चित्र: एक रेखा पर +q और -q आवेश 2a दूरी पर स्थित हैं। अक्षीय रेखा पर द्विध्रुव के केंद्र से r दूरी पर बिंदु P दिखाया गया है।]

माना द्विध्रुव का केंद्र O है। अक्षीय रेखा पर O से r दूरी पर बिंदु P है।

+q के कारण P पर विद्युत क्षेत्र: E₊ = (1/4πε₀) × q/(r - a)² (दिशा P से दूर)

-q के कारण P पर विद्युत क्षेत्र: E_- = (1/4πε₀) × q/(r + a)² (दिशा P की ओर)

परिणामी विद्युत क्षेत्र: E = E₊ - E_- = (q/4πε₀) [1/(r - a)² - 1/(r + a)²]

E = (q/4πε₀) × [(r + a)² - (r - a)²] / [(r - a)²(r + a)²]

E = (q/4πε₀) × (4ar) / (r² - a²)²

चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण p = q × 2a, अतः:

E = (1/4πε₀) × (2pr) / (r² - a²)²

यदि r >> a, तो E = (1/4πε₀) × (2p) / r³

विद्युत फ्लक्स की परिभाषा: किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की कुल संख्या को विद्युत फ्लक्स कहते हैं। इसे Φ_E = ∫ E·dA से व्यक्त किया जाता है।

अनन्त रेखीय आवेशित तार के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता:

[चित्र: एक लंबा सीधा आवेशित तार जिसका रेखीय आवेश घनत्व λ है। तार के चारों ओर त्रिज्या r और लंबाई L का एक बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ दिखाया गया है।]

गाउस के नियमानुसार: Φ_E = q_in / ε₀

बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ के लिए, विद्युत क्षेत्र E त्रिज्य दिशा में होगा और पृष्ठ के वक्र भाग पर E और dA समान दिशा में होंगे। सिरों पर E और dA लंबवत होंगे, अतः वहाँ फ्लक्स शून्य होगा।

Φ_E = E × (वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल) = E × (2πrL)

बंद पृष्ठ के अंदर कुल आवेश: q_in = λL

अतः: E × 2πrL = λL / ε₀

E = λ / (2πε₀r)

यह अनन्त रेखीय आवेशित तार से r दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक है।

Electric Dipole: A pair of equal and opposite charges (+q and -q) separated by a small distance (2a) is called an electric dipole.

Electric field on axial line:

[Diagram: Two charges +q and -q separated by distance 2a. Point P on the axial line at distance r from the center O.]

Let the dipole center be O. Point P is at distance r from O on the axial line.

Electric field due to +q at P: E₊ = (1/4πε₀) × q/(r - a)² (away from P)

Electric field due to -q at P: E_- = (1/4πε₀) × q/(r + a)² (towards P)

Net electric field: E = E₊ - E_- = (q/4πε₀) [1/(r - a)² - 1/(r + a)²]

E = (q/4πε₀) × [(r + a)² - (r - a)²] / [(r - a)²(r + a)²]

E = (q/4πε₀) × (4ar) / (r² - a²)²

Since dipole moment p = q × 2a, we get:

E = (1/4πε₀) × (2pr) / (r² - a²)²

For r >> a: E = (1/4πε₀) × (2p) / r³

Electric Flux: The total number of electric field lines passing through a given surface is called electric flux. It is given by Φ_E = ∫ E·dA.

Electric field due to an infinitely long charged wire:

[Diagram: A long straight wire with linear charge density λ. A cylindrical Gaussian surface of radius r and length L is drawn around the wire.]

By Gauss's law: Φ_E = q_in / ε₀

For the cylindrical Gaussian surface, the electric field E is radial. On the curved surface, E and dA are parallel. On the ends, E and dA are perpendicular, so flux through ends is zero.

Φ_E = E × (area of curved surface) = E × (2πrL)

Total charge enclosed: q_in = λL

Therefore: E × 2πrL = λL / ε₀

E = λ / (2πε₀r)

This is the expression for electric field intensity at a distance r from an infinitely long charged wire.

व्युत्पत्ति:

1. माना एक N फेरों वाली वृत्ताकार कुण्डली है जिसकी त्रिज्या R है तथा इसमें I धारा प्रवाहित हो रही है।
2. कुण्डली के केंद्र O से x दूरी पर अक्ष पर एक बिंदु P है।
3. कुण्डली के एक अल्पांश \( dl \) पर विचार करें। इस अल्पांश से P की दूरी \( r = \sqrt{R^2 + x^2} \) है।
4. बायो-सावर्ट नियम से, इस अल्पांश के कारण P पर चुम्बकीय क्षेत्र: \[ dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl}{r^2} \quad (\because d\vec{l} \perp \hat{r}) \]
5. \( dB \) के दो घटक हैं:
   • अक्ष के लंबवत घटक \( dB\sin\theta \) जो सममिति के कारण निरस्त हो जाता है।
   • अक्ष के अनुदिश घटक \( dB\cos\theta \) जो जुड़ जाता है।
6. यहाँ \( \cos\theta = \frac{R}{r} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}} \)
7. अक्ष के अनुदिश कुल चुम्बकीय क्षेत्र: \[ B = \int dB\cos\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{dl}{r^2} \cdot \frac{R}{r} \]
8. \( \int dl = 2\pi R \) (पूरी परिधि) रखने पर: \[ B = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{2\pi R \cdot R}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} \]
9. N फेरों के लिए: \[ \boxed{B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}} \]

चित्र: (एक वृत्ताकार कुण्डली जिसके केंद्र O से x दूरी पर अक्ष पर बिंदु P है। अल्पांश dl, त्रिज्या R, दूरी r, कोण θ दर्शाए गए हैं।)

व्युत्पत्ति:

1. माना एक टोराइड है जिसमें N फेरे हैं तथा I धारा प्रवाहित हो रही है। टोराइड की माध्य त्रिज्या r है।
2. टोराइड के अक्ष पर (अंदर) एक बिंदु पर चुम्बकीय क्षेत्र ज्ञात करना है।
3. एम्पियर के नियम के अनुसार, टोराइड के अंदर त्रिज्या r का एक वृत्ताकार पथ लें। इस पथ पर चुम्बकीय क्षेत्र B नियत तथा स्पर्शरेखीय होता है।
4. एम्पियर के नियम से: \[ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \cdot 2\pi r = \mu_0 \times (\text{पथ से घिरी कुल धारा}) \]
5. पथ से घिरी कुल धारा = N × I (क्योंकि प्रत्येक फेरा एक बार पथ को काटता है)
6. अतः: \[ B \cdot 2\pi r = \mu_0 N I \]
7. अतः टोराइड के अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र: \[ \boxed{B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}} \]

चित्र: (एक टोराइड जिसमें N फेरे हैं, माध्य त्रिज्या r है। अंदर वृत्ताकार पथ दर्शाया गया है।)

बनावट:

• निकॉल प्रिज्म कैल्साइट (कैल्शियम कार्बोनेट) के एक क्रिस्टल से बना होता है।
• क्रिस्टल को एक विशेष कोण पर काटकर कनाडा बाल्सम नामक पारदर्शी गोंद से जोड़ा जाता है।
• क्रिस्टल की लंबाई उसकी चौड़ाई से लगभग तीन गुनी होती है।
• इसकी बनावट इस प्रकार होती है कि यह केवल एक निश्चित दिशा में कंपन करने वाले प्रकाश को ही पार करने देता है।

कार्यविधि:

• जब सामान्य प्रकाश निकॉल प्रिज्म में प्रवेश करता है, तो कैल्साइट क्रिस्टल के द्विअपवर्तन गुण के कारण यह दो किरणों में विभाजित हो जाता है: साधारण किरण (O-किरण) और असाधारण किरण (E-किरण)।
• कनाडा बाल्सम की परत इस प्रकार बनाई जाती है कि साधारण किरण का अपवर्तनांक कनाडा बाल्सम से अधिक होता है, जिससे O-किरण पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा प्रिज्म की दीवार से अवशोषित हो जाती है।
• असाधारण किरण (E-किरण) बिना किसी बाधा के प्रिज्म से बाहर निकल जाती है।
• इस प्रकार निकॉल प्रिज्म से निकलने वाला प्रकाश एक ही दिशा में ध्रुवित होता है (समतल ध्रुवित प्रकाश)।

नामांकित चित्र: (एक कैल्साइट क्रिस्टल जिसमें O-किरण और E-किरण का पथ दर्शाया गया है। कनाडा बाल्सम की परत, पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा O-किरण का अवशोषण दर्शाया गया है।)

बनावट:

• इसमें दो उत्तल लेंस होते हैं: एक बड़े व्यास का अभिदृश्यक लेंस (O) और एक छोटे व्यास का नेत्रिका लेंस (E)।
• अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी बड़ी होती है, जबकि नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी छोटी होती है।
• दोनों लेंस एक धातु की नली में लगे होते हैं, जिनके बीच की दूरी को समायोजित किया जा सकता है।
• अभिदृश्यक लेंस दूर की वस्तु का वास्तविक, उल्टा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
• नेत्रिका लेंस इस प्रतिबिंब को एक बड़ा आभासी प्रतिबिंब बनाता है जिसे आँख देखती है।

आवर्धन क्षमता का सूत्र:

जब प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (सामान्य समायोजन):

\[ M = \frac{f_o}{f_e} \]

जहाँ \( f_o \) = अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी, \( f_e \) = नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी।

जब प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी (D = 25 cm) पर बनता है:

\[ M = \frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{f_e}{D}\right) \]

किरण चित्र: (एक दूरदर्शी का किरण चित्र जिसमें अभिदृश्यक लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब और नेत्रिका द्वारा बना अंतिम प्रतिबिंब दर्शाया गया है।)

Polarization of Light: The phenomenon of restricting the vibrations of light waves to a single plane is called polarization of light. In ordinary light, vibrations occur in all planes perpendicular to the direction of propagation. After polarization, vibrations occur only in one plane.

Construction of Nicol Prism: A Nicol prism is made from a calcite (CaCO₃) crystal. The crystal is cut at an angle of 68° to its optic axis and then cemented with Canada balsam. The two halves are joined together with Canada balsam, which has a refractive index between the ordinary (μₒ = 1.658) and extraordinary (μₑ = 1.486) refractive indices of calcite.

Working: When unpolarized light enters the Nicol prism, it splits into ordinary (O) and extraordinary (E) rays due to double refraction. The ordinary ray (μₒ = 1.658) is totally internally reflected at the Canada balsam layer (μ = 1.55) because it travels from a denser to a rarer medium. The extraordinary ray (μₑ = 1.486) passes through the balsam layer and emerges as plane-polarized light.

Labelled Diagram:

        Unpolarized Light
              ↓
        ┌─────────────┐
        │  Calcite    │
        │  Crystal    │
        │   /         │
        │  /  O-ray   │ (totally reflected)
        │ /           │
        │/  E-ray ────→ Plane-polarized light
        └─────────────┘
        Canada balsam layer
    

Note: In actual diagram, show the optic axis, incident ray, ordinary ray (reflected), extraordinary ray (transmitted), and the Canada balsam layer.

Hypermetropia (Long-sightedness): It is a defect of vision in which a person can see distant objects clearly but cannot see nearby objects clearly. This occurs when the eyeball is too short or the lens is too flat, causing the image to form behind the retina.

Construction of Astronomical Refracting Telescope:

• Objective lens: A convex lens of large focal length (fₒ) and large aperture, placed at one end of the tube.
• Eyepiece lens: A convex lens of small focal length (fₑ) and small aperture, placed at the other end of the tube.
• The distance between the two lenses can be adjusted.

Working: The objective lens forms a real, inverted, and diminished image of a distant object at its focal plane. The eyepiece is adjusted so that this image lies at its focal point, producing a final virtual, inverted, and magnified image at infinity (for normal adjustment).

Formula for Magnification (M):

For normal adjustment (final image at infinity):

M = fₒ / fₑ

Where:

• fₒ = focal length of objective lens
• fₑ = focal length of eyepiece lens

Derivation: The angular magnification is defined as the ratio of the angle subtended by the final image at the eye to the angle subtended by the object at the unaided eye. For distant objects, M = (fₒ / fₑ).

Ray Diagram:

        Distant object (at infinity)
              ↓
        ┌─────────────┐
        │  Objective  │
        │  (fₒ large) │
        │             │
        │  Image at   │
        │  focal plane│
        │     ↓       │
        │  Eyepiece   │
        │  (fₑ small) │
        │     ↓       │
        │  Final image│
        │  at infinity│
        └─────────────┘
        (Inverted image)
    

Note: In actual diagram, show parallel rays from object, objective lens forming real image at its focus, eyepiece magnifying that image, and final rays appearing to come from infinity.