RBSE Class 12th 2023 Mathematics-SS-15-2023 Previous Year Papers

उच्च माध्यमिक परीक्षा, 2023
SENIOR SECONDARY EXAMINATION, 2023

गणित
MATHEMATICS

समय : 3 घण्टे 15 मिनट    पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :
GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES :

1. परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
   Candidate must write first his/her Roll No. on the question paper compulsorily.
2. सभी प्रश्न करना अनिवार्य हैं।
   All the questions are compulsory.
3. प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
   Write the answer to each question in the given answer-book only.
4. जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
   For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.

नाम : ____________________    Roll No. : ____________________

SLNo. : ____________________    No. of Questions : 23    SS-15-Mathematics    No. of Printed Pages : 5

[336] Turn Over
SS—15 Mathematics 6]

खण्ड - अ

बहुविकल्पीय प्रश्न :

Multiple Choice Questions :

प्रश्न (iv)

bs + =] का » के सापेक्ष प्रति अबकलज है -

1. Is + Ix? +C
2. 23 ye x +C
3. 2 4axt+C
4. 3x tate

English: The anti derivative of √x + 4 with respect to x -

1. 2x² + 2x + C
2. ⅔ x³ + 2x + C
3. ⅔ x² + 2x + C
4. ³⁄₂ x + 2x + C

प्रश्न (v)

| cos² x dx का मान है -

1. x/2 + 1/4 sin 2x + C
2. x² + 1/4 sin 2x + C
3. x/2 + 1/4 sin x + C
4. x/2 + 1/2 sin x + C

English: The value of ∫cos² x dx is -

1. x/2 + 1/4 sin 2x + C
2. x² + 1/4 sin 2x + C
3. x/2 + 1/4 sin x + C
4. x/2 + 1/2 sin x + C

प्रश्न (v) से (viii)

प्रश्न ix (Question ix)

प्रश्न x (Question x)

प्रश्न (xi)

प्रश्न (xii)

2) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए / Fill in the blanks:

1. i) यदि \( x \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} \) हो, तो \((x + y) =\) ______ होगा।

   If \( x \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} \), then \((x + y) =\) ______.

   Solution:

   From the matrix equation:

   \( 3x - y = 5 \) ...(i)
   \( 2x + y = 4 \) ...(ii)

   Adding (i) and (ii): \( 5x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5} \)

   From (ii): \( 2 \times \frac{9}{5} + y = 4 \Rightarrow \frac{18}{5} + y = 4 \Rightarrow y = 4 - \frac{18}{5} = \frac{20 - 18}{5} = \frac{2}{5} \)

   Thus, \( x + y = \frac{9}{5} + \frac{2}{5} = \frac{11}{5} \)

   Correct answer: \(\frac{11}{5}\)

2. ii) \(\cos(\sqrt{x})\) का \(x\) के सापेक्ष अवकलन ______ है।

   The derivative of \(\cos(\sqrt{x})\) with respect to \(x\) is ______.

   Solution:

   Let \( y = \cos(\sqrt{x}) \).

   Using chain rule: \(\frac{dy}{dx} = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

   Thus, \(\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\)

   Correct answer: \(-\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\)

3. iii) वक्र \(y = 3x^2 - 4x\) पर \(x = 4\) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता का मान ______ होगा।

   The slope of the tangent line at \(x = 4\) to the curve \(y = 3x^2 - 4x\) will be ______.

   Solution:

   Slope of tangent = \(\frac{dy}{dx} = 6x - 4\)

   At \(x = 4\): slope = \(6(4) - 4 = 24 - 4 = 20\)

   Correct answer: 20

4. iv) \(\int_{1}^{2} x \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx\) का मान ______ होगा।

   The value of \(\int_{1}^{2} x \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx\) will be ______.

   Solution:

   Simplify the integrand: \( x \left(1 - \frac{1}{x}\right) = x - 1 \)

   Thus, \(\int_{1}^{2} (x - 1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{2}\)

   \( = \left( \frac{4}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = (2 - 2) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}\)

   Correct answer: \(\frac{1}{2}\)

5. v) चार बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7), (4, 3, -6) और (2, 9, 2) हैं, तो AB और CD रेखाओं के बीच का न्यून कोण ______ होगा।

   If the coordinates of the points A, B, C and D are (1, 2, 3), (4, 5, 7), (4, 3, -6) and (2, 9, 2) respectively, then the acute angle between the lines AB and CD will be ______.

   Solution:

   Direction ratios of AB: (4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)

   Direction ratios of CD: (2-4, 9-3, 2-(-6)) = (-2, 6, 8)

   Let \(\theta\) be the angle between AB and CD.

   \(\cos \theta = \frac{(3)(-2) + (3)(6) + (4)(8)}{\sqrt{3^2+3^2+4^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+6^2+8^2}}\)

   \(= \frac{-6 + 18 + 32}{\sqrt{9+9+16} \cdot \sqrt{4+36+64}} = \frac{44}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{104}} = \frac{44}{\sqrt{3536}} = \frac{44}{4\sqrt{221}} = \frac{11}{\sqrt{221}}\)

   Thus, \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{221}}\right)\)

   Correct answer: \(\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{221}}\right)\)

6. vi) यदि दो निष्पक्ष पासों को एक बार उछाला जाता है, तो दोनों पासों पर अंकों का योग 5 होने की प्रायिकता का मान ______ होगा।

   If a pair of two unbiased dice is thrown once, then the probability that the sum of the numbers on both the dice is 5 will be ______.

   Solution:

   Total possible outcomes when two dice are thrown = \(6 \times 6 = 36\).

   Favorable outcomes for sum = 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 outcomes.

   Probability = \(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)

   Correct answer: \(\frac{1}{9}\)

अति लघुत्तरात्मक प्रश्न / Very Short Answer Type Questions

1. sin⁻¹(½) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

   Find the principal value of sin⁻¹(½).

   हल / Solution: sin⁻¹(½) का मुख्य मान π/6 है।

   The principal value of sin⁻¹(½) is π/6.

2. निम्नलिखित समीकरण से x तथा y के मानों को ज्ञात कीजिए:

   Find the values of x and y from the following equation:

   2 \[ \begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} \]

   हल / Solution:

   दिए गए समीकरण को हल करने पर:

   \[ \begin{bmatrix} 2x+3 & 10-4 \\ 14+1 & 2y-6+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} \]

   \[ \begin{bmatrix} 2x+3 & 6 \\ 15 & 2y-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} \]

   तुलना करने पर: 2x+3 = 7 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

   2y-4 = 14 ⇒ 2y = 18 ⇒ y = 9

   अतः x = 2, y = 9

3. सारणिक \(\begin{vmatrix} 2 & 8 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 7 & 3 & 6 \end{vmatrix}\) का मान ज्ञात कीजिए।

   Evaluate \(\begin{vmatrix} 2 & 8 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 7 & 3 & 6 \end{vmatrix}\).

   हल / Solution:

   सारणिक का मान = 2(3×6 - 4×3) - 8(1×6 - 4×7) + 36(1×3 - 3×7)

   = 2(18 - 12) - 8(6 - 28) + 36(3 - 21)

   = 2(6) - 8(-22) + 36(-18)

   = 12 + 176 - 648

   = -460

4. x = 3 पर फलन f(x) = 2x² - 1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।

   Examine the continuity of the function f(x) = 2x² - 1 at x = 3.

   हल / Solution:

   f(3) = 2(3)² - 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17

   बाएँ पक्ष की सीमा (LHL) = \(\lim_{x \to 3^-} (2x^2 - 1) = 2(3)^2 - 1 = 17\)

   दाएँ पक्ष की सीमा (RHL) = \(\lim_{x \to 3^+} (2x^2 - 1) = 2(3)^2 - 1 = 17\)

   चूँकि f(3) = LHL = RHL = 17, अतः फलन x = 3 पर सतत है।

   Since f(3) = LHL = RHL = 17, the function is continuous at x = 3.

5. किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में R(x) = 13x² + 26x + 15 से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए, जब x = 7 है।

   The total revenue in Rupees received from the sale of x units of a product is given by R(x) = 13x² + 26x + 15. Find the marginal revenue, when x = 7.

   हल / Solution:

   सीमांत आय (Marginal Revenue) = R'(x) = d/dx (13x² + 26x + 15) = 26x + 26

   x = 7 पर, सीमांत आय = 26(7) + 26 = 182 + 26 = 208 रुपये

   Marginal Revenue at x = 7 is ₹208.

6. प्रथम चतुर्थाश में वक्र y² = 9x, x = 2, x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

   Find the area of the region bounded by y² = 9x, x = 2, x = 4 and the x-axis in the first quadrant.

   हल / Solution:

   वक्र y² = 9x ⇒ y = 3√x (प्रथम चतुर्थाश में)

   अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_{2}^{4} 3\sqrt{x} \, dx\)

   = 3 \(\int_{2}^{4} x^{1/2} \, dx\)

   = 3 \(\left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4}\)

   = 3 × \(\frac{2}{3}\) \(\left[ x^{3/2} \right]_{2}^{4}\)

   = 2 \(\left[ 4^{3/2} - 2^{3/2} \right]\)

   = 2 \(\left[ 8 - 2\sqrt{2} \right]\)

   = 16 - 4√2 वर्ग इकाई

   Area = (16 - 4√2) square units.

प्रश्न (vii)

बिन्दुओं P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः (7 + 2j + k) और (-7 + 7j + 4k) हैं। उस बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो P और Q को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।

प्रश्न (viii)

सदिशों i - 2j + 3k और 3i - 2j + k के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न (ix)

दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा, बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब है।

प्रश्न (x)

एक रेखा का कार्तीय समीकरण (x - 5)/3 = (y + 4)/7 = (z - 6)/2 है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न (xi)

समतल 2x + y - z = 5 द्वारा निर्देशी अक्षों पर काटे गए अंत:खंडों को ज्ञात कीजिए।

प्रश्न (xii)

एक निष्पक्ष (unbiased) पासे को दो बार उछाला गया। मान लीजिए घटना A 'पहली उछाल पर विषम संख्या प्राप्त होना' और घटना B 'द्वितीय उछाल पर विषम संख्या प्राप्त होना' दर्शाते हैं। घटनाओं A और B के स्वातंत्र्य का परीक्षण कीजिए।

लघुउत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 7

सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = |x| + 3, यदि x ≥ 0 पर संतत नहीं है। [2]

प्रश्न 8

सिद्ध कीजिए कि फलन f जो f(x) = { x² + 3, यदि x ≠ 0; 1, यदि x = 0 } द्वारा प्रदत्त है, x = 0 पर संतत नहीं है। [2]

प्रश्न 9

अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें f(x) = x² - 4x + 6 से प्रदत्त फलन f [2]

i) वर्धमान है
ii) हासमान है।

प्रश्न 10

x मीटर भुजा वाले घन की भुजा में 2% की वृद्धि के कारण से घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। [2]

प्रश्न 11

∫ sec²x / tanx dx का मान ज्ञात कीजिए। [2]

प्रश्न 12

परवलय y² = 4ax और उसके नाभिलंब से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [2]

प्रश्न 13

y-अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

Form the differential equation of the family of circles touching the y-axis at origin.

प्रश्न 14

दिए हुए सदिशों \(\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}\) और \(\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\) के लिए सदिश \(\vec{a} + \vec{b}\) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

For given vectors \(\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}\) and \(\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\), find the unit vector in the direction of the vector \(\vec{a} + \vec{b}\).

प्रश्न 15

समतलों, जिनके सदिश समीकरण \(\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = 5\) और \(\vec{r} \cdot (\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 3\) है, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Find the angle between the planes whose vector equations are \(\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = 5\) and \(\vec{r} \cdot (\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 3\).

प्रश्न 16

एक न्याय सिक्के को 10 बार उछाला गया, तो ठीक छः चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

If a fair coin is tossed 10 times, find the probability of exactly six heads.

खण्ड - स / SECTION - C

प्रश्न 17

यदि \(\sin\left[\sin^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1}x\right] = 1\), तो x का मान ज्ञात कीजिए।

If \(\sin\left[\sin^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1}x\right] = 1\), find the value of x.

अथवा / OR

दर्शाइए कि \(\sin^{-1}\frac{8}{17} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = \cos^{-1}\frac{36}{85}\)

Show that \(\sin^{-1}\frac{8}{17} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = \cos^{-1}\frac{36}{85}\)

प्रश्न 18

प्रश्न 19

प्रश्न 20

खण्ड – स (Section – C)

21. ∫ 5x⁴ √(x⁵ + 1) dx का मान ज्ञात कीजिए। [4]

Evaluate: ∫ 5x⁴ √(x⁵ + 1) dx

अथवा / OR

∫ sin² x dx का मान ज्ञात कीजिए। [4]

Evaluate: ∫ sin² x dx

22. किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में Rs. 1000 जमा कराये जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जायेगी (e⁰·⁵ = 1.648). [4]

In a bank, principal increases continuously at the rate of 5% per year. An amount of Rs. 1000 is deposited with this bank. How much will it worth after 10 years (e⁰·⁵ = 1.648).

अथवा / OR

अवकल समीकरण y dx – (x + 2y²) dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। [4]

Find the general solution of the differential equation y dx – (x + 2y²) dy = 0.

23. निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 3y का आलेखीय विधि से अधिकतमीकरण कीजिए। [4]

3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0

Maximize Z = 5x + 3y subject to constraints 3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 by using graphical method.

अथवा / OR

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत Z = 200x + 500y का आलेखीय विधि से न्यूनतमीकरण कीजिए। [4]

x + 2y ≥ 10, 3x + 4y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0

Minimize Z = 200x + 500y subject to constraints x + 2y ≥ 10, 3x + 4y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0 by using graphical method.