RBSE Class 12th 2025 Mathematics-SS-15-2025 Previous Year Papers

उच्च माध्यमिक परीक्षा, 2025

SENIOR SECONDARY EXAMINATION, 2025

गणित

MATHEMATICS

समय: 3 घंटे 15 मिनिट
पूर्णांक: 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश:

GENERAL INSTRUCTIONS TO THE EXAMINEES:

1. परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
   Candidate must write first his/her Roll No. on the question paper compulsorily.
2. सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
   All the questions are compulsory.
3. प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
   Write the answer to each question in the given answer-book only.
4. जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
   For questions having more than one part, the answers to those parts are to be written together in continuity.

SS—15-Mathematics [700] | [ Turn ]

खण्ड - अ

बहुविकल्पीय प्रश्न:

Multiple Choice Questions:

1. मान लीजिए कि समुच्चय N पर परिभाषित { (a,b): a = b - 2, b < 6 } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R है, तो R का परिसर होगा -

   आ) {2,3}
   ब) {1,2,3,4,5}
   स) {3,4,5}
   द) {3,4,5,6}

   Let R be the relation defined on the set N and given by {(a,b): a = b - 2, b < 6}, then range of R will be -

   A) {1,2,3}
   B) {1,2,3,4,5}
   C) {3,4,5}
   D) {3,4,5,6}

   सही उत्तर: C) {3,4,5}

   चूँकि b < 6 और b प्राकृत संख्या है, b = 1, 2, 3, 4, 5 हो सकता है। a = b - 2 से a के मान क्रमशः -1, 0, 1, 2, 3 होंगे। लेकिन a भी प्राकृत संख्या है, अतः a = 1, 2, 3 ही मान्य हैं। इसलिए परिसर {3, 4, 5} नहीं बल्कि {1, 2, 3} होगा। दिए गए विकल्पों में सही विकल्प C है।

2. cos⁻¹(-½) का मुख्य मान है -

   a) π/3
   b) π/6
   c) 2π/3
   d) -π/3

   The principal value of cos⁻¹(-½) is -

   A) π/3
   B) π/6
   C) 2π/3
   D) -π/3

   सही उत्तर: C) 2π/3

   cos⁻¹ का मुख्य मान श्रेणी [0, π] में होता है। cos(2π/3) = -½, अतः मुख्य मान 2π/3 है।

ii) \( A = [a_{ij}] \) एक स्तंभ आव्यूह होगा, यदि -

\( A = [a_{ij}] \) is a column matrix, if -

1. \( m > n \)
2. \( m = 1 \)
3. \( m < n \)
4. \( n = 1 \)

सही उत्तर: D) \( n = 1 \)

एक स्तंभ आव्यूह में केवल एक स्तंभ होता है, अतः स्तंभों की संख्या \( n = 1 \) होनी चाहिए।

\( \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix} \) का मान होगा -

Value of \( \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix} \) will be -

1. 0
2. 1
3. \( \cos 2\theta \)
4. \( \sin 2\theta \)

सही उत्तर: B) 1

सारणिक का मान \( \cos\theta \cdot \cos\theta - (-\sin\theta) \cdot \sin\theta = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \) होता है।

यदि \( A \), \( 3 \times 3 \) कोटि का एक व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह है, तो \( |\text{adj } A| \) का मान होगा -

Let \( A \) be a nonsingular square matrix of order \( 3 \times 3 \). Then \( |\text{adj } A| \) is equal to -

1. \( |A| \)
2. \( |A|^2 \)
3. \( |A|^3 \)
4. \( 2|A| \)

सही उत्तर: B) \( |A|^2 \)

किसी \( n \times n \) कोटि के वर्ग आव्यूह \( A \) के लिए, \( |\text{adj } A| = |A|^{n-1} \) होता है। यहाँ \( n = 3 \) है, अतः \( |\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 \).

vi) यदि \(x^2 + y^2 = 2\) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) बराबर होगा -

1. \(\frac{1 - 2x}{2y}\)
2. \(\frac{1 - 2x}{y}\)
3. \(-\frac{x}{y}\)
4. \(\frac{x}{y}\)

\(x^2 + y^2 = 2\) का अवकलन करने पर, \(2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0\) ⇒ \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)

vii) निम्नलिखित में से कौन-सा फलन अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\) में ह्रासमान है?

1. \(\sin x\)
2. \(\cos x\)
3. \(\tan x\)
4. \(\sin 2x\)

अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\) में \(\sin 2x\) का अवकलज \(2\cos 2x\) धनात्मक नहीं है, बल्कि \(\cos 2x\) धनात्मक होने पर भी फलन वर्धमान होता है। वास्तव में, \(\sin 2x\) इस अन्तराल में वर्धमान है, जबकि \(\cos x\) ह्रासमान है। अतः सही उत्तर \(\cos x\) है।

प्रश्न:

यदि \( f(x) = \begin{cases} 2x-5 & ; x<3 \\ 2k & ; x>3 \end{cases} \) बिंदु \( x=3 \) पर संतत है, तो \( k \) का मान होगा:

1. \(\frac{1}{2}\)
2. 6
3. \(\frac{1}{2}\)
4. \(-\frac{1}{2}\)

संततता के लिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(3) \)। चूँकि \( x=3 \) पर फलन परिभाषित नहीं है, हम सीमाओं का उपयोग करते हैं। बाएँ पक्ष की सीमा: \(\lim_{x \to 3^-} (2x-5) = 2(3)-5 = 1\)। दाएँ पक्ष की सीमा: \(\lim_{x \to 3^+} (2k) = 2k\)। संततता के लिए \( 2k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{2} \)।

प्रश्न:

\(\int_0^1 (\sin^{-1}x + \cos^{-1}x) \, dx\) का मान होगा:

1. \(\frac{\pi}{2}\)
2. \(\pi\)
3. \(\frac{\pi}{2}\)
4. \(\pi\)

हम जानते हैं कि \(\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}\) सभी \(x \in [-1,1]\) के लिए। अतः समाकल \(\int_0^1 \frac{\pi}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} [x]_0^1 = \frac{\pi}{2}\)।

प्रश्न:

\(x\)-अक्ष, \(y\)-अक्ष, \(y = \cos x\), \(0 \le x \le \frac{\pi}{2}\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल होगा:

1. 1
2. 0
3. -1
4. 2

क्षेत्रफल = \(\int_0^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_0^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1\)। दिए गए विकल्पों में 1 सही है, परंतु विकल्प D में 2 दिया गया है, जो गलत है। सही उत्तर 1 है।

xi) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} + x = 0\) पर \(x = 0, y = 1\) पर विशिष्ट हल होगा -

1. \(y + \frac{x^2}{2} + 1 = 0\)
2. \(y + \frac{x^2}{2} = 1\)
3. \(y + 2x^2 + 1 = 0\)
4. \(y + 2x^2 = 1\)

अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} + x = 0\) को हल करने पर: \(\frac{dy}{dx} = -x \Rightarrow dy = -x dx\). समाकलन करने पर: \(y = -\frac{x^2}{2} + C\). \(x = 0, y = 1\) रखने पर: \(1 = 0 + C \Rightarrow C = 1\). अतः हल: \(y = -\frac{x^2}{2} + 1\) या \(y + \frac{x^2}{2} = 1\). दिए गए विकल्पों में से विकल्प (b) सही है।

xi) दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के परिमाण क्रमशः 1 और 2 हैं तथा \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\) हो, तो इन सदिशों के बीच का कोण होगा -

1. \(\frac{\pi}{2}\)
2. \(\frac{\pi}{4}\)
3. \(\frac{\pi}{3}\)
4. \(\frac{\pi}{6}\)

दिया है: \(|\vec{a}| = 1\), \(|\vec{b}| = 2\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\). सदिशों के बीच कोण \(\theta\) के लिए: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \Rightarrow 1 = 1 \times 2 \times \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}\). अतः सही विकल्प (c) है।

xiv) सदिश \(6\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}\) के दिक्-कोसाइन हैं -

Direction cosines of vector \(6\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}\) are -

1. \(\frac{6}{\sqrt{89}}, \frac{7}{\sqrt{89}}, -\frac{2}{\sqrt{89}}\)
2. \(\frac{6}{\sqrt{89}}, \frac{7}{\sqrt{89}}, \frac{2}{\sqrt{89}}\)
3. \(\frac{6}{\sqrt{89}}, -\frac{7}{\sqrt{89}}, \frac{2}{\sqrt{89}}\)
4. \(-\frac{6}{\sqrt{89}}, \frac{7}{\sqrt{89}}, \frac{2}{\sqrt{89}}\)

Correct Answer: A

The direction cosines of a vector \(a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}\) are given by \(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Here, \(a=6, b=7, c=-2\), so magnitude = \(\sqrt{36+49+4} = \sqrt{89}\). Thus, direction cosines are \(\frac{6}{\sqrt{89}}, \frac{7}{\sqrt{89}}, -\frac{2}{\sqrt{89}}\).

7.

बिंदु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा रेखा \(\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6}\) के समान्तर रेखा का कार्तीय समीकरण होगा -

The cartesian equation of the line passing through point (1, 2, 3) and parallel to the line \(\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6}\) will be -

1. \(\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{6}\)
2. \(\frac{x+1}{3} = \frac{y+2}{5} = \frac{z+3}{6}\)
3. \(\frac{x+3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z+8}{3}\)
4. \(\frac{x+2}{3} = \frac{y-6}{5} = \frac{z+5}{6}\)

सही उत्तर: a) \(\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{6}\)

xvi)

एक सिक्के को तीन बार उछाला जाए, तो न्यूनतम दो बार चित आने की प्रायिकता होगी -

A coin is tossed three times, then the probability to get Head at least two times will be -

1. \(\frac{1}{3}\)
2. \(\frac{3}{8}\)
3. \(\frac{1}{2}\)
4. \(\frac{5}{8}\)

सही उत्तर: c) \(\frac{1}{2}\)

xvii) एक विशेष समस्या

दो छात्रों A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से किसी विशेष समस्या के हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। यदि दोनों स्वतंत्र रूप से समस्या को हल करने का प्रयास करते हैं, तो समस्या के हल होने की प्रायिकता होगी:

1. \(\frac{2}{3}\)
2. \(\frac{1}{3}\)
3. \(\frac{2}{3}\)
4. \(\frac{1}{2}\)

समस्या के हल होने की प्रायिकता = 1 - (दोनों के हल न करने की प्रायिकता) = 1 - \(\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\) = 1 - \(\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right)\) = 1 - \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)।

xviii) यदि P(A) = \(\frac{3}{7}\), P(B) = \(\frac{4}{7}\) और A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो P(A ∩ B) का मान होगा:

1. \(\frac{1}{7}\)
2. \(\frac{12}{49}\)
3. \(\frac{12}{49}\)
4. 1

स्वतंत्र घटनाओं के लिए, P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = \(\frac{3}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{12}{49}\)।

Fill in the blanks : (i to vi)

1. sin^-1 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) का मुख्य मान ............. है।
   The principal value of sin^-1 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) is ............. .

   \(\frac{\pi}{3}\)

   The principal value of sin^-1 x lies in \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) and sin \(\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

2. यदि \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} = 0\) हो, तो \(k =\) ............. ।
   If \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} = 0\) then \(k =\) ............. .

   4

   Determinant = (1)(k) - (2)(2) = k - 4 = 0 ⇒ k = 4.

3. एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रूपयों में R(x) = 2x² + 25x से प्रदत्त है। जब x = 10 हो तो सीमान्त आय = ............. ।
   The total revenue in Rupees received from the sale of x units of a product is given by R(x) = 2x² + 25x. Then marginal revenue = ............. when x = 10.

   65

   Marginal revenue = R'(x) = 4x + 25. At x = 10, R'(10) = 4(10) + 25 = 65.

4. \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 7}} dx =\) ............. ।

   \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 7}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{27}{4}}} dx\)

   \(= \log\left| (x + \frac{1}{2}) + \sqrt{x^2 + x + 7} \right| + C\)

5. अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3\) का समाकल गुणक ............. है।
   The integrating factor of differential equation \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3\) is ............. .

   \(x\)

   I.F. = \(e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x\).

6. सदिश \(\hat{i} + 2\hat{j}\) का x - अक्ष पर प्रक्षेप ............. है।
   The projection of the vector \(\hat{i} + 2\hat{j}\) on x - axis is ............. .

   1

   Projection on x-axis = \(\frac{(\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot \hat{i}}{|\hat{i}|} = 1\).

अति लघुत्तरात्मक प्रश्न :
Very short answer type questions :

(i) यदि \( A = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \) तथा \( B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} \) हो, तो \( BA \) ज्ञात कीजिए।
If \( A = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \) and \( B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} \), then find \( BA \).

(ii) \( \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of \( \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} \).

(iii) अपनी उत्तर पुस्तिका में फलन \( f(x) = |x| \) का आलेखीय निरूपण कीजिए।
Draw a graphical representation of the function \( f(x) = |x| \) in your answer book.

(iv) यदि \( y = e^{mx} \) हो, तो \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात कीजिए।
If \( y = e^{mx} \), then find \( \frac{dy}{dx} \).

(v) \( \sqrt{ax^3 + bx + c} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
Differentiate \( \sqrt{ax^3 + bx + c} \) with respect to \( x \).

(vi) वृत्त के क्षेत्रफल परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या \( r \) के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जब \( r = 2.5 \) सेमी है।
Find the rate of change of the area of a circle with respect to its radius \( r \) when \( r = 2.5 \) cm.

vii) हल कीजिए: \(\int \sin x \, dx\)

प्रथम चतुर्थांश में वृत्त \(x^2 + y^2 = 4\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ix) अवकल समीकरण \(\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} + x \frac{dy}{dx} - y = 0\) की कोटि एवं घात ज्ञात कीजिए।

x) तीन सदिशों \(\vec{a}, \vec{b}\) और \(\vec{c}\) के योगफल के लिए साहचर्य गुणधर्म लिखिए।

xi) बिन्दुओं (3, 2, 0) और (1, 2, 5) से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

xii) यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि \(P(F) = 0.3\) और \(P(E \cap F) = 0.2\), तो \(P\left(\frac{E}{F}\right)\) ज्ञात कीजिए।

खण्ड - व
SECTION - B

लघुत्तरात्मक प्रश्न :
Short answer type questions :

4) यदि तीन फलन f, g तथा h समुच्चय N में परिभाषित है, जहाँ f(x) = 2x, g(y) = 3y + 4 और h(z) = sin z ∀ x, y तथा z ∈ N, सिद्ध कीजिए h o (g o f) = (h o g) o f.

If three functions f, g and h are defined in set N, where f(x) = 2x, g(y) = 3y + 4 and h(z) = sin z ∀ x, y and z ∈ N, prove that h o (g o f) = (h o g) o f.

5) सिद्ध कीजिए: tan^-1 (1/3) + tan^-1 (1/2) = π/4

Prove that tan^-1 (1/3) + tan^-1 (1/2) = π/4

6) एक ऐसे 2 × 2 आव्यूह [a_ij] की रचना कीजिए, जिसके अवयव a_ij = (i + 2j)/2 द्वारा प्रदत्त हो। [2]

Construct a 2 × 2 matrix [a_ij], whose elements are given by a_ij = (i + 2j)/2.

7) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष (3,0), (4,2) और (5,1) है। [2]

Find the area of the triangle, whose vertices are (3,0), (4,2) and (5,1).

8) f(x) = (1 + x)(1 - x) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलन ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए। [2]

Find the derivative of the function given by f(x) = (1 + x)(1 - x) and hence find f'(1).

प्रश्न 1

यदि \( y = A \sin x + B \cos x \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0\).

प्रश्न 2

दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 15 है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम हो।

प्रश्न 3

\(\int \sqrt{3 - 2x - x^2} \, dx\) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4

समाकलन के अनुप्रयोग द्वारा वृत्त \(x^2 + y^2 = 16\) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5

दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण 60° व इनका अदिश गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है।

7.

sen / OR

दर्शाईए कि बिन्दुओं (1, 2, 3), (3, 4, 5) से जाने वाली रेखा, बिन्दुओं (-1, 2, 4), (2, -1, 4) से होकर जाने वाली रेखा पर लम्ब है।

Show that the line through the points (1, 2, 3), (3, 4, 5) is perpendicular to the line through the points (-1, 2, 4), (2, -1, 4).

यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि A और B में से कम से कम एक के होने की प्रायिकता 1 - P(A')P(B') होगी। [3]

If A and B are two independent events, then prove that the probability of occurrence of at least one of A and B is given by 1 - P(A')P(B').

अथवा / OR

52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के हैं। खो गये पत्ते के ईंट का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

A card from a pack of 52 cards is lost. From remaining cards of the pack, two cards are drawn and they are found to be both diamonds. Find the probability of the lost card being a diamond.

खण्ड - 3

SECTION - D

Essay type questions:

48) \(\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of \(\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)}\).

अथवा / OR

\(\int \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Solve \(\int \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}\).

49) बिन्दु (1, 2, -4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \(\frac{x-8}{3} = \frac{y+19}{-16} = \frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-15}{3} = \frac{y-29}{8} = \frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

Find the vector equation of the line passing through the point (1, 2, -4) and perpendicular to both lines: \(\frac{x-8}{3} = \frac{y+19}{-16} = \frac{z-10}{7}\) and \(\frac{x-15}{3} = \frac{y-29}{8} = \frac{z-5}{-5}\).

प्रश्न 0

आलेखीय विधि द्वारा उद्देश्य फलन Z = 4x + 2y का अधिकतम मान निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात कीजिए :

व्यवरोध : (यहाँ व्यवरोधों का पूरा सेट दिया जाना चाहिए, परंतु OCR में केवल "SX + 2)" और "कार्जा" जैसे अस्पष्ट अंश हैं। सामान्यतः इस प्रकार के प्रश्न में व्यवरोध इस प्रकार होते हैं:)

• x ≥ 0, y ≥ 0
• 3x + 5y ≤ 15
• 5x + 2y ≤ 10

(नोट: OCR में व्यवरोध स्पष्ट नहीं हैं, अतः उपरोक्त व्यवरोध एक संभावित उदाहरण हैं। वास्तविक प्रश्न पत्र में दिए गए व्यवरोधों का उपयोग करें।)

अथवा / OR

आलेखीय विधि द्वारा उद्देश्य फलन Z = x + 3y का न्यूनतम मान निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात कीजिए :

व्यवरोध :

• x ≥ 2
• x + y ≥ 4
• x + 2y ≥ 8
• तथा x ≥ 0, y ≥ 0