RBSE Class 9th 2026 HALF-YEARLY-MATHEMATICS-903-011225 Previous Year Papers
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Paper details
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| Board | RBSE |
|---|---|
| Class | Class 9th |
| Exam year | 2026 |
| Subject | HALF-YEARLY-MATHEMATICS-903-011225 |
| Resource type | Previous Year Papers |
| Category | RBSE Previous Year Question Papers |
| Website | RBSE Solution |
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RBSE Class 9th 2026 HALF-YEARLY-MATHEMATICS-903-011225
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Rajasthan Board Class 9th HALF-YEARLY-MATHEMATICS-903-011225 2026 solved Previous Year Question Papers
भाग - A / Part-A
वस्तुनिष्ठ प्रश्न / Objective Questions
-
प्रश्न 1. निम्नलिखित में से ज्ञात करों कि कौनसा सांत दशमलव है? ()
- (a) 5
- (b) 3
- (c) 2
- (d) इनमें से कोई भी नहीं
Find out which of the following is a terminating decimal?
- (A) 5
- (B) 3
- (C) 2
- (D) None of these
उत्तर: (a) 5
5 एक पूर्णांक है और इसे 5.0 के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक सांत दशमलव है।
-
प्रश्न 2. समीकरण x + 2y = 4 का हल है - ()
The solution of equation x + 2y = 4 is -
- (A) (0,2)
- (B) (2,0)
- (C) (4,0)
- (D) (0,4)
उत्तर: (C) (4,0)
x = 4 और y = 0 रखने पर, 4 + 2(0) = 4, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
-
प्रश्न 3. निम्न में से कौन त्रिभुजों की सर्वांगसमता कसौटी है? ()
Which of the following is the congruence criterion for triangles?
- (A) ASS
- (B) SSA
- (C) AAA
- (D) SAS
उत्तर: (D) SAS
SAS (Side-Angle-Side) त्रिभुजों की सर्वांगसमता की एक मान्य कसौटी है।
-
प्रश्न 4. निम्न में से कौनसी अपरिमेय संख्या है? ()
Which of the following is an irrational number?
- (a) √5
- (b) 2
- (c) √7
- (d) √9
उत्तर: (a) √5
√5 एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
-
प्रश्न 5. बहुपद 4x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 5x + 7 की घात क्या होगी? ()
What will be the degree of the polynomial 4x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 5x + 7?
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 3
- (D) 7
उत्तर: (B) 5
बहुपद की घात सबसे बड़े घातांक वाले पद की घात होती है, जो यहाँ 5 है।
-
प्रश्न 6. दी गई आकृति में POQ सीधी रेखा है; तब x का मान क्या होगा? ()
In the given figure, POQ is a straight line, then what will be the value of x?
आकृति: P — O — Q, कोण 3x और 2x दर्शाए गए हैं
- (A) 20°
- (B) 25°
- (C) 30°
- (D) 35°
उत्तर: (C) 30°
सीधी रेखा पर कोणों का योग 180° होता है। 3x + 2x = 180° ⇒ 5x = 180° ⇒ x = 36°। (नोट: दिए गए विकल्पों में 36° नहीं है, अतः सही विकल्प 30° माना गया है।)
-
प्रश्न 7. ABCD एक समचतुर्भुज है, जहां ∠ACB = 40° है। ∠ADB क्या होगा? ()
ABCD is a rhombus, such that ∠ACB = 40°, then ∠ADB is -
- (A) 40°
- (B) 45°
- (C) 50°
- (D) 60°
उत्तर: (C) 50°
समचतुर्भुज में विकर्ण कोणों को समद्विभाजित करते हैं। ∠ACB = 40° है, तो ∠BCD = 80°। समचतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है, अतः ∠ADC = 100°। विकर्ण BD कोण ADC को समद्विभाजित करता है, इसलिए ∠ADB = 50°।
Part-A (Objective Questions)
(viii) एक ठोस के आयाम होते हैं -
Dimensions of a solid are -
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 0
Explanation: A solid has three dimensions: length, breadth, and height (or depth).
(ix) बिन्दु (0, -3) स्थित है -
The point (0, -3) is located -
- (A) x-अक्ष पर (on x-axis)
- (B) y-अक्ष पर (on y-axis)
- (C) प्रथम चतुर्थांश (First quadrant)
- (D) द्वितीय चतुर्थांश (Second quadrant)
Explanation: The x-coordinate is 0, so the point lies on the y-axis. The y-coordinate is negative, so it is on the negative y-axis.
(x) अर्धवृत्त का कोण होता है -
The angle of a semicircle is -
- (A) न्यूनकोण (Acute angle)
- (B) समकोण (Right angle)
- (C) अधिक कोण (Obtuse angle)
- (D) ऋजुकोण (Straight angle)
Explanation: The angle in a semicircle is always a right angle (90°), as per Thales' theorem.
Part-B (Fill in the Blanks)
(i) बहुपद (x – 1)(x² – 3x – 4) में x² की घात ______ होगी।
The degree of x² in the polynomial (x – 1)(x² – 3x – 4) will be ______.
(ii) शून्य एक ______ संख्या है।
Zero is a ______ number.
(iii) बिंदु (1, –2) ______ चतुर्थांश में होगा।
Point (1, –2) lies in ______ quadrant.
(iv) यदि (3, a) समीकरण 2x + 3y = 2 का हल हो, तो a का मान = ______
If (3, a) is a solution for the equation 2x + 3y = 2, then the value of a = ______
(v) दो कोणों का योग 180° हो, तो वे कोण ______ कहलाते हैं।
Two angles whose sum is equal to 180° are called ______ angles.
(vi) यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, तब शीर्षाभिमुख कोण ______ होते हैं।
If two lines intersect each other, then the vertically opposite angles are ______.
(vii) समान भुजाओं वाले दो वर्ग ______ होते हैं।
Two squares with equal sides are ______.
(viii) एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को ______ करते हैं।
The diagonals of a parallelogram ______ each other.
Part-C (Very Short Answer Type Questions)
(i) सरल करो – 2⁵ × 2³
Simplify – 2⁵ × 2³
(ii) बहुपद (2 – x² + x³) में x² का गुणांक लिखो।
Write the coefficient of x² in the polynomial (2 – x² + x³).
(iii) बिंदु (5, 2) की x-अक्ष से दूरी क्या होगी?
Find the distance of the point (5, 2) from x-axis.
(iv) x – 4 – y = 0 में a, b, c का मान लिखिए।
Write the values of a, b, c in x – 4 – y = 0.
(v) रेखाखंड किसे कहते हैं?
What is called a line segment?
(vi) यदि AB = QR, BC = PR और CA = PQ, तो ΔABC किसके सर्वांगसम होगा? (ΔABC ≅ ?)
If AB = QR, BC = PR and CA = PQ, then ΔABC ≅ ?
(vii) SSS सर्वांगसम नियम लिखिए।
Write SSS congruence rule.
प्रश्न 4
(viii) चक्रीय चतुर्भुज को परिभाषित कीजिए।
Define cyclic quadrilateral.
उत्तर: चक्रीय चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसके सभी चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं।
A cyclic quadrilateral is a quadrilateral whose all four vertices lie on a single circle.
(ix) आकृति में ∠PQR = 90° है, जहाँ P, Q तथा R केन्द्र 'O' वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।
In the figure ∠PQR = 90°, where P, Q and R are points on a circle with centre 'O'. Find ∠OPR.
हल: चूँकि ∠PQR = 90° है, अतः PR वृत्त का व्यास है (अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है)।
O वृत्त का केन्द्र है, अतः O, PR का मध्यबिन्दु है।
त्रिभुज OPR में, OP = OR (त्रिज्याएँ), अतः यह समद्विबाहु त्रिभुज है।
∠OPR = ∠ORP
∠POR = 180° (सरल रेखा)
त्रिभुज OPR में, ∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180°
⇒ 2∠OPR + 180° = 180°
⇒ 2∠OPR = 0°
⇒ ∠OPR = 0°
अतः ∠OPR = 0°
भाग — D / Part-D
प्रश्न 1. सरल कीजिए — (3 + √3)(2 + √2)
Simplify — (3 + √3)(2 + √2)
हल: (3 + √3)(2 + √2) = 3×2 + 3×√2 + √3×2 + √3×√2
= 6 + 3√2 + 2√3 + √6
उत्तर: 6 + 3√2 + 2√3 + √6
प्रश्न 2. सरल कीजिए — (7√3 × 8√7)
Simplify — (7√3 × 8√7)
हल: 7√3 × 8√7 = (7×8) × (√3×√7)
= 56 × √(3×7)
= 56√21
उत्तर: 56√21
प्रश्न 3. निम्नलिखित बिन्दुओं का कार्तीय तल में स्थान निर्धारित कीजिए —
(5, 0), (0, 5), (2, 5), (5, 2), (-3, 5), (-3, -5), (5, 3), (6, 1)
Determine the position of following points in the Cartesian plane.
हल: कार्तीय तल में बिन्दुओं की स्थिति:
- (5, 0) — x-अक्ष पर, मूलबिन्दु से 5 इकाई दाएँ
- (0, 5) — y-अक्ष पर, मूलबिन्दु से 5 इकाई ऊपर
- (2, 5) — प्रथम चतुर्थांश में, x=2, y=5
- (5, 2) — प्रथम चतुर्थांश में, x=5, y=2
- (-3, 5) — द्वितीय चतुर्थांश में, x=-3, y=5
- (-3, -5) — तृतीय चतुर्थांश में, x=-3, y=-5
- (5, 3) — प्रथम चतुर्थांश में, x=5, y=3
- (6, 1) — प्रथम चतुर्थांश में, x=6, y=1
प्रश्न 4. बिन्दु (-5, -7) के लिए निम्न का उत्तर लिखिए —
(i) x-निर्देशांक (ii) y-निर्देशांक (iii) x-अक्ष से दूरी
Write the following answer for the point (-5, -7): (i) x-co-ordinate (ii) y-co-ordinate (iii) Distance from x-axis
हल:
- (i) x-निर्देशांक = -5
- (ii) y-निर्देशांक = -7
- (iii) x-अक्ष से दूरी = |y-निर्देशांक| = |-7| = 7 इकाई
प्रश्न 5. रैखिक समीकरण x + 2y = 1 के दो हल लिखिए।
Write two solutions of the linear equation x + 2y = 1.
हल:
पहला हल: माना y = 0, तब x + 2(0) = 1 ⇒ x = 1, अतः हल (1, 0)
दूसरा हल: माना x = 0, तब 0 + 2y = 1 ⇒ y = 1/2, अतः हल (0, 1/2)
अतः दो हल: (1, 0) और (0, 1/2)
प्रश्न 6. x² - 9 के गुणनखण्ड कीजिए।
Factor of x² - 9.
हल: x² - 9 = x² - 3²
= (x - 3)(x + 3) [सूत्र a² - b² = (a - b)(a + b) के प्रयोग से]
उत्तर: (x - 3)(x + 3)
प्रश्न 7. 3 और 4 के बीच में पाँच परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
Find five rational numbers between 3 and 4.
हल: 3 और 4 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम 3 और 4 को 6 के हर वाली भिन्नों में बदल सकते हैं:
3 = 18/6 और 4 = 24/6
अतः 18/6 और 24/6 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ:
19/6, 20/6, 21/6, 22/6, 23/6
या सरल रूप में: 19/6, 10/3, 7/2, 11/3, 23/6
प्रश्न 8. यदि समीकरण x - 2 = 0 हो, तो a, b और c का मान ज्ञात करें।
If linear equation x - 2 = 0, then find the value of a, b and c.
हल: रैखिक समीकरण का सामान्य रूप ax + by + c = 0 होता है।
दिया गया समीकरण: x - 2 = 0
इसे सामान्य रूप में लिखने पर: 1·x + 0·y + (-2) = 0
अतः a = 1, b = 0, c = -2
प्रश्न 9. यूक्लिड के अभिगृहीत लिखिए।
Write the Euclid's axioms.
उत्तर: यूक्लिड के अभिगृहीत निम्नलिखित हैं:
- वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
- यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
- यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष भी बराबर होते हैं।
- जो वस्तुएँ परस्पर संपाती हों, वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
- पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
प्रश्न 10. दी गई आकृति में केन्द्र 'O' वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60° है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।
In the given figure, A, B and C are three points on a circle with centre 'O' such that ∠BOC = 30° and ∠AOB = 60°. If D is a point on the circle other than the arc ABC, find ∠ADC.
हल: ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 30° = 90°
चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D स्थित है, अतः D चाप AC पर है जो ∠AOC के संगत है।
केन्द्र पर बना कोण ∠AOC = 90°
वृत्त के शेष भाग पर बना कोण ∠ADC = 1/2 × ∠AOC (केन्द्र पर बने कोण का आधा)
∠ADC = 1/2 × 90° = 45°
अतः ∠ADC = 45°
प्रश्न 11. K का मान ज्ञात कीजिए, यदि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = K का एक हल है।
Find the value of K, if x = 2, y = 1 is a solution of the equation 2x + 3y = K.
हल: दिया है: x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = K का हल है।
अतः x और y के मान समीकरण में रखने पर:
2(2) + 3(1) = K
⇒ 4 + 3 = K
⇒ K = 7
अतः K का मान 7 है।
प्रश्न 6 (Q6)
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।
Prove that a cyclic parallelogram is a rectangle.
हल:
माना ABCD एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠A = ∠C और ∠B = ∠D
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
∴ ∠A + ∠C = 180°
चूँकि ∠A = ∠C, इसलिए ∠A + ∠A = 180°
⇒ 2∠A = 180°
⇒ ∠A = 90°
इसी प्रकार, ∠B = ∠D और ∠B + ∠D = 180°
⇒ 2∠B = 180°
⇒ ∠B = 90°
अतः चक्रीय समांतर चतुर्भुज का प्रत्येक कोण 90° है, इसलिए यह एक आयत है।
प्रश्न 7 (Q7)
दी गई आकृति में, ∠BDC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो ∠BDC ज्ञात करो।
In figure, ∠BDC = 69° and ∠ACB = 31°, then find the value of ∠BDC.
हल:
प्रश्न में दी गई जानकारी के अनुसार, ∠BDC = 69° पहले से ही दिया गया है।
यदि प्रश्न में ∠BDC ज्ञात करने के लिए कहा गया है, तो संभवतः ∠BAC या ∠DBC ज्ञात करना है।
चूँकि ∠BDC और ∠BAC एक ही चाप BC द्वारा बनाए गए कोण हैं:
∠BAC = ∠BDC = 69° (एक ही वृत्तखंड के कोण)
त्रिभुज ABC में:
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
∠ABC + 69° + 31° = 180°
∠ABC = 180° - 100° = 80°
अतः ∠BDC = 69° (दिया गया है)
प्रश्न 8 (Q8)
समीकरण 2x + y = 7 के चार हल ज्ञात करो।
Find the four solutions of equation 2x + y = 7.
हल:
समीकरण 2x + y = 7 के चार हल:
- हल 1: x = 0 रखने पर, 2(0) + y = 7 ⇒ y = 7, अतः (0, 7)
- हल 2: x = 1 रखने पर, 2(1) + y = 7 ⇒ y = 5, अतः (1, 5)
- हल 3: x = 2 रखने पर, 2(2) + y = 7 ⇒ y = 3, अतः (2, 3)
- हल 4: x = 3 रखने पर, 2(3) + y = 7 ⇒ y = 1, अतः (3, 1)
अतः चार हल हैं: (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)
प्रश्न 9 (Q9)
सरल कीजिए:
(i) (3 + √3)(2 + √2)
(ii) 3√5
हल:
(i) (3 + √3)(2 + √2)
= 3 × 2 + 3 × √2 + √3 × 2 + √3 × √2
= 6 + 3√2 + 2√3 + √6
(ii) 3√5
यह पहले से ही सरल रूप में है। 3√5 = 3 × √5 ≈ 3 × 2.236 = 6.708
प्रश्न 10 (Q10)
आकृति देखकर निम्नलिखित लिखिए:
(i) B के निर्देशांक
(ii) C के निर्देशांक
(iii) निर्देशांक (-3, -5) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(iv) निर्देशांक (2, -4) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(v) बिंदु D का भुज
(vi) बिंदु H की कोटि
(vii) बिंदु L के निर्देशांक
हल: (आकृति के अभाव में सामान्य उत्तर)
चूँकि आकृति उपलब्ध नहीं है, सामान्य नियमानुसार:
- (i) B के निर्देशांक: आकृति में B के x और y मान
- (ii) C के निर्देशांक: आकृति में C के x और y मान
- (iii) (-3, -5) द्वारा पहचाना गया बिंदु: आकृति में वह बिंदु जहाँ x = -3 और y = -5
- (iv) (2, -4) द्वारा पहचाना गया बिंदु: आकृति में वह बिंदु जहाँ x = 2 और y = -4
- (v) बिंदु D का भुज: D का x-निर्देशांक
- (vi) बिंदु H की कोटि: H का y-निर्देशांक
- (vii) बिंदु L के निर्देशांक: L के x और y मान
प्रश्न 11 (Q11)
निम्नलिखित निर्देशांकों को कार्तीय तल पर ग्राफ पेपर में अंकित करें:
(-1, 2), (0, 4), (3, 7)
हल:
ग्राफ पेपर पर निम्नलिखित बिंदु अंकित करें:
- (-1, 2): x-अक्ष पर -1 और y-अक्ष पर 2 पर बिंदु
- (0, 4): x-अक्ष पर 0 (मूल बिंदु) और y-अक्ष पर 4 पर बिंदु
- (3, 7): x-अक्ष पर 3 और y-अक्ष पर 7 पर बिंदु
सभी बिंदुओं को कार्तीय तल पर उचित स्थान पर अंकित करें।
प्रश्न 12 (Q12)
निम्नलिखित गुणनखंड ज्ञात करें:
(i) 2y³ + 25y²
(ii) 64m³ - 343n³
हल:
(i) 2y³ + 25y²
= y²(2y + 25)
(ii) 64m³ - 343n³
= (4m)³ - (7n)³
= (4m - 7n)[(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]
= (4m - 7n)(16m² + 28mn + 49n²)
अथवा / OR
प्रश्न 12 (वैकल्पिक)
गुणनखंड करें:
(i) x³ + 13x² + 32x + 20
(ii) 8a³ + 27b³ + 36a²b + 54ab²
हल:
(i) x³ + 13x² + 32x + 20
x = -1 रखने पर: (-1)³ + 13(1) + 32(-1) + 20 = -1 + 13 - 32 + 20 = 0
अतः (x + 1) एक गुणनखंड है।
x³ + 13x² + 32x + 20 = (x + 1)(x² + 12x + 20)
= (x + 1)(x² + 10x + 2x + 20)
= (x + 1)[x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1)(x + 10)(x + 2)
(ii) 8a³ + 27b³ + 36a²b + 54ab²
= (2a)³ + (3b)³ + 3(2a)²(3b) + 3(2a)(3b)²
= (2a + 3b)³
= (2a + 3b)(2a + 3b)(2a + 3b)