RBSE Class 9th 2026 MATHEMATICS-903 Previous Year Papers

हीरोन का सूत्र त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं, तो अर्धपरिमाप s = (a + b + c)/2 होता है, और क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] होता है।

Heron's formula is used to find the area of a triangle. If the sides of the triangle are a, b, and c, then semi-perimeter s = (a + b + c)/2, and area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)].

आयत चित्र (हिस्टोग्राम) में सभी आयतों की चौड़ाई समान होती है।

In a histogram, the width of all rectangles is equal.

बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए, P(x) = 0 रखते हैं:

x – 5 = 0

x = 5

अतः बहुपद का शून्यक 5 है।

To find the zero, set P(x) = 0: x – 5 = 0, so x = 5. Hence, the zero of the polynomial is 5.

दिया गया समीकरण: -2x + 3y = 6

ax + by + c = 0 के रूप में लिखने पर:

-2x + 3y – 6 = 0

अतः a = -2, b = 3, c = -6

Given equation: -2x + 3y = 6. In the form ax + by + c = 0: -2x + 3y – 6 = 0. Thus, a = -2, b = 3, c = -6.

चूँकि AB || CD है, तो ∠APQ और ∠PQR एकांतर कोण हैं, इसलिए x = ∠APQ = 50°.

∠PRD = 127° दिया है। ∠PRD और ∠QRP रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए y + 127° = 180°, अतः y = 53°.

Since AB || CD, ∠APQ and ∠PQR are alternate angles, so x = ∠APQ = 50°. Given ∠PRD = 127°, and ∠PRD and ∠QRP form a linear pair, so y + 127° = 180°, hence y = 53°.

दिया है: BE = CF, BE ⊥ AC, CF ⊥ AB.

ΔABE और ΔACF में:

• ∠AEB = ∠AFC = 90° (शीर्षलम्ब)
• ∠BAE = ∠CAF (उभयनिष्ठ कोण)
• BE = CF (दिया है)

अतः कोण-कोण-भुजा (AAS) सर्वांगसमता नियम से, ΔABE ≅ ΔACF.

Given: BE = CF, BE ⊥ AC, CF ⊥ AB. In ΔABE and ΔACF: ∠AEB = ∠AFC = 90°, ∠BAE = ∠CAF (common angle), BE = CF (given). Thus, by AAS congruence rule, ΔABE ≅ ΔACF.

माना ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं: AB = BC = CD = DA.

ΔAOB और ΔCOB में:

• AB = BC (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
• AO = CO (विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)
• BO = BO (उभयनिष्ठ)

अतः SSS सर्वांगसमता से, ΔAOB ≅ ΔCOB, इसलिए ∠AOB = ∠COB.

चूँकि ∠AOB + ∠COB = 180° (रैखिक युग्म), तो ∠AOB = ∠COB = 90°. अतः विकर्ण परस्पर लम्ब हैं।

Let ABCD be a rhombus with diagonals AC and BD intersecting at O. All sides are equal: AB = BC = CD = DA. In ΔAOB and ΔCOB: AB = BC, AO = CO (diagonals bisect each other), BO = BO (common). By SSS congruence, ΔAOB ≅ ΔCOB, so ∠AOB = ∠COB. Since ∠AOB + ∠COB = 180° (linear pair), ∠AOB = ∠COB = 90°. Hence, diagonals are perpendicular.

माना O केंद्र है और रेखा वृत्तों को A, B, C, D पर काटती है (बाहरी वृत्त पर A और D, भीतरी वृत्त पर B और C)।

O से रेखा पर लम्ब OM खींचते हैं।

चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है:

• बाहरी वृत्त में, AM = MD
• भीतरी वृत्त में, BM = MC

अतः AB = AM – BM और CD = MD – MC. चूँकि AM = MD और BM = MC, इसलिए AB = CD.

Let O be the centre and the line intersect the circles at A, B, C, D (outer circle: A and D; inner circle: B and C). Draw perpendicular OM from O to the line. Since the perpendicular from the centre bisects the chord: In the outer circle, AM = MD; in the inner circle, BM = MC. Thus, AB = AM – BM and CD = MD – MC. Since AM = MD and BM = MC, AB = CD.

हल:

माना त्रिभुज की भुजाएँ a = 8 cm, b = 11 cm, c = 13 cm हैं।

अर्धपरिमाप s = (a + b + c)/2 = (8 + 11 + 13)/2 = 32/2 = 16 cm

हीरोन के सूत्र से, क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

= √[16(16-8)(16-11)(16-13)]

= √[16 × 8 × 5 × 3]

= √(16 × 120)

= √1920

= √(64 × 30)

= 8√30 cm²

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 8√30 वर्ग सेमी है।

हल:

माना भुजाएँ 2x, 17x और 25x हैं।

परिमाप = 2x + 17x + 25x = 44x = 540

x = 540/44 = 135/11

भुजाएँ: a = 2 × 135/11 = 270/11 cm, b = 17 × 135/11 = 2295/11 cm, c = 25 × 135/11 = 3375/11 cm

अर्धपरिमाप s = 540/2 = 270 cm

हीरोन के सूत्र से, क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

= √[270(270 - 270/11)(270 - 2295/11)(270 - 3375/11)]

= √[270 × (2700/11) × (675/11) × (-405/11)]

चूँकि एक भुजा ऋणात्मक आ रही है, यह त्रिभुज संभव नहीं है। कृपया अनुपात की जाँच करें।

नोट: दिए गए अनुपात 2:17:25 से त्रिभुज नहीं बन सकता क्योंकि दो छोटी भुजाओं का योग (2+17=19) सबसे बड़ी भुजा (25) से कम है।

हल:

वर्ग चिन्ह = (उच्च सीमा + निम्न सीमा)/2

• 40-50: (40+50)/2 = 45
• 50-60: (50+60)/2 = 55
• 60-70: (60+70)/2 = 65
• 70-80: (70+80)/2 = 75
• 80-90: (80+90)/2 = 85
• 90-100: (90+100)/2 = 95

अतः वर्ग चिन्ह क्रमशः 45, 55, 65, 75, 85, 95 हैं।

हल:

व्यास = 14 cm, अतः त्रिज्या r = 14/2 = 7 cm

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

= 4 × (22/7) × 7 × 7

= 4 × 22 × 7

= 616 cm²

अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 616 वर्ग सेमी है।

हल:

(i) इस सारणी के लिए दंड आलेख (Bar Graph) उचित होगा क्योंकि यह विभिन्न श्रेणियों (पार्टियों) की तुलना दर्शाता है।

(ii) पार्टी A ने 75 सीटें जीती हैं, जो सबसे अधिक है।

अतः पार्टी A ने अधिकतम सीटें जीती हैं।

हल: \(\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}\)

हल:

(i) \(9x^2 + 6xy + y^2 = (3x)^2 + 2(3x)(y) + y^2 = (3x + y)^2\)

(ii) \(a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2)^2 - 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 = (a - b)^2(a + b)^2\)

हल:

• \((0, 2)\) – यह बिन्दु y-अक्ष पर स्थित है, किसी चतुर्थांश में नहीं।
• \((3, -4)\) – चतुर्थ चतुर्थांश (IV Quadrant)
• \((-2, -5)\) – तृतीय चतुर्थांश (III Quadrant)

हल: तीन हल निम्नलिखित हैं:

• \(x = 0, y = 7\)
• \(x = 1, y = 5\)
• \(x = 2, y = 3\)

परिभाषाएं:

• समांतर रेखाएं (Parallel lines): वे दो रेखाएं जो एक ही तल में स्थित हों और कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद न करें, समांतर रेखाएं कहलाती हैं।
• रेखाखण्ड (Line segment): रेखा का वह भाग जो दो निश्चित बिन्दुओं के बीच स्थित हो, रेखाखण्ड कहलाता है।
• वृत्त की त्रिज्या (Radius of a circle): वृत्त के केंद्र से वृत्त की परिधि पर स्थित किसी बिन्दु तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या कहलाती है।

हल:

∠BEC = 30° (दिया है)

∠CED = 180° - ∠BEC = 180° - 30° = 150° (रैखिक युग्म)

त्रिभुज CDE में,

∠CDE = 180° - (∠CED + ∠ECD) = 180° - (150° + 20°) = 180° - 170° = 10°

∠BAC = ∠BDC (एक ही वृत्तखंड के कोण)

∠BDC = ∠CDE = 10°

अतः ∠BAC = 10°

हल:

शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\)

यहाँ, r = 6 सेमी, h = 7 सेमी

आयतन = \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 6^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 7\)

= \(\frac{1}{3} \times 22 \times 36 = 22 \times 12 = 264\) घन सेमी

अतः शंकु का आयतन 264 घन सेमी है।

हल:

माना तीसरी भुजा = x सेमी

परिमाप = 8 + 10 + x = 42

⇒ 18 + x = 42

⇒ x = 24 सेमी

अर्धपरिमाप (s) = \(\frac{42}{2} = 21\) सेमी

हीरोन के सूत्र से, क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

= \(\sqrt{21(21-8)(21-10)(21-24)}\)

= \(\sqrt{21 \times 13 \times 11 \times (-3)}\)

चूंकि 24 > 8 + 10, यह त्रिभुज संभव नहीं है। अतः क्षेत्रफल ज्ञात नहीं किया जा सकता।

हल:

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{r^2 + h^2}\)

यहाँ, r = 24 मीटर, h = 10 मीटर

l = \(\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\) मीटर

अतः तंबू की तिर्यक ऊँचाई 26 मीटर है।

हल:

शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = 7 सेमी.
शंकु की ऊँचाई (h) = 24 सेमी.

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी.

एक टोपी बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 वर्ग सेमी.

10 टोपियों के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल = 10 × 550 = 5500 वर्ग सेमी.

उत्तर: 5500 वर्ग सेमी.

हल:

अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास = 10.5 सेमी.
अतः आंतरिक त्रिज्या (r) = 10.5/2 = 5.25 सेमी.

कटोरे का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × (22/7) × (5.25)²
= 2 × (22/7) × 27.5625
= (44 × 27.5625) / 7
= 1212.75 / 7
= 173.25 वर्ग सेमी.

कलई कराने की दर = ₹ 6 प्रति 100 वर्ग सेमी.

कुल व्यय = (173.25 / 100) × 6 = 1.7325 × 6 = ₹ 10.395

उत्तर: ₹ 10.40 (लगभग)

हल:

(i) आयत चित्र (हिस्टोग्राम) का निरूपण:

आयत चित्र बनाने के लिए, x-अक्ष पर जीवन काल (घंटों में) और y-अक्ष पर लैंपों की संख्या को दर्शाया जाएगा। प्रत्येक वर्ग अंतराल (जैसे 300-400, 400-500, आदि) के लिए एक आयत बनाया जाएगा जिसकी ऊँचाई उस अंतराल में लैंपों की संख्या के बराबर होगी। चूँकि सभी वर्ग अंतरालों की चौड़ाई समान (100 घंटे) है, इसलिए आयतों की चौड़ाई समान रखी जाएगी।

(ii) 700 घंटों से अधिक जीवन काल वाले लैंपों की संख्या:

700 घंटों से अधिक जीवन काल वाले लैंपों में निम्नलिखित वर्ग अंतराल शामिल हैं:

• 700-800: 74 लैंप
• 800-900: 62 लैंप
• 900-1000: 48 लैंप

कुल लैंप = 74 + 62 + 48 = 184

अतः, 184 लैंपों का जीवन काल 700 घंटों से अधिक है।

हल:

आयत चित्र बनाने के लिए, x-अक्ष पर वर्णमाला के अक्षरों की संख्या (वर्ग अंतराल) और y-अक्ष पर कुलनामों की संख्या (बारंबारता) को दर्शाया जाएगा। चूँकि वर्ग अंतरालों की चौड़ाई समान नहीं है (1-4 की चौड़ाई 3, 4-6 की चौड़ाई 2, 6-8 की चौड़ाई 2, 8-12 की चौड़ाई 4, 12-20 की चौड़ाई 8), इसलिए हमें समायोजित बारंबारता ज्ञात करनी होगी। सबसे छोटी चौड़ाई 2 है, इसलिए हम इसे आधार चौड़ाई मानेंगे।

समायोजित बारंबारता = (दी गई बारंबारता × न्यूनतम वर्ग चौड़ाई) / वर्ग की चौड़ाई

• 1-4 (चौड़ाई 3): समायोजित बारंबारता = (6 × 2) / 3 = 4
• 4-6 (चौड़ाई 2): समायोजित बारंबारता = (30 × 2) / 2 = 30
• 6-8 (चौड़ाई 2): समायोजित बारंबारता = (44 × 2) / 2 = 44
• 8-12 (चौड़ाई 4): समायोजित बारंबारता = (16 × 2) / 4 = 8
• 12-20 (चौड़ाई 8): समायोजित बारंबारता = (4 × 2) / 8 = 1

अब, x-अक्ष पर वर्ग अंतराल और y-अक्ष पर समायोजित बारंबारता लेकर आयत चित्र बनाया जाएगा। प्रत्येक आयत की चौड़ाई उसके वर्ग अंतराल की चौड़ाई के बराबर होगी और ऊँचाई समायोजित बारंबारता के बराबर होगी।

हल:

दिया है: कैप्सूल का व्यास (d) = 3.5 mm

अतः, त्रिज्या (r) = d/2 = 3.5/2 = 1.75 mm

गोले का आयतन = (4/3)πr³

= (4/3) × (22/7) × (1.75)³

= (4/3) × (22/7) × 1.75 × 1.75 × 1.75

= (4/3) × (22/7) × (175/100) × (175/100) × (175/100)

= (4/3) × (22/7) × (175 × 175 × 175) / (100 × 100 × 100)

= (4/3) × 22 × (175 × 175 × 175) / (7 × 1000000)

= (4/3) × 22 × (5359375) / 7000000

= (4/3) × (22 × 5359375) / 7000000

= (4/3) × (117906250) / 7000000

= (4/3) × 16.84375

= (4 × 16.84375) / 3

= 67.375 / 3

= 22.45833... mm³

लगभग = 22.46 mm³

अतः, कैप्सूल को भरने के लिए लगभग 22.46 mm³ दवाई की आवश्यकता होगी।

हल:

शंकु का आयतन = (1/3)πr²h

r = 7 सेमी, h = 25 सेमी, π = 22/7

आयतन = (1/3) × (22/7) × 7 × 7 × 25

= (1/3) × 22 × 7 × 25

= (22 × 7 × 25) / 3

= 3850 / 3

= 1283.33 घन सेमी

1 लीटर = 1000 घन सेमी

धारिता = 1283.33 / 1000 = 1.283 लीटर

उत्तर: 1.283 लीटर

हल: बारंबारता बहुभुज खींचने के लिए प्रत्येक वर्ग के मध्य बिंदु ज्ञात करते हैं:

0-10 का मध्य = 5, 10-20 का मध्य = 15, 20-30 का मध्य = 25, 30-40 का मध्य = 35, 40-50 का मध्य = 45, 50-60 का मध्य = 55, 60-70 का मध्य = 65, 70-80 का मध्य = 75, 80-90 का मध्य = 85

बहुभुज को बंद करने के लिए दो अतिरिक्त बिंदु (-10,0) और (100,0) लेते हैं।

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करके रेखाखंडों से मिलाएँ।

हल:

प्रत्येक वर्ग के मध्य बिंदु ज्ञात करते हैं:

0-10: 5, 10-20: 15, 20-30: 25, 30-40: 35, 40-50: 45, 50-60: 55

सेक्शन A के बिंदु: (5,3), (15,9), (25,12), (35,12), (45,9), (55,5) और बंद करने के लिए (-5,0) और (65,0)

सेक्शन B के बिंदु: (5,5), (15,9), (25,10), (35,10), (45,8), (55,8) और बंद करने के लिए (-5,0) और (65,0)

दोनों सेट बिंदुओं को एक ही ग्राफ पर अंकित करके रेखाखंडों से मिलाएँ।

तुलना: सेक्शन A में 20-40 अंक वर्गों में अधिक विद्यार्थी हैं, जबकि सेक्शन B में 0-10 और 50-60 वर्गों में अधिक विद्यार्थी हैं। सेक्शन A का प्रदर्शन मध्यम अंकों में बेहतर है, जबकि सेक्शन B में निम्न और उच्च अंकों में अधिक विद्यार्थी हैं।